Eine Postfilliale führt eine Übersicht über dieVerkäufe der Marken und hat über die Weihnachtszeit folgende Funktion aufstellen können:
\(b(t)=30+ e^{ -t^2+4t} \)
Dabei steht b(t) für die Verkauften Bögen und t für die Zeit in Wochen seit beginn der Weihnachtszeit.
a) Berechne die Anzahl Bögen die zum Beginn der Weihnachtszeit verkauft werden.
\(\begin{array}{rcll} b(t) &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad t=0\\ b(0) &=& 30+ e^{ -0^2+4\cdot 0} \\ b(0) &=& 30+ e^0 \qquad & | \qquad e^0 = 1\\ b(0) &=& 30+ 1\\ \mathbf{b(0) }&\mathbf{=}& \mathbf{31}\\ \end{array}\)
Zum Beginn der Weihnachtszeit werden 31 Bögen verkauft.
b) Berechne zu welchem Zeitpunkt 50 Briefmarkenbögen verkauft wurden
\(\begin{array}{rcll} b(t) &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad b(t) = 50\\ 50 &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad -30\\ 20 &=& e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad \ln{()} \\ \ln{(20)} &=& \ln{( e^{ -t^2+4t} )} \\ \ln{(20)} &=& -t^2+4t \\ t^2-4t + \ln{(20)} &=&0 \\ t &=& \frac{ 4\pm\sqrt{16-4\cdot \ln{(20)} } }{2} \\ t &=& \frac{ 4\pm\sqrt{4.01707090578} }{2} \\ t &=& \frac{ 4\pm 2.00426318276} {2} \\\\ t_1 &=& \frac{ 4 - 2.00426318276 }{2} \\ \mathbf{t_1} &\mathbf{=}& \mathbf{0.99786840862} \\\\ t_2 &=& \frac{4 + 2.00426318276 }{2} \\ \mathbf{t_2} &\mathbf{=}& \mathbf{3.00213159138} \end{array} \)
Nach etwa einer Woche und nach etwa 3 Wochen werden 50 Briefmarkenbögen verkauft
c) Wie hoch ist die maximale Zahl der verkauften Bögen pro Woche? + Zeitpunkt
\(\begin{array}{rcll} b(t) &=& 30+ e^{ -t^2+4t} \qquad & | \qquad b(t)' = 0\\ b(t)' &=& e^{ -t^2+4t} \cdot (-2t+4) = 0\\\\ (-2t+4) &=& 0 \\ 2t &=& 4\\ \mathbf{t} &\mathbf{=}& \mathbf{2} \\\\ b(2) &=& 30+ e^{ -2^2+4\cdot 2} \\ b(2) &=& 30+ e^{ -4+8} \\ b(2) &=& 30+ e^{ 4} \\ b(2) &=& 30+ 54.5981500331 \\ \mathbf{b(2)} &\mathbf{=}& \mathbf{84.5981500331} \\ \end{array}\)
Die maximale Zahl wird nach 2 Wochen verkauft und beträt etwa 85 Stück.
d) Erstelle eine Wertetabelle von t=0 bis t=5 (in einer Schritten)
\(\begin{array}{|c|c|} \hline t & b(t) \\ \hline 0 & 31\\ 1 & 50.086\\ 2 & 84.598\\ 3 & 50.086\\ 4 & 31\\ 5 & 30.007\\ \hline \end{array}\)
!
