Hallo ellie,
ich mache es jetzt noch mal auf einen anderen Weg:
Wir haben es mit einer liniearen Gleichung zu tun, weil wir davon ausgehen, das sie beide Kerzen zwar unterschiedlich schnell, aber ansonsten gleichmäßig abbrennen. Also ist die Grundfunktion:
\(y(x)=m\cdot x +n\)
Wir haben pro Kerze also 2 unbekannte m und n. Also benötigen wir auch 2 Gleichungen, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.
x= Zeit in Stunden
y(x)= Länge der Kerze in cm nach einer bestimmten Zeit x
Nehmen wir Kerze 1, mit 15 cm Länge, die nach 10 Stunden vollständig abgebrannt ist.
I. Gleichung: Die Kerze wurde noch nicht angebrannt, dass heißt die Zeit leigt bei Null, und wir wissen, die Kerze ist 15 cm lang. Das setzten wir mal so ein:
\(y_1(0)=15 [cm]=m_1\cdot 0 [Stunden]+n_1\)
da m*0 =0 ist kommt aus der Gleichung n_1=15
\(n_1=15 [cm]\)--> Das ist auch die Anfangslänge, das Sagt das n aus
(Wohingegen y(x) eine Länge nach einer beliebigen Zeit angibt, aber dazu später mehr)
II. Gleichung: Die Kerze ist vollständig abgebrannt, das heißt wir befinden uns zeitlich bei 10 Stunden (x=10). Die Länge ist nun Null cm, den sie ist ja abgebrannt. Das setzten wir wieder so ein: (Die 15 cm für n setzten wir natürlich mit ein)
\(y_1(10)=0[cm]=m_1\cdot10[Stunden]+15[cm]\)
Diese nun nach m Auflösen:
\(m_1=\frac{-15[cm]}{10[Stunde]}=-\frac{3}{2}\)--> Das ist der Anstieg: Die Kerze brennt 3 cm in 2 Stunden ab!!
Gesamte Gleichung Kerze 1: (ohne Einheiten, vllt Verwirrt das dich auch, aber ich wollte es dir anschaulich erklären)
\(y_1(x)=-\frac{3}{2}\cdot x+15\)
Nun zur Kerze 2. Das selbe vorgehen. Wir schauen uns wieder die "Grenzen" an. Hier lasse ich auch mal die Einheiten weg.
I. Gleichung: Wir betrachten die Kerze vor dem anbrennen, das heißt zum Zeitpunkt 0. (x=0) Die Kerze hat eine Länge von 20 cm. Das setzten wir so ein:
\(y_2(0)=20 =m_2\cdot0+n_2\)
Wieder ist m*0=0 und damit:
\(n_2=20\)
II. Gleichung: Nun Betrachten wir den Zeitpunkt, wenn die Kerze vollständig abgebrannt ist, also eine Länge von 0 cm hat. Das ist zum Zeitpunkt x=8 (Stunden)
Genau das setzten wir wieder so ein und erhalten:
\(y_2(8)=0=m_2\cdot8+20\)
Stellen um und rechnen m aus:
\(m_2=\frac{-20}{8}=-\frac{5}{2}\)--> Die Kerze brennt 5 cm in 2 Stunden ab, also schneller als die Andere
GLeichung für die Kerze 2:
\(y_2(x)=-\frac{5}{2}\cdot x+20\)
Ok, nun habe wir die Funktionen, wie schnell denn die Kerzen Abbrennen, mit der Anfangslänge. Nun die Frage, wann sind sie denn Gleich lang?
Das heißt, die Frage ist, wann sind sie gleich LANG?? Das y(x) gibt ja an, eine LÄNGE nach einer bestimmten Zeit. Die Zeit wollen wir wissen. Und wir Wissen, die LÄNGE ist zu diesem ZEITPUNKT gleich das heißt:
\(y_1(x)=y_2(x)\)
und das sieht so aus:
\(-\frac{3}{2}x+15=-\frac{5}{2}x+20\)
Umstellen:
\(-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}x=+20-15\)
\(\frac{2}{2}x=5\)
\(x=5 [Stunden]\)
Lösung: Nahc 5 Stunden sind die Kerzen gleich Lang.
gruß gandalfthegreen
