Die 1. Ableitung von: $$\frac{a}{2c}(e^{cx}+e^{-cx})$$ ist gesucht.
1.) Umformung: $$\frac{a}{2c}*e^{cx}+\frac{a}{2c}*e^{-cx}$$
2.) Konstante k setzen: $$k=\frac{a}{2c}$$
3.) Die Formel lautet nun: $$k*e^{cx}+k*e^{-cx}$$
4.) Die Ableitung von $$k*e^{cx}+k*e^{-cx}$$ ist gleich die Summe der Ableitung von
$$k*e^{cx}$$ + der Ableitung von $$k*e^{-cx}$$
5.) Die Ableitung von $$k*e^{cx}$$ lautet
$$k*e^{cx}*c$$.
Die Konstante k bleibt erhalten.
Die Ableitung von $$e^{cx}$$ : Die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung.
Die äußere Ableitung, also die Ableitung von $$e^{cx}$$ ist $$e^{cx}$$!
Die innere Ableitung, also die Ableitung von $$c*x$$ lautet $$c$$
Das Produkte von äußerer Ableitung und innerer Ableitung lautet $$e^{cx}*c$$
Die Konstante bleibt erhalten also die Ableitung von $$k*e^{cx}$$ lautet
$$k*e^{cx} * c$$
6.) Die Ableitung von $$k*e^{-c*x}$$ lautet
$$k*e^{-c*x}*(-c)$$
Die Konstante k bleibt erhalten.
Die Ableitung von $$e^{-c*x}$$ : Die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung.
Die äußere Ableitung, also die Ableitung von $$e^{-c*x}$$ ist $$e^{-c*x}$$!
Die innere Ableitung, also die Ableitung von $$-c*x$$ lautet $$-c$$
Das Produkte von äußerer Ableitung und innerer Ableitung lautet $$e^{-c*x}*(-c)$$
Die Konstante bleibt erhalten also die Ableitung von $$k*e^{-c*x}$$ lautet
$$k*e^{-c*x}*(-c)$$
7.) Die Ableitung von $$k*e^{cx}+k*e^{-cx}$$ lautet:
$$k*e^{cx}*c + k*e^{-c*x}*(-c)$$
8.) Vereinfachung: $$k*c = \frac{a}{2c}*c = \frac{a}{2}$$
9.) Die Ableitung lautet nun: $$\frac{a}{2}*e^{cx}-\frac{a}{2}*e^{-cx}=\frac{a}{2}\left(e^{cx}-e^{-cx} \right)$$
Die Ableitung von $$\frac{a}{2c}(e^{cx}+e^{-cx})$$ lautet $$\frac{a}{2}\left(e^{cx}-e^{-cx} \right)$$
Viele Grüße
S. aus H.
