Grenzwert von (1/n!)^(1/n)

Grenzwert von \((\frac{1}{n!})^\frac{1}{n}\)

Der Rechner spuckte mit auf meine Frage nach "limit( ((1/((n)!)))^((1/(n))), n=unendlich )"   liebenswerter weise e^(-((ln((unendlich)!)/(unendlich)))) aus.

\(\large \lim_{n\to \infty}\ (\frac{1}{n!})^\frac{1}{n}=e^{-ln\frac{\infty !}{\infty}}\)

Ich verstehe nicht ganz, wie man ohne magische Taschenrechner darauf kommen würde.

Ich kann hier leider nicht helfen. Ich hoffe, jemand kann weiter helfen.

  !

Beim versuch das im Titel genannte Problem zu lösen bin ich auf diese Seite gekommen.
Der Rechner spuckte mit auf meine Frage nach

\(\large \lim \limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\dfrac{1}{n}}\)

liebenswerter weise

\(e^{-\dfrac{\ln(\infty!)} {\infty} } \)

aus.
Jetzt ist es schön und gut diese Lösung zu haben,

allerdings verstehe ich nicht ganz wie man ohne magische Taschenrechner darauf kommen würde.

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{ \lim \limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\dfrac{1}{n}} } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\ln\left( \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\dfrac{1}{n}} \right) } \quad | \quad \text{Basiswechsel nach e} \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \ln\left(\dfrac{1}{n!} \right) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \Big(\ln(1) - \ln\left( n!\right) \Big) } \quad | \quad \ln(1) = 0 \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \Big(0 - \ln\left( n!\right) \Big) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \Big(-\ln\left( n!\right) \Big) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{ \Big(-\ln\left( \left(n!\right)^n \right) \Big) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{\left( e\right)^{ \Big(\ln\left( \left(n!\right)^n \right) \Big) }} \\\\ &=& \dfrac{1}{ e^{\infty}} \\\\ &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)