Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.
Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Gegeben:
Punkt \(P = (0,1) \qquad x_p = 0\quad y_p = 1\)
Parabel \(y = x^2\)
Gesucht:
Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q
Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 = D &=& (y-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \qquad & | \qquad y = x^2\\ D &=& (x^2-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \\ D &=& x^4-2x^2y_p+y_p^2+x^2-2xx_p + x_p^2 \\ D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ \hline \end{array} \)
Mimimale Abstand (Extrempunkt):
1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.
1. Ableitung von D:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ \hline \end{array}\)
1. Ableitung von D gleich null setzen:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' = 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p &=& 0 \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ 4x^3 +2x(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 &=& 0 \\ 4x^3 +2x(-1) &=& 0 \\ 4x^3 -2x &=& 0 \quad & | \quad : 2 \\ 2x^3 -x &=& 0 \\ x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ \hline \end{array} \)
Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' > 0) vorliegt.
2. Ableitung von D:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2y_p)-2x_p \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(-1) \\ D'' &=& 12x^2 - 2 \\ \hline \end{array}\)
Die 3 Lösungen finden:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ x &=& 0 \Rightarrow x_1 = 0 \text{ keine Lösung, da } D'' = 12\cdot 0 - 2 < 0 \\\\ 2x^2 -1 &=& 0 \quad & | \quad +1 \\ 2x^2 &=& 1 \quad & | \quad : 2 \\ x^2 &=& \frac12 \\ x &=& \pm\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& +\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot (\frac{\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\\\ x_3 &=& -\sqrt{\frac12} \\ x_3 &=& -\frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot \frac{-\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\ \hline \end{array}\)
Die beiden Punkte Q sind:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x_{q_1} &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_1} &=& ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ x_{q_2} &=& - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_2} &=& ( -\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ \hline \end{array} \)
\(Q_1 (\frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)
\(Q_2 (\frac{ -\sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)
Der minimale Abstand beträgt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{(0-\frac{\sqrt{2} }{2})^2+(1-\frac12)^2} \\ &=& \sqrt{\frac14} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hline \end{array} \)
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