asinus

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage

für alle natürlichen Zahlen n:

\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}\)

Hey Gast!

Induktionsanfang:

n=1.

linke Seite: \(\frac{1}{1*(1+2)}=\color{blue}\frac{1}{3}\)

rechte Seite: \(\frac{1*(3*1+5)}{4*(1+1)*(1+2)}=\frac{8}{24}=\color{blue}\frac{1}{3}\)

Für n=1 sind beide Seiten gleich!

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}\)

Induktionsbehauptung:

\(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}=\frac{(n+1)*(3(n+1)+5)}{4*((n+1)+1)*((n+1)+2)}=\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}\)

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1\)

n + 1 \(\rightarrow\)  n = 2

linke Seite:

\(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k*(k+2)}\)

\(=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k*(k+2)}+ \frac{1}{(n+1)*((n+1)+2)}\)

\(=[I.A.] \frac{n*(3n+5)}{4*(n+1)*(n+2)}+\frac{1}{(n+1)*(n+3)}\)

\(=\frac{n*(3n+5)*(n+3)+4*(n+2)}{4*(n+1)*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{2*11*5+4*4}{4*3*4*5}\\ =\frac{126}{240}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}\)

n = 2

rechte Seite:

\(\frac{(n+1)*(3n+8)}{4*(n+2)*(n+3)}\\ =\frac{3*14}{4*4*5}\\ \color{blue}=\frac{21}{40}\)

linke Seite = rechte Seite

q.e.d

Dank für die Hilfe an Omi67 und heureka!

Gruß    !

Hallo Simon!

Per vollständiger Induktion soll folgendes bewiesen werden:

Gegeben sei:

\(f(x) = \frac{1}{1-x}\\ {\color{black}Die \ Induktionsannahme\ lautet:}\\ {f}^{n'+1}(x)=\frac{(n+1)!}{{(1-x)}^{n+2}}\)

Die ersten drei Ableitungen errechnen sich

mit der Quotientenregel zu:

\(f^{n'=1}(x)=\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\)

\(f^{n''=2}(x)=\dfrac{2}{\left(x-1\right)^3}\)

\(f^{n'''=3}(x)=\dfrac{6}{\left(x-1\right)^4}\)                                                          

Ich versuche morgen weiterzukommen.

15.3. 10 Uhr: Omi67 hat es weitergeführt. Danke!

LG

  !

Eine Rieseneiswaffel soll mit Eiskugeln mit dem Durchmesser d = 4,6cm gefüllt werden.

Aufgabe 1: Eisvolumen berechnen. Die Eiswaffel hat die Höhe h = 140 cm.

Wie muss man vorgehen? Es fehlt ja der Radius bzw. Durchmesser

Aufgabe 2: Erläutere die gegebene Höhe von 140 cm.

Hallo Gast!

Zuerst fragen wir: Wie viele Schichten n  dichtgepackte Kugeln gehen in den Hohlkegel?

Ein Kegel aus dichtgepackten Kugeln hat einen Spitzenwinkel von 60°.

Mache dir eine Skizze von einem gleichseitigen Dreieck, Spitze nach unten, mit 6 Kreisen, die das Dreieck ausfüllen.

Kennzeichne die Strecke vom Berührungspunkt der unteren Kugel bis zur Spitze mit a,

die Abstände der Berührungspunkte mit der Seitenlinie mit d.

Dieses stellt den Längsschnitt der 3 unteren Schichten dar ( die 2. Schicht ist verdreht dargestellt).

Radius der Eiskugeln:

                                    \(r=\frac{d}{2}=\frac{4,6cm}{2}\)               \(r=2,3cm\) <

Seitenlinie des 140cm hohen Kegels:

                                   \(s_{140cm}=\frac{h}{cos 30°}=\frac{140cm}{cos30°} \)       

                                                                     \(s_{140cm}=161,66cm\) <

Berührungspunkt erste Kugel bis Spitze:

                                   \(a=\frac{r}{tan30°}=\frac{2,3cm}{tan 30°}\)          \(a=3,98cm\)  <                     

Anzahl der Schichten:

                  \(s_{140cm}=a+d(n-1)\\ s_{140cm}=a+d\cdot n-d\\ d\cdot n=s_{140cm}+d-a\\ n=\frac{s_{140cm}+d-a}{d}=\frac{(161,66+4,60- 3,98)cm}{4,60cm}\)     

                                                                                         \(n=35,27\) <

In die Eiswaffel passen                            n = 35 Schichten Eiskugeln. <

Dichte der Füllung des Hohlkegels \(\theta\):

In den unteren 3 Schichten befinden sich: 

                       \(z_3=(1+3+7)Kugeln\)            \(z_3=11\ Kugeln\) <

Höhe des 3-Schicht-Hohlkegels:

                        \(s_3=(2a+2d)cm=(2\cdot 3,98+2\cdot 4,3)cm\\s_3=16,56cm\\ h_3=s_3\cdot cos30°\\ h_3=16,56cm\cdot cos30°\)

                                                                                     \(h_3=14,34cm\) <

Durchmesser des 3-Schicht-Hohlkegels:

                        \(d_3=2d+2a=(2\cdot 4,3+2\cdot 3,98)cm\) 

                                                                                     \(d_3=16,56cm\) <

Volumen des 3-Schicht-Hohlkegels:

                       \(V_3=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi \ d_3^2}{4}\cdot h_3=\frac{\pi\cdot d_3^2\cdot h_3}{12} =\frac{\pi\cdot 16,56^2\cdot 14,34}{12}cm^3\)

                                                                              \(V_3=1029,529cm^3\) <

Raumbedarf einer Kugel:

                       \(V_{Kugel}=\frac{V_3}{z_3}=\frac{1029,529cm^3}{11\ Kugeln}\)   

                                                               \(V_{Kug}=93,594\ cm^3/Kugel\) <

Umhüllungskegel:

Der Kegel, der alle 35 Schichten umhüllt (er ist >140cm).

Seitenlinie des Umhüllungskegels:

                      \(s_{35}=2a+d(n-1)=2\cdot 3,98cm+34\cdot 4,6cm\)

                                                                                  \(s_{35}=164,36cm\) <

Höhe des Umhüllungskegels:

     \(h_{35}=s_{35}\cdot cos30°=164,36\cdot cos30°\)

                                                                                     \(h_{35}=142,34cm\) <

Der Durchmesser eines 60°-Kegels und seine Seitenlinie sind gleich groß.

                           \(d_{35}=s_{35}\)                                          \(d_{35}=164,36cm\)

Kleine Pause. Ich muss nachrechnen.

Gruß

  !

Identifizieren Sie die Grundfunktionen von \(f(t)=\frac{3}{t^2+4}\)

Hallo Gast!

Beim Differenzieren einer gebrochen rationalen Funktion verwenden wir die Quotientenregel.

\(\large f'(t)= \frac{u'v-uv'}{v^2}\)

Die Grundfunktionen sind im gegebenen Fall

\(u(t)=3\\ v(t)=t^2+4\)        \(u'(t)=0\\ v'(t)=2t\)

Dann gilt

\(f'(t){\color{black}=\frac{0\cdot(t^2+4)-3\cdot 2\cdot t}{(t^2+4)^2}}=-\frac{6t}{t^4+8t^2+16}\)

Gruß

  !

Hallo, ich muss den Raumwinkel einer Halbkugel bestimmen.

Hallo Terax!

Der Raumwinkel \(\Omega \) ist die Teiloberfläche A einer Kugel, geteilt durch den Kugelradius hoch zwei.

\(\Omega=\large \frac{A}{r^2}\)

Die Oberfläche einer Halbkugel ist

\(A=2\pi r^2\)

Also ist

\(\Omega =\large \frac{2\pi r^2}{r^2}\)

\(\Omega = \large 2\pi \)

Der Raumwinkel einer Halbkugel ist \(\Omega = \large 2\pi \) .

Was genau wolltest du mittels Integralrechnung bestimmen?

Bitte melde dich noch mal!

Gruß

  !

Hallo, guten Morgen!

Nun zu

Nr.2

Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\) und den beiden Koordinatenachsen, die im 4.Quadranten liegen.

Der 4. Quadrant wird begrenzt von der negativen y-Achse und der positiven x-Achse.

\(f(x)=x^3-1\) ist eine Parabel 3.Grades.

-1 zeigt an, dass der Graph bei -1 durch die y-Achse geht.

Bei 1 geht der Graph durch die x-Achse

weil:

\(f(x)=x^3-1=0\\ x^3=1\\ x= \sqrt[3]{1}\\ \color{blue}x=1\)

Die gesuchte Fläche A ist

\(A=\int_{0}^{1} \! (x^3-1) \, dx \\ A=| \frac{x^4}{4} -x|_0^1\\ A= (\frac{1}{4}-1)-(0)\)

\(\LARGE A=-\frac{3}{4}\)    \(Quadrateinheiten\)

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

Die Fläche zwischen den Koordinatenachsen und dem Graphen der Funktion \(f(x)=x^3-1\) 

im 4. Quadranten ist \(\frac{3}{4}\)  Quadrateinheiten groß.

Gruß

  !

Guten Morgen Matheanfänger!

Für heute Aufgabe Nr.1

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/2x^2 - 2,5x + 2

Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse über dem Intervall (0;3)

Zuerst prüfen wir, ob die Funktion im Intervall (0;3) Nullstellen,

also Schnittstellen mit der x-Achse, hat.

\(0,5x^2 - 2,5x + 2=0\)

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\\ x = {2,5 \pm \sqrt{6,25-4\cdot 0,5\cdot 2} \over 2\cdot 0,5}\\ x=\frac{2,5\pm \sqrt{2,25}}{1}\\ x_1=4\\ x_2=1\)

Im Intervall (0;3) finden wir die Nullstelle x₂ = 1.

Deshalb berechnen wir die Flächen in den Bereichen (1;0) und (1;3) und addieren sie.

Flächen unter der x-Achse sind negativ, wenn in die positive x-Richtung integriert wird.

Flächen unter der x-Achse sind positiv, wenn in die negative x-Richtung integriert wird.

Jetzt ermitteln wir die Stammfunktion.

\(\color{BrickRed}f(x)=0,5x^2 - 2,5x + 2=0\\\color{blue} \left[A\right]_0^1 \\ =\int_{0}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{0}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(0)\\ =0,916\overline{6}\\\color{blue} =\frac{11}{12}\ Quadrateinheiten\)

\(\left[A\right]_3^1 \)

\(=\int_{3}^{1} \! (0,5x^2 - 2,5x + 2) \, dx \\ =\left[\frac{x^3}{6}-1,25x^2+2x\right]_{3}^{1} \\ =(\frac{1}{6}-1,25+2)-(4,5-11,25+6)\\ =(0,916\overline6)-(-0,75)\color{blue}=1,6\overline6\\ \color{blue}=1\frac{2}{3}\ Quadrateinheiten\)

\(\left[A\right]_0^1+\left[A\right]_3^1\\ \color{black} =\frac{11}{12}+\frac{5}{3}=\frac{31}{12}\\ =2\frac{7}{12}\ Quadrateinheiten\)

Die Summe der beiden Flächen zwischen dem Graphen der Funktion f(x)

und der x-Achse beträgt   \(\large 2\frac{7}{11}\ Quadrateinheiten\).

Das war es für heute. Der Rest kommt morgen.

Gruß von

  !

\(ln|x|<1\\ Bestimme\ x.\)

Hallo Terax!

\(\color{BrickRed}ln|x|<1\\ \{x\}=\{e^{\{\mathbb{R}\ <1\}}\}\\ \mathbb{L}=\{x|e^{\{\mathbb R| (-\infty\ bis\ 1)\}}\} \)

\(\mathbb L=\{x\ |\ \mathbb R\ (0\ bis\ e)\}\)

\(\mathbb L\) ist die Menge aller x für die gilt: \(\large e^{\{Menge\ der\ reellen\ Zahlen\ <1\}}\)

Ich hoffe, dass das richtig ist!

Gruß

  !

In der Auflösung der Gleichung hat sich (mindestens) ein Fehler eingeschlichen,

den ich aber gerade nicht so recht finden will.

\(\frac{3x+7}{4}-2=\frac{4x-8}{5}+1\)

Hallo Terax!

\(\frac{3x+7}{4}-2=\frac{4x-8}{5}+1\)   || \(+2-\frac{4x-8}{5}\)

\(\frac{3x+7}{4}-\frac{4x-8}{5}=3\)          || k.g.N ist \(4\cdot 5\) ; die Zähler mit 5 und 4 erweitern.

\(\frac{5(3x+7)-4(4x-8)}{4\cdot5}=3\)       || ausmultiplizieren

\(\frac{15x+35-16x+32}{20}=3\)        ||  mal 20

\(-x+67=3\cdot 20\)          || mal -1

\(x-67=-60\)               || + 67

\(\large x=7\) 

\(\frac{3x+7}{4}-2=\frac{4x-8}{5}+1\\ \frac{3\cdot 7+7}{4}-2=\frac{4\cdot 7-8}{5}+1\\ \frac{28}{4}-2=\frac{20}{5}+1\\ 7-2=4+1\\ 5=5 \)

Dein Fehler ist in der 5. Zeile passiert:

\(\displaystyle \frac{(3x+7)*5-(4x-8)*4}{4*5}=3\)       \(-(4x-8)*4= -16x+32\)

\(\displaystyle \frac{15x+35-16x{\color{red }-32}}{20}=3\)                      \(\displaystyle \frac{15x+35-16x\ {\color{blue }+32}}{20}=3\)

Gruß

  !

Mit welchen Rechenschritten kommt man von e zu pi.

Welchen Zusammenhang haben diese beiden Zahlen?

Hallo Gast!

π - Faszination in Ziffern

\(\large e^{i\cdot \pi}\)und die Eulersche Identität

Die Mathematiker sind sich ziemlich einig, wenn es um die Frage nach der schönsten und elegantesten Gleichung bzw. Formel der Mathematik geht. Ihre Antwort lautet fast immer:

\(\LARGE e^{i \cdot \pi}=-1\)

Mehr hierzu unter