anwendungsaufgabe kl.10

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Hallo ellie:

also

Kerze1: 15cm lang und brennt in 10 Stunde ab

Kerze2: 20 cm lang und brennt in 8 Stunden ab

Wir stellen beide Verläuft in Funktionen f(x) dar, wobei x die Zeit ist.

Hierbei handelt es sich offensichtlich um lineare Funktionen, dh. von der Form

\(f(x) = x*m +b\)

Wir bekommen dann für Kerze 1:

\(f(0) = 15 \\ f(10) = 0\)da die Kerze nach 0 Minuten 15cm lang ist und nach 10Stunden 0cm lang

man erhält dadurch:

\(f(0) = b = 15 \Rightarrow b = 15\\ f(10) = 10*m + b = 10*m + 15 = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2}\)

somit hat für Kerze 1 die Funktion die folgende Form:

\(f_{1}(x) = -\frac{3}{2}*x + 15\)

Analog erhält man für Kerze 2:

\(f_{2}(x) = -\frac{5}{2}*x + 20\)

Um nun noch herauszufinden wann beide Gleich lang sind, setzt man beide Funktionen gleich:

\(f_{1}(x) = f_{2}(x) \\ \Leftrightarrow -\frac{3}{2}*x + 15 = -\frac{5}{2}*x + 20 \\ \Leftrightarrow x = 5\)

somit sind beide Kerzen nach 5 Stunden gleich lange.

Grüße

Wäre gut wenn mir jemand erkläre würde wie man auf m kommt, weil ich das nicht so verstanden habe. 

Da wir wissen, dass die Kerze zum Zeitpunkt 0, 15cm lang ist, erhalten wir folgende Gleichung:

\(f(0) = 15 \\ \text{ wobei} \\ f(0) = m*0 + b = b \\ \Rightarrow b = 15\)

Nun müssen wir noch m bestimmen, und da wir wissen, dass zum Zeitpunkt 10, die Kerze 0cm lang ist erhalten wir

\(f(10) = 0 \\ \text{wobei} \\ f(10) = 10*m + b \\ \text{aber wir wissen bereits, dass } b = 15 \\ \text{somit} \\ f(10) = 10*m + 15\)

nun müssen wir nurnoch auflösen.

\(f(10) = 0 \\ \Leftrightarrow 10*m + b = 0 \\ \Leftrightarrow 10*m + 15 = 0 \\ \Leftrightarrow 10*m = -15 \\ \Leftrightarrow m = \frac{-15}{10} = \frac{-3}{2}\)

Somit haben wir die unbekannten m und b bestimmt und können nun die Funktionslgeichung aufstellen

\(f(x) = \frac{-3}{2}*x + 15\)

PS: Wie kann man hier im Forum auf Beiträge antworten? Oder geht dies nur als registrierter Nutzer?

Warum minus 15:10 ? Wie bist du am ende beim auflösen darauf gekommen?

und zu deiner P.S frame: ich denke auch, dass das nur als registrierter Nutzer geht 

Hallo Ellie, 

Auf deine Frage: "Warum minus 15:10 ? Wie bist du am ende beim auflösen darauf gekommen?" folgende Antwort:

Aus der Gleichung: (Ich hoffe es ist dir klar, wie unser Gast darauf gekommen ist?)

\(10 \cdot m=-15\)

wird nun nur noch umgestellt: 

1. Schritt auf beiden Seiten durch 10 teilen

\(\frac{10 \cdot m}{\color {red}10}=\frac{-15}{\color{red}10}\)

2. Schritt kürzen

\(\color{red}1 \color{black}\cdot m=\frac{-3}{2}\)

\(m=\frac{-3}{2}\)

gruß gandalfthegreen

Ist dir bewusst wie man auf die beiden Gleichungen

\(f (0) = 15 \\ f (10) = 0\)

kommt ?

Weil dann ist es nur noch pures Einsetzen.

Man erhält dann 

\(10×m + 15 = 0\)

und löst dann nach m auf.

Hallo ellie, 

ich mache es jetzt noch mal auf einen anderen Weg:

Wir haben es mit einer liniearen Gleichung zu tun, weil wir davon ausgehen, das sie beide Kerzen zwar unterschiedlich schnell, aber ansonsten gleichmäßig abbrennen. Also ist die Grundfunktion:

\(y(x)=m\cdot x +n\)

Wir haben pro Kerze also 2 unbekannte m und n. Also benötigen wir auch 2 Gleichungen, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.

x= Zeit in Stunden

y(x)= Länge der Kerze in cm nach einer bestimmten Zeit x

Nehmen wir Kerze 1, mit 15 cm Länge, die nach 10 Stunden vollständig abgebrannt ist.

I. Gleichung: Die Kerze wurde noch nicht angebrannt, dass heißt die Zeit leigt bei Null, und wir wissen, die Kerze ist 15 cm lang. Das setzten wir mal so ein:

\(y_1(0)=15 [cm]=m_1\cdot 0 [Stunden]+n_1\)

da m*0 =0 ist kommt aus der Gleichung n_1=15

\(n_1=15 [cm]\)--> Das ist auch die Anfangslänge, das Sagt das n aus

(Wohingegen y(x) eine Länge nach einer beliebigen Zeit angibt, aber dazu später mehr)

II. Gleichung: Die Kerze ist vollständig abgebrannt, das heißt wir befinden uns zeitlich bei 10 Stunden (x=10). Die Länge ist nun Null cm, den sie ist ja abgebrannt. Das setzten wir wieder so ein: (Die 15 cm für n setzten wir natürlich mit ein)

\(y_1(10)=0[cm]=m_1\cdot10[Stunden]+15[cm]\)

Diese nun nach m Auflösen:

\(m_1=\frac{-15[cm]}{10[Stunde]}=-\frac{3}{2}\)--> Das ist der Anstieg: Die Kerze brennt 3 cm in 2 Stunden ab!!

Gesamte Gleichung Kerze 1: (ohne Einheiten, vllt Verwirrt das dich auch, aber ich wollte es dir anschaulich erklären)

\(y_1(x)=-\frac{3}{2}\cdot x+15\)

Nun zur Kerze 2. Das selbe vorgehen. Wir schauen uns wieder die "Grenzen" an. Hier lasse ich auch mal die Einheiten weg.

I. Gleichung: Wir betrachten die Kerze vor dem anbrennen, das heißt zum Zeitpunkt 0. (x=0) Die Kerze hat eine Länge von 20 cm. Das setzten wir so ein:

\(y_2(0)=20 =m_2\cdot0+n_2\)

Wieder ist m*0=0 und damit:

\(n_2=20\)

II. Gleichung: Nun Betrachten wir den Zeitpunkt, wenn die Kerze vollständig abgebrannt ist, also eine Länge von 0 cm hat. Das ist zum Zeitpunkt x=8 (Stunden)

Genau das setzten wir wieder so ein und erhalten:

\(y_2(8)=0=m_2\cdot8+20\)

Stellen um und rechnen m aus:

\(m_2=\frac{-20}{8}=-\frac{5}{2}\)--> Die Kerze brennt 5 cm in 2 Stunden ab, also schneller als die Andere

GLeichung für die Kerze 2: 

\(y_2(x)=-\frac{5}{2}\cdot x+20\)

Ok, nun habe wir die Funktionen, wie schnell denn die Kerzen Abbrennen, mit der Anfangslänge. Nun die Frage, wann sind sie denn Gleich lang?

Das heißt, die Frage ist, wann sind sie gleich LANG?? Das y(x) gibt ja an, eine LÄNGE nach einer bestimmten Zeit. Die Zeit wollen wir wissen. Und wir Wissen, die LÄNGE ist zu diesem ZEITPUNKT gleich das heißt:  

\(y_1(x)=y_2(x)\)

und das sieht so aus: 

\(-\frac{3}{2}x+15=-\frac{5}{2}x+20\)

Umstellen:

\(-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}x=+20-15\)

\(\frac{2}{2}x=5\)

\(x=5 [Stunden]\)

Lösung: Nahc 5 Stunden sind die Kerzen gleich Lang.

gruß gandalfthegreen

Hallo ellie,

Um die Aufgabe zu vervollständigen, habe ich eine grafische Darstellung gemacht. Gandalf hat sich ja schon viel Mühe gemacht, den Sachverhalt zu erklären. Die rote Kerze ist 15 cm lang undbrennt komplett in 10 Stunden ab, weil sie wahrscheinlichdicker ist als die blaue Kerze. Diese ist am Anfang 20 cm lang und ist bereits nach 8 Stunden abgebrannt.

Nach5 Stunden sind beide Kerzen gleich lang. Das ist an der Stelle, an der sich die Geraden schneiden.