Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
+26367 Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.
Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Gegeben:
Punkt \(P = (0,1) \qquad x_p = 0\quad y_p = 1\)
Parabel \(y = x^2\)
Gesucht:
Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q
Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 = D &=& (y-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \qquad & | \qquad y = x^2\\ D &=& (x^2-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \\ D &=& x^4-2x^2y_p+y_p^2+x^2-2xx_p + x_p^2 \\ D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ \hline \end{array} \)
Mimimale Abstand (Extrempunkt):
1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.
1. Ableitung von D:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ \hline \end{array}\)
1. Ableitung von D gleich null setzen:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' = 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p &=& 0 \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ 4x^3 +2x(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 &=& 0 \\ 4x^3 +2x(-1) &=& 0 \\ 4x^3 -2x &=& 0 \quad & | \quad : 2 \\ 2x^3 -x &=& 0 \\ x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ \hline \end{array} \)
Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' > 0) vorliegt.
2. Ableitung von D:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2y_p)-2x_p \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(-1) \\ D'' &=& 12x^2 - 2 \\ \hline \end{array}\)
Die 3 Lösungen finden:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ x &=& 0 \Rightarrow x_1 = 0 \text{ keine Lösung, da } D'' = 12\cdot 0 - 2 < 0 \\\\ 2x^2 -1 &=& 0 \quad & | \quad +1 \\ 2x^2 &=& 1 \quad & | \quad : 2 \\ x^2 &=& \frac12 \\ x &=& \pm\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& +\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot (\frac{\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\\\ x_3 &=& -\sqrt{\frac12} \\ x_3 &=& -\frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot \frac{-\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\ \hline \end{array}\)
Die beiden Punkte Q sind:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x_{q_1} &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_1} &=& ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ x_{q_2} &=& - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_2} &=& ( -\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ \hline \end{array} \)
\(Q_1 (\frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)
\(Q_2 (\frac{ -\sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)
Der minimale Abstand beträgt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{(0-\frac{\sqrt{2} }{2})^2+(1-\frac12)^2} \\ &=& \sqrt{\frac14} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hline \end{array} \)
+14917 Die Frage ist in einem mir weitgehend unverständlichenText gestellt. Zum Beispiel: Welche Größe ist ∈ R^2? Doch wohl nicht der Punkt P=(0,1). Bitte formuliere deine Frage klar und verständlich 
!
+14917 Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Jetzt habe ich die Frage doch verstanden. Sorry, für die vorherige Äußerung.
Die Lösung folgt baldigst.
1. \(f(x)=y=x^2\) \(f\ '(x)=y \ '=2x\)
2. \(g(x)= mx+1\) \(m_{g(x)}=-\frac{1}{f\ '(x)}\)
\(\LARGE ?\) Ich komme nicht weiter und bitte um Mithilfe. !
+14917
1. \(f(x)=y=x^2\) \(f\ '(x)=y \ '=2x\)
2. \(g(x)= mx+1\) \(m_{g(x)}=-\frac{1}{f\ '(x)}\)
\(d^2=D=x_Q^2+(1-y_Q)^2\)
\(y_Q=x_Q2\)
\(D=x_Q^2+(1-x_Q^2)^2\)
\(D=x_Q^2+1-2x_Q^2+x_Q^4\) \([x_Q=x]\)
\(h(x)=D=1-x^2+x^4\)
\(h\ '(x)=4x^3-2x=0\)
\(x(4x^3-2)=0\) x1 = 0 entfällt
\(x^3=\frac{1}{2}\) \([x=x_Q]\)
\(x_Q=\frac{1}{\sqrt[3]{2} }=0,793700525987\) \(y_Q=x_Q^2=\frac{1}{ \sqrt[3]{4} }=0,629960524947\)
\(D=x_Q^2+(1-y_Q)^2\)
\( D=x_Q^2+(1-x_Q^2)^2\)
\(D=(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2+(1-\frac{1}{\sqrt[3]{4}})^2=0.766889738049\)
\(d=+\sqrt D=0,875722409242\)
Danke heureka !
+26367 Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.
Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Gegeben:
Punkt \(P = (0,1) \qquad x_p = 0\quad y_p = 1\)
Parabel \(y = x^2\)
Gesucht:
Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q
Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 = D &=& (y-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \qquad & | \qquad y = x^2\\ D &=& (x^2-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \\ D &=& x^4-2x^2y_p+y_p^2+x^2-2xx_p + x_p^2 \\ D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ \hline \end{array} \)
Mimimale Abstand (Extrempunkt):
1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.
1. Ableitung von D:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ \hline \end{array}\)
1. Ableitung von D gleich null setzen:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' = 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p &=& 0 \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ 4x^3 +2x(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 &=& 0 \\ 4x^3 +2x(-1) &=& 0 \\ 4x^3 -2x &=& 0 \quad & | \quad : 2 \\ 2x^3 -x &=& 0 \\ x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ \hline \end{array} \)
Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' > 0) vorliegt.
2. Ableitung von D:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2y_p)-2x_p \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(-1) \\ D'' &=& 12x^2 - 2 \\ \hline \end{array}\)
Die 3 Lösungen finden:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ x &=& 0 \Rightarrow x_1 = 0 \text{ keine Lösung, da } D'' = 12\cdot 0 - 2 < 0 \\\\ 2x^2 -1 &=& 0 \quad & | \quad +1 \\ 2x^2 &=& 1 \quad & | \quad : 2 \\ x^2 &=& \frac12 \\ x &=& \pm\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& +\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot (\frac{\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\\\ x_3 &=& -\sqrt{\frac12} \\ x_3 &=& -\frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot \frac{-\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\ \hline \end{array}\)
Die beiden Punkte Q sind:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline x_{q_1} &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_1} &=& ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ x_{q_2} &=& - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_2} &=& ( -\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ \hline \end{array} \)
\(Q_1 (\frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)
\(Q_2 (\frac{ -\sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)
Der minimale Abstand beträgt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{(0-\frac{\sqrt{2} }{2})^2+(1-\frac12)^2} \\ &=& \sqrt{\frac14} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hline \end{array} \)
+26367 (Korrektur)
Der minimale Abstand beträgt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{\left( 0-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^2+ \left( 1-\frac12 \right)^2} \\ &=& \sqrt{\frac24+\frac14} \\ &=& \sqrt{\frac{3}{4}} \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &=& 0,86602540378 \\ \hline \end{array} \)
+14917 Danke, auch dir Omi67!
Jetzt muss ich nur noch rauskriegen, wo bei mir der Wurm drin war. Logisch scheint alles richtig zu sein. Vielleicht ein Vertipper. Ich werde es aber rausfinden.
Alles Gute weiterhin wünscht dir
asinus !
+14917
Korrektur
\(h\ '(x)=4x^3-2x=0\)
\(x(4x^2-2)=0\) x1 = 0 entfällt
\(x^2=\frac{1}{2}\)
\(x_{1;2}=\pm \frac{1}{\sqrt 2}\)
Den Punkt Q gibt es im 1. und im 4.Quadranten.
x2 = -0,7071 entfällt.
\(y_Q=x_Q^2\)
\(D=x_Q^2+(1-y_Q)^2\)
\(D=x_Q^2+(1-x_Q^2)^2\)
\(D=\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})^2 \)
\(D=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(d=+\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt 3=0,866025\)
Der Mindestabstand zwischen der Parabel f(x) = x2 ist gleich 0,866025
!
