Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.
Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Gegeben:
Punkt P=(0,1)xp=0yp=1
Parabel y=x2
Gesucht:
Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q
Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:
d2=D=(y−yp)2+(x−xp)2|y=x2D=(x2−yp)2+(x−xp)2D=x4−2x2yp+y2p+x2−2xxp+x2pD=x4+x2(1−2yp)−x⋅2xp+x2p+y2p
Mimimale Abstand (Extrempunkt):
1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.
1. Ableitung von D:
D=x4+x2(1−2yp)−x⋅2xp+x2p+y2pD′=4x3+2x(1−2yp)−2xp
1. Ableitung von D gleich null setzen:
D′=4x3+2x(1−2yp)−2xp=0|xp=0yp=14x3+2x(1−2⋅1)−2⋅0=04x3+2x(−1)=04x3−2x=0|:22x3−x=0x⋅(2x2−1)=0
Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' > 0) vorliegt.
2. Ableitung von D:
D′=4x3+2x(1−2yp)−2xpD″=12x2+2(1−2yp)−2xp|xp=0yp=1D″=12x2+2(1−2⋅1)−2⋅0D″=12x2+2(−1)D″=12x2−2
Die 3 Lösungen finden:
x⋅(2x2−1)=0x=0⇒x1=0 keine Lösung, da D″=12⋅0−2<02x2−1=0|+12x2=1|:2x2=12x=±√12x2=+√12x2=√22 eine Lösung, da D″=12⋅(√22)2−2>0x3=−√12x3=−√22 eine Lösung, da D″=12⋅−√22)2−2>0
Die beiden Punkte Q sind:
xq1=√22yq1=(√22)2=12xq2=−√22yq2=(−√22)2=12
Q1(√22,12)
Q2(−√22,12)
Der minimale Abstand beträgt:
√(0−√22)2+(1−12)2=√14=1√2=√22
Die Frage ist in einem mir weitgehend unverständlichenText gestellt. Zum Beispiel: Welche Größe ist ∈ R^2? Doch wohl nicht der Punkt P=(0,1). Bitte formuliere deine Frage klar und verständlich !
Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Jetzt habe ich die Frage doch verstanden. Sorry, für die vorherige Äußerung.
Die Lösung folgt baldigst.
1. f(x)=y=x2 f ′(x)=y ′=2x
2. g(x)=mx+1 mg(x)=−1f ′(x)
? Ich komme nicht weiter und bitte um Mithilfe. !
1. f(x)=y=x2 f ′(x)=y ′=2x
2. g(x)=mx+1 mg(x)=−1f ′(x)
d2=D=x2Q+(1−yQ)2
yQ=xQ2
D=x2Q+(1−x2Q)2
D=x2Q+1−2x2Q+x4Q [xQ=x]
h(x)=D=1−x2+x4
h ′(x)=4x3−2x=0
x(4x3−2)=0 x1 = 0 entfällt
x3=12 [x=xQ]
xQ=13√2=0,793700525987 yQ=x2Q=13√4=0,629960524947
D=x2Q+(1−yQ)2
D=x2Q+(1−x2Q)2
D=(13√2)2+(1−13√4)2=0.766889738049
d=+√D=0,875722409242
Danke heureka !
Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.
Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.
Gegeben:
Punkt P=(0,1)xp=0yp=1
Parabel y=x2
Gesucht:
Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q
Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:
d2=D=(y−yp)2+(x−xp)2|y=x2D=(x2−yp)2+(x−xp)2D=x4−2x2yp+y2p+x2−2xxp+x2pD=x4+x2(1−2yp)−x⋅2xp+x2p+y2p
Mimimale Abstand (Extrempunkt):
1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.
1. Ableitung von D:
D=x4+x2(1−2yp)−x⋅2xp+x2p+y2pD′=4x3+2x(1−2yp)−2xp
1. Ableitung von D gleich null setzen:
D′=4x3+2x(1−2yp)−2xp=0|xp=0yp=14x3+2x(1−2⋅1)−2⋅0=04x3+2x(−1)=04x3−2x=0|:22x3−x=0x⋅(2x2−1)=0
Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' > 0) vorliegt.
2. Ableitung von D:
D′=4x3+2x(1−2yp)−2xpD″=12x2+2(1−2yp)−2xp|xp=0yp=1D″=12x2+2(1−2⋅1)−2⋅0D″=12x2+2(−1)D″=12x2−2
Die 3 Lösungen finden:
x⋅(2x2−1)=0x=0⇒x1=0 keine Lösung, da D″=12⋅0−2<02x2−1=0|+12x2=1|:2x2=12x=±√12x2=+√12x2=√22 eine Lösung, da D″=12⋅(√22)2−2>0x3=−√12x3=−√22 eine Lösung, da D″=12⋅−√22)2−2>0
Die beiden Punkte Q sind:
xq1=√22yq1=(√22)2=12xq2=−√22yq2=(−√22)2=12
Q1(√22,12)
Q2(−√22,12)
Der minimale Abstand beträgt:
√(0−√22)2+(1−12)2=√14=1√2=√22
Danke, auch dir Omi67!
Jetzt muss ich nur noch rauskriegen, wo bei mir der Wurm drin war. Logisch scheint alles richtig zu sein. Vielleicht ein Vertipper. Ich werde es aber rausfinden.
Alles Gute weiterhin wünscht dir
asinus !
Korrektur
h ′(x)=4x3−2x=0
x(4x2−2)=0 x1 = 0 entfällt
x2=12
x1;2=±1√2
Den Punkt Q gibt es im 1. und im 4.Quadranten.
x2 = -0,7071 entfällt.
yQ=x2Q
D=x2Q+(1−yQ)2
D=x2Q+(1−x2Q)2
D=12+(1−12)2
D=12+14=34
d=+√34=12√3=0,866025
Der Mindestabstand zwischen der Parabel f(x) = x2 ist gleich 0,866025
!