+0  
 
+5
281
12
avatar

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

Guest 25.01.2017

Beste Antwort 

 #4
avatar+19506 
+20

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.

Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

 

Gegeben:

Punkt  \(P = (0,1) \qquad x_p = 0\quad y_p = 1\)

Parabel \(y = x^2\)

 

Gesucht:

Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q

 

Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 = D &=& (y-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \qquad & | \qquad y = x^2\\ D &=& (x^2-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \\ D &=& x^4-2x^2y_p+y_p^2+x^2-2xx_p + x_p^2 \\ D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ \hline \end{array} \)

 

Mimimale Abstand (Extrempunkt):

1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.

 

1. Ableitung von D:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ \hline \end{array}\)

 

1. Ableitung von D gleich null setzen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' = 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p &=& 0 \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ 4x^3 +2x(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 &=& 0 \\ 4x^3 +2x(-1) &=& 0 \\ 4x^3 -2x &=& 0 \quad & | \quad : 2 \\ 2x^3 -x &=& 0 \\ x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ \hline \end{array} \)

 

Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' >  0) vorliegt.

 

2. Ableitung von D:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2y_p)-2x_p \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(-1) \\ D'' &=& 12x^2 - 2 \\ \hline \end{array}\)

 

Die 3 Lösungen finden:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ x &=& 0 \Rightarrow x_1 = 0 \text{ keine Lösung, da } D'' = 12\cdot 0 - 2 < 0 \\\\ 2x^2 -1 &=& 0 \quad & | \quad +1 \\ 2x^2 &=& 1 \quad & | \quad : 2 \\ x^2 &=& \frac12 \\ x &=& \pm\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& +\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot (\frac{\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\\\ x_3 &=& -\sqrt{\frac12} \\ x_3 &=& -\frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot \frac{-\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\ \hline \end{array}\)

 

Die beiden Punkte Q sind:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x_{q_1} &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_1} &=& ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ x_{q_2} &=& - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_2} &=& ( -\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ \hline \end{array} \)

 

\(Q_1 (\frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)

\(Q_2 (\frac{ -\sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)

 

 

Der minimale Abstand beträgt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{(0-\frac{\sqrt{2} }{2})^2+(1-\frac12)^2} \\ &=& \sqrt{\frac14} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hline \end{array} \)

 

 

laugh

heureka  26.01.2017
 #1
avatar+7322 
0

Die Frage ist in einem mir weitgehend unverständlichenText gestellt. Zum Beispiel: Welche Größe ist ∈ R^2? Doch wohl nicht der Punkt P=(0,1). Bitte formuliere deine Frage klar und verständlich smiley !

asinus  25.01.2017
 #3
avatar+7322 
0

Sorry! Siehe nächste Antwort.

asinus  26.01.2017
 #2
avatar+7322 
0

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

 

Jetzt habe ich die Frage doch verstanden. Sorry, für die vorherige Äußerung.

 

 

Die Lösung folgt baldigst. smiley

 

1.  \(f(x)=y=x^2\)        \(f\ '(x)=y \ '=2x\)

 

2. \(g(x)= mx+1\)     \(m_{g(x)}=-\frac{1}{f\ '(x)}\)

 

\(\LARGE ?\) Ich komme nicht weiter und bitte um Mithilfe. smiley !

asinus  26.01.2017
bearbeitet von asinus  26.01.2017
 #9
avatar+7322 
0

 

1. \(f(x)=y=x^2\)       \(f\ '(x)=y \ '=2x\)

 

2. \(g(x)= mx+1\)       \(m_{g(x)}=-\frac{1}{f\ '(x)}\) 

 

\(d^2=D=x_Q^2+(1-y_Q)^2\)

 

\(y_Q=x_Q2\)

 

\(D=x_Q^2+(1-x_Q^2)^2\)

 

\(D=x_Q^2+1-2x_Q^2+x_Q^4\)     \([x_Q=x]\)

 

\(h(x)=D=1-x^2+x^4\)

 

\(h\ '(x)=4x^3-2x=0\)

 

\(x(4x^3-2)=0\)      x1 = 0 entfällt

 

\(x^3=\frac{1}{2}\)         \([x=x_Q]\)

 

\(x_Q=\frac{1}{\sqrt[3]{2} }=0,793700525987\)         \(y_Q=x_Q^2=\frac{1}{ \sqrt[3]{4} }=0,629960524947\)

 

\(D=x_Q^2+(1-y_Q)^2\)

 

\( D=x_Q^2+(1-x_Q^2)^2\)

 

\(D=(\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2+(1-\frac{1}{\sqrt[3]{4}})^2=0.766889738049\)

 

\(d=+\sqrt D=0,875722409242\)

 

Danke heureka smiley !

asinus  26.01.2017
 #4
avatar+19506 
+20
Beste Antwort

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.

Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

 

Gegeben:

Punkt  \(P = (0,1) \qquad x_p = 0\quad y_p = 1\)

Parabel \(y = x^2\)

 

Gesucht:

Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q

 

Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 = D &=& (y-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \qquad & | \qquad y = x^2\\ D &=& (x^2-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \\ D &=& x^4-2x^2y_p+y_p^2+x^2-2xx_p + x_p^2 \\ D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ \hline \end{array} \)

 

Mimimale Abstand (Extrempunkt):

1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.

 

1. Ableitung von D:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ \hline \end{array}\)

 

1. Ableitung von D gleich null setzen:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' = 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p &=& 0 \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ 4x^3 +2x(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 &=& 0 \\ 4x^3 +2x(-1) &=& 0 \\ 4x^3 -2x &=& 0 \quad & | \quad : 2 \\ 2x^3 -x &=& 0 \\ x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ \hline \end{array} \)

 

Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' >  0) vorliegt.

 

2. Ableitung von D:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2y_p)-2x_p \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(-1) \\ D'' &=& 12x^2 - 2 \\ \hline \end{array}\)

 

Die 3 Lösungen finden:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ x &=& 0 \Rightarrow x_1 = 0 \text{ keine Lösung, da } D'' = 12\cdot 0 - 2 < 0 \\\\ 2x^2 -1 &=& 0 \quad & | \quad +1 \\ 2x^2 &=& 1 \quad & | \quad : 2 \\ x^2 &=& \frac12 \\ x &=& \pm\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& +\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot (\frac{\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\\\ x_3 &=& -\sqrt{\frac12} \\ x_3 &=& -\frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot \frac{-\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\ \hline \end{array}\)

 

Die beiden Punkte Q sind:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline x_{q_1} &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_1} &=& ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ x_{q_2} &=& - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_2} &=& ( -\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ \hline \end{array} \)

 

\(Q_1 (\frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)

\(Q_2 (\frac{ -\sqrt{2} }{2}, \frac12 )\)

 

 

Der minimale Abstand beträgt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{(0-\frac{\sqrt{2} }{2})^2+(1-\frac12)^2} \\ &=& \sqrt{\frac14} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hline \end{array} \)

 

 

laugh

heureka  26.01.2017
 #5
avatar+19506 
+20

(Korrektur)

 

Der minimale Abstand beträgt:
\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{\left( 0-\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^2+ \left( 1-\frac12 \right)^2} \\ &=& \sqrt{\frac24+\frac14} \\ &=& \sqrt{\frac{3}{4}} \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &=& 0,86602540378 \\ \hline \end{array} \)

 

laugh

heureka  26.01.2017
 #6
avatar+7322 
+5

Danke heureka smiley !

asinus  26.01.2017
 #7
avatar
0

Alles falsch!!! Lügenpresse!! merkel muss weg!

Gast 26.01.2017
 #8
avatar
+5

Danke sehr!

Gast 26.01.2017
 #10
avatar+9439 
+5

Ich habe so gerechnet:

 

laugh

Omi67  26.01.2017
 #11
avatar+7322 
0

Danke, auch dir Omi67!

Jetzt muss ich nur noch rauskriegen, wo bei mir der Wurm drin war. Logisch scheint alles richtig zu sein. Vielleicht ein Vertipper. Ich werde es aber rausfinden.

Alles Gute weiterhin wünscht dir

asinus smiley !

asinus  26.01.2017
 #12
avatar+7322 
0


Korrektur

 

\(h\ '(x)=4x^3-2x=0\)

 

\(x(4x^2-2)=0\)      x1 = 0 entfällt

 

\(x^2=\frac{1}{2}\)

 

\(x_{1;2}=\pm \frac{1}{\sqrt 2}\)

 

Den Punkt Q gibt es im 1. und im 4.Quadranten.

x2 = -0,7071 entfällt.

 

\(y_Q=x_Q^2\)

 

\(D=x_Q^2+(1-y_Q)^2\)

 

\(D=x_Q^2+(1-x_Q^2)^2\)

 

\(D=\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})^2 \)

 

\(D=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

 

\(d=+\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt 3=0,866025\)

 

Der Mindestabstand zwischen der Parabel f(x) = x2 ist gleich 0,866025

 

laugh  !

asinus  26.01.2017

9 Benutzer online

Neue Datenschutzerklärung

Wir verwenden Cookies, um Inhalte und Anzeigen bereitzustellen und die Zugriffe auf unsere Website anonymisiert zu analysieren.

Bitte klicken Sie auf "Cookies und Datenschutzerklärung akzeptieren", wenn Sie mit dem Setzen der in unserer Datenschutzerklärung aufgeführten Cookies einverstanden sind und der Drittanbieter Google Adsense auf dieser Webseite nicht-personalisierte Anzeigen für Sie einbinden darf. Nach Einwilligung erhält der Anbieter Google Inc. Informationen zu Ihrer Verwendung unserer Webseite.

Davon unberührt bleiben solche Cookies, die nicht einer Einwilligung bedürfen, weil diese zwingend für das Funktionieren dieser Webseite notwendig sind.

Weitere Informationen: Cookie Bestimmungen und Datenschutzerklärung.