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Beim versuch das im Titel genannte Problem zu lösen bin ich auf diese Seite gekommen.
Der Rechner spuckte mit auf meine Frage nach "limit( ((1/((n)!)))^((1/(n))), n=unendlich )"   liebenswerter weise e^(-((ln((unendlich)!)/(unendlich)))) aus.
Jetzt ist es schön und gut diese Lösung zu haben, allerdings verstehe ich nicht ganz wie man ohne magische Taschenrechner darauf kommen würde.

Ich hoffe jemand hier kann mir da weiter helfen
Vielen Dank

 09.05.2019
 #1
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Grenzwert von \((\frac{1}{n!})^\frac{1}{n}\)

Der Rechner spuckte mit auf meine Frage nach "limit( ((1/((n)!)))^((1/(n))), n=unendlich )"   liebenswerter weise e^(-((ln((unendlich)!)/(unendlich)))) aus.

 

\(\large \lim_{n\to \infty}\ (\frac{1}{n!})^\frac{1}{n}=e^{-ln\frac{\infty !}{\infty}}\)

 

Ich verstehe nicht ganz, wie man ohne magische Taschenrechner darauf kommen würde.

 

Ich kann hier leider nicht helfen. Ich hoffe, jemand kann weiter helfen.

laugh  !

 10.05.2019
bearbeitet von asinus  10.05.2019
 #2
avatar+23086 
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Beim versuch das im Titel genannte Problem zu lösen bin ich auf diese Seite gekommen.
Der Rechner spuckte mit auf meine Frage nach

\(\large \lim \limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\dfrac{1}{n}}\)

liebenswerter weise

\(e^{-\dfrac{\ln(\infty!)} {\infty} } \)

aus.
Jetzt ist es schön und gut diese Lösung zu haben,

allerdings verstehe ich nicht ganz wie man ohne magische Taschenrechner darauf kommen würde.

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{ \lim \limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\dfrac{1}{n}} } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\ln\left( \left(\dfrac{1}{n!}\right)^{\dfrac{1}{n}} \right) } \quad | \quad \text{Basiswechsel nach e} \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \ln\left(\dfrac{1}{n!} \right) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \Big(\ln(1) - \ln\left( n!\right) \Big) } \quad | \quad \ln(1) = 0 \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \Big(0 - \ln\left( n!\right) \Big) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{\dfrac{1}{n} \Big(-\ln\left( n!\right) \Big) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \left( e\right)^{ \Big(-\ln\left( \left(n!\right)^n \right) \Big) } \\\\ &=& \lim \limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{\left( e\right)^{ \Big(\ln\left( \left(n!\right)^n \right) \Big) }} \\\\ &=& \dfrac{1}{ e^{\infty}} \\\\ &=& \mathbf{0} \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

 10.05.2019

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