+14538 Sven legt 12 Ostereier im Kreis auf dem Tisch aus und nummeriert sie im Uhrzeigersinn von A = 1 bis E = 12.
Dann wird in Schritten von 8 abgezählt und das betroffene Ei entfernt. Wenn er also bei Ei Nr. 5 beginnt, zählt er nach rechts bis 8 und entfernt das Ei Nr.1 - Beginnt er bei Nr.9, wird Nr.5 entfernt. Das wiederholt er, bis nur noch ein Ei auf dem Tisch liegt.
1.) Mit welchem Ei (Nr.) muss er beginnen, damit das Ei mit der Nr.11 übrig bleibt ?
2.) Mit welchem Ei muss er beginnen, damit das Ei Nr.1 übrig bleibt ?
3.) Siehst du eine Gesetzmäßigkeit oder kannst du eine Formel herleiten, mit der man das Anfangs-Ei A berechnen kann, wenn das End-Ei E gegeben ist ? (nicht ganz einfach zu durchschauen !!)
Hallo Dieter,
ich habe eine Lösung.
Wartest du noch, oder sollte ich sie hier einstellen?
Viele Grüße
S. aus H.
+14538 Hallo lieber S. aus H. ,
ich nehme an, dass du meine Antwort auf die Ableitung schon "gewürdigt" hast und in meinem Text die beiden Fehler gefunden hast ( nobody is perfekt , er weiß aber, dass perfekt so geschrieben wird und er nicht in, sondern im Forum ist.)
Nun bin ich aber mal wieder sehr gespannt, was du mit den Ostereiern angestellt hast ! Eigentlich hätte ich erwartet, dass jemand das auch als Spiel aufgefasst hätte und einfach nur gezählt hätte. Wenn dann auch noch die +5 erkannt worden wäre, hätte man das "Problem" schon fast gelöst.
Ich bin wirklich auf deine "Erkenntnisse" gespannt und hoffe auf eine einfache Lösung ( so sollte das Spiel auch verstanden werden.) Du machst es für mich immer wieder spannend.
Wie soll ich dich wohl "einordnen": Student der Mathematik oder im Lehramt tätig ?
Bis bald!
Ein netter Gruß von Dieter aus M. ( als "radix" im Forum )
Hallo Dieter,
danke für die vielen guten Worte, doch nun zu deiner Osterei-Frage:
"Kannst du eine Formel herleiten, mit der man das Anfangs-Ei A berechnen kann, wenn das End-Ei E gegeben ist ?"
I. Die spezielle Formel:
In der Tat gibt es so eine Formel. Wenn A die Anfangs-Ei-Nummer und E die End-Ei-Nummer ist, so lautet
sie: $$A = E - 5
E = A + 5$$$$A = E - 5$$ bzw. $$E = A + 5$$
Die Verschiebung um +/- 5 um von A nach E oder von E nach A zu kommen, hattest du ja schon genannt.
Die Formeln oben haben aber einen Haken, sie liefern Werte $$<= 0$$ für A bzw. $$> 12$$ für E.
Um Werte für A unter 1 zu vermeiden, addieren wir 12: $$A = E - 5 + 12 = E + 7$$
Nun konnen aber Werte 13 oder $$>$$ 13 auftreten, also müssen wir in diesen Fällen 12 wieder abziehen.
Wir erhalten so die Formel für A: $$A = E + 7 - 12*\lfloor{\frac{E+7}{13}}\rfloor$$
Entsprechend für E: $$E = A + 5 - 12*\lfloor{\frac{A+5}{13}}\rfloor$$
$$\lfloor \rfloor$$ bedeuten, runde ab auf die nächste Ganzzahl. $$\lfloor \frac{8}{13}\rfloor = 0$$ und $$\lfloor \frac{13}{13}\rfloor = 1$$ bzw. $$\lfloor \frac{14}{13}\rfloor = 1$$ mit anderen Worten mache daraus einen Integer.
Die Formeln gelten nur für 12 Ostereier ( n=12 ) und wenn mit 8 abgezählt wird ( k=8 ).
II. Die allgemeine Formel:
Ich ersetze in den Formeln die 12 durch n: $$A = E-5+n-n*\lfloor{\frac{E-5+n}{n+1}}\rfloor$$
bzw. $$E = A+5-n*\lfloor{\frac{A+5}{n+1}}\rfloor$$
Was uns noch fehlt, ist die Berechnung der "5" aus n=12 und k=8.
Wie wäre der Wert, wenn ich nicht mit 8 abgezählt hätte sondern mit 7 oder 6 etc. Wie wäre der Wert wenn ich nicht 12 Ostereier sondern 13 Ostereier im Kreis auf dem Tisch durchnummeriet hätte oder wenn ich nur 5 Eier in den Kreis gelegt hätte und mit 3 abgezählt hätte?
Für n=12 und k=8 kennen wir den Wert bereits. Er lautet $$T(12,8) = 5$$. Für n=5 und k=3 lautet der Wert $$T(5,3)=4$$.
Gesucht ist also eine Funktion für T(n,k). Hier bin ich im Internet fündig geworden. Die Lösung lautet für den "Josephus elimination process": $$\\T(1, k) = 1\\ T(n, k) = [T(n-1, k)+k] \bmod n$$
Wenn sich ein Rest 0 ergibt, wird der Wert auf n gesetzt!
Wobei $$\bmod$$ die Modulo-Funktion(Restefunktion) bezeichnet. Wenn ich also 7 durch 3 teile ergibt sich ein
Rest von 1. Wenn ich 7 durch 7 teile ergibt sich ein Rest von 0.
Die Berechnung von $$T(12,8) = ?$$:
$$\\T(1,8)=1\\
T(2,8)=[T(1,8)+8]\bmod 2 =(1+8)\bmod 2=1\\
T(3,8)=[T(2,8)+8]\bmod 3 =(1+8)\bmod 3=3\\
T(4,8)=[T(3,8)+8]\bmod 4 =(3+8)\bmod 4=3\\
T(5,8)=[T(4,8)+8]\bmod 5 =(3+8)\bmod 5=1\\
T(6,8)=[T(5,8)+8]\bmod 6 =(1+8)\bmod 6=3\\
T(7,8)=[T(6,8)+8]\bmod 7 =(3+8)\bmod 7=4\\
T(8,8)=[T(7,8)+8]\bmod 8 =(4+8)\bmod 8=4\\
T(9,8)=[T(8,8)+8]\bmod 9 =(4+8)\bmod 9=3\\
T(10,8)=[T(9,8)+8]\bmod 10 =(3+8)\bmod 10=1\\
T(11,8)=[T(10,8)+8]\bmod 11 =(1+8)\bmod 11=9\\
T(12,8)=[T(11,8)+8]\bmod 12 =(9+8)\bmod 12=5\\$$
T(12,8)=5.
Nun können wir unsere Formeln allgemein schreiben:
$$A=E-T(n,k)+n-n*\lfloor{\frac{E-T(n,k)+n}{n+1}}\rfloor$$
$$E = A+T(n,k)-n*\lfloor{\frac{A+T(n,k)}{n+1}}\rfloor$$
Viele Grüße
S. aus H.
+14538 Niemals hätte ich gedacht, dass so viel Mathematik in dem "Ostereier-Spiel" stecken würde, bzw. was man da alles "herausholen" kann. Bin direkt "neidisch" auf deine Fähigkeiten und Kompetenzen ! 
A = E - 5 bzw. E = A + 5 wobei bei neg. Wert 12 addiert, bzw. bei Wert > 12 12 subtrahiert wird.
Die "Additionszahlen" : Schrittweite S = 2 ergibt die 9
Schrittweite S = 3 ergibt die 10
S=4 >> 1 ; S=5 >> 1 ; S=6 >> 3 ; S= 7 >>0 ; S=9 >> 2 ........usw.
habe ich duch Auszählen ermittelt, bzw. in meinem Bekanntenkreis spielerisch ermitteln lassen.
Meine Vermutung "Mathestudium" bzw. Abschluß in dieser Richtung verhärtet sich immer mehr.
P.S. Hast du schon einmal mit dem Gedanken gespielt, auch diesem Matheforum beizutreten ?
Hallo Dieter,
wenn n=12:
Schrittweite = 1: T(12,1) = 12
Schrittweite = 2: T(12,2) = 9
Schrittweite = 3: T(12,2) = 10
Schrittweite = 4: T(12,2) = 1
Schrittweite = 5: T(12,2) = 1
Schrittweite = 6: T(12,2) = 3
Schrittweite = 7: T(12,2) = 12
Schrittweite = 8: T(12,2) = 5
Schrittweite = 9: T(12,2) = 2
Schrittweite = 10: T(12,2) =5
Schrittweite = 11: T(12,2) = 6
Schrittweite = 12: T(12,2) = 11
n=12: 12, 9, 10, 1, 1, 3, 12, 5, 2, 5, 6, 11 (Schrittweite 1 bis 12)
n=1: 1 (Schrittweite 1 bis 1)
n=2: 2, 1 (Schrittweite 1 bis 2)
n=3: 3, 3, 2 (Schrittweite 1 bis 3)
n=4: 4, 1, 1, 2 (Schrittweite 1 bis 4)
n=5: 5, 3, 4, 1, 2 (Schrittweite 1 bis 5)
n=6: 6, 5, 1, 5, 1, 4 (Schrittweite 1 bis 6)
n=7: 7, 7, 4, 2, 6, 3, 5 (Schrittweite 1 bis 7)
n=8: 8, 1, 7, 6, 3, 1, 4, 4 (Schrittweite 1 bis 8)
n=9: 9, 3, 1, 1, 8, 7, 2, 3, 8 (Schrittweite 1 bis 9)
n=10: 10, 5, 4, 5, 3, 3, 9, 1, 7, 8 (Schrittweite 1 bis 10)
n=11: 11, 7, 7, 9, 8, 9, 5, 9, 5, 7, 7 (Schrittweite 1 bis 11)
n=12: 12, 9, 10, 1, 1, 3, 12, 5, 2, 5, 6, 11 (Schrittweite 1 bis 12)
n=13: 13, 11, 13, 5, 6, 9, 6, 13, 11, 2, 4, 10, 8 (Schrittweite 1 bis 13)
n=14: 14, 13, 2, 9, 11, 1, 13, 7, 6, 12, 1, 8, 7, 13 (Schrittweite 1 bis 14)
...
Berechnung von T(12,2) wenn n = 12 und die Schrittweite = 2 (k=2):
$$\\T(1,2)=1\\
T(2,2) =[T(1,2)+2] \bmod 2=(1+2) \bmod 2=1\\
T(3,2) =[T(2,2)+2] \bmod 2=(1+2) \bmod 3=3\\
T(4,2) =[T(3,2)+2] \bmod 2=(3+2) \bmod 4=1\\
T(5,2) =[T(4,2)+2] \bmod 2=(1+2) \bmod 5=3\\
T(6,2) =[T(5,2)+2] \bmod 2=(3+2) \bmod 6=5\\
T(7,2) =[T(6,2)+2] \bmod 2=(5+2) \bmod 7=7\\
T(8,2) =[T(7,2)+2] \bmod 2=(7+2) \bmod 8=1\\
T(9,2) =[T(8,2)+2] \bmod 2=(1+2) \bmod 9=3\\
T(10,2)=[T(9,2)+2] \bmod 2=(3+2) \bmod 10=5\\
T(11,2)=[T(10,2)+2] \bmod 2=(5+2) \bmod 11=7\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{T(12,2)=}[T(11,2)+2] \bmod 2=(7+2) \bmod 12=\textcolor[rgb]{1,0,0}{9}\\$$
Für die Schrittweite 2 gibt es auch eine geschlossene Lösung:
 |
Wobei $$\lfloor ... \rfloor$$ die "Floor"-Funktion bedeutet (Abrundung auf die nächste Ganzzahl).
Und lg ist der Logarithmus zur Basis 2.
$$n=12: \textcolor[rgb]{1,0,0}{L(12,2)=} 1 + 2*n - 2^{1+\lfloor lg(12) \rfloor}=1+24-2^{1+\lfloor 3.5849625 \rfloor}=25-2^{1+3}=25-2^4=25-16=\textcolor[rgb]{1,0,0}{9}$$
Viele Grüße
S. aus H.
links:
+14538 Hallo lieber S. aus H.,
ich habe erst jetzt bemerkt, dass du noch tiefer in die "Ostereiermaterie" eingedrungen bist.
So geht es auch mir gelegentlich, dass man sich immer mehr in eine Sache oder in ein Problem "verbeißt".
Hab' also wiederum herzlichen Dank!
Für heute wünsche ich dir einen geruhsamen Rest der Nacht. ( Es ist 3:23 Uhr )
Dieter
Hallo Dieter,
ich hatte mich vertippt. Es muss heißen:
wenn n=12:
Schrittweite = 1: T(12,1) = 12
Schrittweite = 2: T(12,2) = 9
Schrittweite = 3: T(12,3) = 10
Schrittweite = 4: T(12,4) = 1
Schrittweite = 5: T(12,5) = 1
Schrittweite = 6: T(12,6) = 3
Schrittweite = 7: T(12,7) = 12
Schrittweite = 8: T(12,8) = 5
Schrittweite = 9: T(12,9) = 2
Schrittweite = 10: T(12,10) =5
Schrittweite = 11: T(12,11) = 6
Schrittweite = 12: T(12,12) = 11
n=12: 12, 9, 10, 1, 1, 3, 12, 5, 2, 5, 6, 11 (Schrittweite 1 bis 12)
Das war's aber hierzu.
Viele Grüße
S. aus H.
