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Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

 25.01.2017

Beste Antwort 

 #4
avatar+26397 
+20

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.

Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

 

Gegeben:

Punkt  P=(0,1)xp=0yp=1

Parabel y=x2

 

Gesucht:

Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q

 

Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:

d2=D=(yyp)2+(xxp)2|y=x2D=(x2yp)2+(xxp)2D=x42x2yp+y2p+x22xxp+x2pD=x4+x2(12yp)x2xp+x2p+y2p

 

Mimimale Abstand (Extrempunkt):

1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.

 

1. Ableitung von D:

D=x4+x2(12yp)x2xp+x2p+y2pD=4x3+2x(12yp)2xp

 

1. Ableitung von D gleich null setzen:

D=4x3+2x(12yp)2xp=0|xp=0yp=14x3+2x(121)20=04x3+2x(1)=04x32x=0|:22x3x=0x(2x21)=0

 

Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' >  0) vorliegt.

 

2. Ableitung von D:

D=4x3+2x(12yp)2xpD=12x2+2(12yp)2xp|xp=0yp=1D=12x2+2(121)20D=12x2+2(1)D=12x22

 

Die 3 Lösungen finden:

x(2x21)=0x=0x1=0 keine Lösung, da D=1202<02x21=0|+12x2=1|:2x2=12x=±12x2=+12x2=22 eine Lösung, da D=12(22)22>0x3=12x3=22 eine Lösung, da D=1222)22>0

 

Die beiden Punkte Q sind:

xq1=22yq1=(22)2=12xq2=22yq2=(22)2=12

 

Q1(22,12)

Q2(22,12)

 

 

Der minimale Abstand beträgt:
(022)2+(112)2=14=12=22

 

 

laugh

 26.01.2017
 #1
avatar+15088 
0

Die Frage ist in einem mir weitgehend unverständlichenText gestellt. Zum Beispiel: Welche Größe ist ∈ R^2? Doch wohl nicht der Punkt P=(0,1). Bitte formuliere deine Frage klar und verständlich smiley !

 25.01.2017
 #3
avatar+15088 
0

Sorry! Siehe nächste Antwort.

asinus  26.01.2017
 #2
avatar+15088 
0

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

 

Jetzt habe ich die Frage doch verstanden. Sorry, für die vorherige Äußerung.

 

 

Die Lösung folgt baldigst. smiley

 

1.  f(x)=y=x2        f (x)=y =2x

 

2. g(x)=mx+1     mg(x)=1f (x)

 

? Ich komme nicht weiter und bitte um Mithilfe. smiley !

 26.01.2017
bearbeitet von asinus  26.01.2017
 #9
avatar+15088 
0

 

1. f(x)=y=x2       f (x)=y =2x

 

2. g(x)=mx+1       mg(x)=1f (x) 

 

d2=D=x2Q+(1yQ)2

 

yQ=xQ2

 

D=x2Q+(1x2Q)2

 

D=x2Q+12x2Q+x4Q     [xQ=x]

 

h(x)=D=1x2+x4

 

h (x)=4x32x=0

 

x(4x32)=0      x1 = 0 entfällt

 

x3=12         [x=xQ]

 

xQ=132=0,793700525987         yQ=x2Q=134=0,629960524947

 

D=x2Q+(1yQ)2

 

D=x2Q+(1x2Q)2

 

D=(132)2+(1134)2=0.766889738049

 

d=+D=0,875722409242

 

Danke heureka smiley !

asinus  26.01.2017
 #4
avatar+26397 
+20
Beste Antwort

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.

Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2, x0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

 

Gegeben:

Punkt  P=(0,1)xp=0yp=1

Parabel y=x2

 

Gesucht:

Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q

 

Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:

d2=D=(yyp)2+(xxp)2|y=x2D=(x2yp)2+(xxp)2D=x42x2yp+y2p+x22xxp+x2pD=x4+x2(12yp)x2xp+x2p+y2p

 

Mimimale Abstand (Extrempunkt):

1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.

 

1. Ableitung von D:

D=x4+x2(12yp)x2xp+x2p+y2pD=4x3+2x(12yp)2xp

 

1. Ableitung von D gleich null setzen:

D=4x3+2x(12yp)2xp=0|xp=0yp=14x3+2x(121)20=04x3+2x(1)=04x32x=0|:22x3x=0x(2x21)=0

 

Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' >  0) vorliegt.

 

2. Ableitung von D:

D=4x3+2x(12yp)2xpD=12x2+2(12yp)2xp|xp=0yp=1D=12x2+2(121)20D=12x2+2(1)D=12x22

 

Die 3 Lösungen finden:

x(2x21)=0x=0x1=0 keine Lösung, da D=1202<02x21=0|+12x2=1|:2x2=12x=±12x2=+12x2=22 eine Lösung, da D=12(22)22>0x3=12x3=22 eine Lösung, da D=1222)22>0

 

Die beiden Punkte Q sind:

xq1=22yq1=(22)2=12xq2=22yq2=(22)2=12

 

Q1(22,12)

Q2(22,12)

 

 

Der minimale Abstand beträgt:
(022)2+(112)2=14=12=22

 

 

laugh

heureka 26.01.2017
 #5
avatar+26397 
+20

(Korrektur)

 

Der minimale Abstand beträgt:
(022)2+(112)2=24+14=34=32=0,86602540378

 

laugh

heureka  26.01.2017
 #6
avatar+15088 
+5

Danke heureka smiley !

asinus  26.01.2017
 #7
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0

Alles falsch!!! Lügenpresse!! merkel muss weg!

 26.01.2017
 #8
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+5

Danke sehr!

 26.01.2017
 #10
avatar+12530 
+5

Ich habe so gerechnet:

 

laugh

 26.01.2017
 #11
avatar+15088 
0

Danke, auch dir Omi67!

Jetzt muss ich nur noch rauskriegen, wo bei mir der Wurm drin war. Logisch scheint alles richtig zu sein. Vielleicht ein Vertipper. Ich werde es aber rausfinden.

Alles Gute weiterhin wünscht dir

asinus smiley !

asinus  26.01.2017
 #12
avatar+15088 
0


Korrektur

 

h (x)=4x32x=0

 

x(4x22)=0      x1 = 0 entfällt

 

x2=12

 

x1;2=±12

 

Den Punkt Q gibt es im 1. und im 4.Quadranten.

x2 = -0,7071 entfällt.

 

yQ=x2Q

 

D=x2Q+(1yQ)2

 

D=x2Q+(1x2Q)2

 

D=12+(112)2

 

D=12+14=34

 

d=+34=123=0,866025

 

Der Mindestabstand zwischen der Parabel f(x) = x2 ist gleich 0,866025

 

laugh  !

asinus  26.01.2017

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