Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}.

Finde einen Punkt Q = (x₀,y₀) in der Parabel (y₀ = x^2, x₀), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

Gegeben:

Punkt  $P = (0,1) \qquad x_p = 0\quad y_p = 1$

Parabel $y = x^2$

Gesucht:

Der mimimale Abstand von P zur Parabel am Punkt Q

Abstand Punkt und Parabel zum Quadrat:

$\begin{array}{|rcll|} \hline d^2 = D &=& (y-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \qquad & | \qquad y = x^2\\ D &=& (x^2-y_p)^2 + (x-x_p)^2 \\ D &=& x^4-2x^2y_p+y_p^2+x^2-2xx_p + x_p^2 \\ D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ \hline \end{array}$

Mimimale Abstand (Extrempunkt):

1. Ableitung null setzen, und 2. Ableitung muss > 0 sein.

1. Ableitung von D:

$\begin{array}{|rcll|} \hline D &=& x^4+x^2(1-2y_p)-x\cdot 2x_p +x_p^2 +y_p^2 \\ D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ \hline \end{array}$

1. Ableitung von D gleich null setzen:

$\begin{array}{|rcll|} \hline D' = 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p &=& 0 \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ 4x^3 +2x(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 &=& 0 \\ 4x^3 +2x(-1) &=& 0 \\ 4x^3 -2x &=& 0 \quad & | \quad : 2 \\ 2x^3 -x &=& 0 \\ x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ \hline \end{array}$

Überprüfung der 3 Lösungen ob ein relatives Mimimum (D'' >  0) vorliegt.

2. Ableitung von D:

$\begin{array}{|rcll|} \hline D' &=& 4x^3 +2x(1-2y_p)-2x_p \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2y_p)-2x_p \quad & | \quad x_p = 0 \qquad y_p = 1 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(1-2\cdot 1)-2\cdot 0 \\ D'' &=& 12x^2 + 2(-1) \\ D'' &=& 12x^2 - 2 \\ \hline \end{array}$

Die 3 Lösungen finden:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x\cdot (2x^2 -1) &=& 0 \\ x &=& 0 \Rightarrow x_1 = 0 \text{ keine Lösung, da } D'' = 12\cdot 0 - 2 < 0 \\\\ 2x^2 -1 &=& 0 \quad & | \quad +1 \\ 2x^2 &=& 1 \quad & | \quad : 2 \\ x^2 &=& \frac12 \\ x &=& \pm\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& +\sqrt{\frac12} \\ x_2 &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot (\frac{\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\\\ x_3 &=& -\sqrt{\frac12} \\ x_3 &=& -\frac{ \sqrt{2} }{2} \text{ eine Lösung, da } D'' = 12\cdot \frac{-\sqrt{2} }{2})^2 - 2 > 0 \\ \hline \end{array}$

Die beiden Punkte Q sind:

$\begin{array}{|rcll|} \hline x_{q_1} &=& \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_1} &=& ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ x_{q_2} &=& - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y_{q_2} &=& ( -\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2 = \frac12 \\\\ \hline \end{array}$

$Q_1 (\frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac12 )$

$Q_2 (\frac{ -\sqrt{2} }{2}, \frac12 )$

Der minimale Abstand beträgt:
$\begin{array}{|rcll|} \hline && \sqrt{(0-\frac{\sqrt{2} }{2})^2+(1-\frac12)^2} \\ &=& \sqrt{\frac14} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hline \end{array}$

Die Frage ist in einem mir weitgehend unverständlichenText gestellt. Zum Beispiel: Welche Größe ist ∈ R^2? Doch wohl nicht der Punkt P=(0,1). Bitte formuliere deine Frage klar und verständlich !

Bestimme den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P = (0,1) ∈ R^2 und der Parabel E = {(x,y) ∈ R^2 : y = x^2}. Finde einen Punkt Q = (x0,y0) in der Parabel (y0 = x^2 0), in dem dieser minimale Abstand angenommen wird.

Jetzt habe ich die Frage doch verstanden. Sorry, für die vorherige Äußerung.

Die Lösung folgt baldigst.

1.  $f(x)=y=x^2$        $f\ '(x)=y \ '=2x$

2. $g(x)= mx+1$     $m_{g(x)}=-\frac{1}{f\ '(x)}$

$\LARGE ?$ Ich komme nicht weiter und bitte um Mithilfe. !

Alles falsch!!! Lügenpresse!! merkel muss weg!

Danke sehr!

Ich habe so gerechnet: