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f(x)= (xhoch2 - 6x +9 ) ( x hoch2 +1 )

 

wie rechne ich die nullstelle aus ? 

ellie  05.10.2016
 #1
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Hallo ellie,

 

also um die Nullstellen einer Funktion ausrechnen zu können, möchte man herausfinden wo die Funktion 0 ist, also wo

 

\(f(x) = 0\)

 

Bei deinem Beispiel gilt:

 

\(f(x) = (x^2 - 6x +9)*(x^2 + 1) \\ = x^4 + x^2 - 6x^3 - 6x + 9x^2 + 9 \\ = x^4 + 10x^2 - 6x^3 - 6x + 9 \)

 

Man müsste also

 

\(x^4 - 6x^3 + 10x^2 -6x +9 = 0\)

 

lösen.

allerdings gibt es für Funktionen mit x^4 keine geschlossene Formel, sodass dies auch ohne weitern Aufwand nicht so einfach geht.

 

Aber wir können uns zu nutze machen, dass die Funktionen schon in einer besonderen Form da steht.

nämlich als Produkt von

 

\((x^2 - 6x + 9) \text{ und } (x^2 +1)\)

 

und ein Produkt ist Null wenn eines der beiden Faktoren 0 ist. dh. wenn

 

\((x^2 - 6x + 9) \text{ oder } (x^2 +1) \text{ oder beide Null sind} \)

 

Diese sind beide quadratisch und dafür kann jeweils die Mitternachtsformel oder pq Formel angewandt werden.

 

Bei

 

\((x^2 +1)\)

kann man etnweder Nachrechnen oder sieht leicht, dass dies niemals Null wird, da x^2 immer größer oder gleich 0 ist.

 

Man weiß somit, dass die Funktion nur Null wird, wenn

 

\((x^2 - 6x + 9) = 0 \\ \Rightarrow x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4*1*9}}{2} \\ \Rightarrow x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} \\ \Rightarrow x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} \\ \Rightarrow x_{1,2} = \frac{6}{2} \Rightarrow x_{1,2} = 3\)

 

Das heißt die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei

 

\(x = 3\)

 

und sonst keine weiteren Nullstellen.

 

 

 

Grüße

Gast 05.10.2016
bearbeitet von Gast  05.10.2016
bearbeitet von Gast  05.10.2016
 #2
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Hallo Ellie

 

Du hast folgenden Ausdruck stehen:

 

\(f(x)=(x^2-6x+9)\cdot (x^2+1)\)

 

Um die Nullstellen zu berechnen setzt du die Funktion gleich Null:

 

\(0=(x^2-6x+9)\cdot (x^2+1)\)

 

Da es sich um Ein Produkt handelt, kannst du Folgendes machen: 

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor Null ist. Denn Null mal irgend etwas ist Null. Und das machen wir. Wir haben zwei Faktoren, also machen wir daraus zwei separate Gleichungen:

 

Gleichung I:

 

\(0=(x^2-6x+9)\)

 

Gleichung II:

 

\(0=(x^2+1)\)

 

So, die beiden Gleichungen gilt es zu Lösen: 

Für die Gleichung I benutzen wir die p-q- Formel

 

\(x_{1/2}=-(-\frac{6}{2}) \pm \sqrt[2]{(\frac{6}{2})^2-9}\)

 

\(x_{1/2}=3 \pm \sqrt[2]{(9-9}\)

 

\(x_1=x_2=3\)

 

"Doppelte Nullstelle" bei 3

 

Für die Gleichung II:

 

\(0=(x^2+1)\\ \\ -1=x^2 \)

 

Hier würde eine irrationale Zahl rauskommen, also bleibt es bei x=3 als Nullstelle

 

Gruß

 

gandalfthegreen

gandalfthegreen  05.10.2016

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