Trotzdem

Ich glaube, die s=1/2(a*1²) - Formel berechnet die Strecke immer bis zum vollständigen Halt, bzw,. von 0 m/s bis zu einer vorbestimmten Endgeschwindigkeit.

Damit habe ich auch angefangen, habe aber keinen Weg gefunden, eine Restgeschwindigkeit zu berücksichtigen.

Es ist richtig: wenn man die Beschleunigung wüsste, könnte man die Geschwindigkeit mit v=a*t ausrechnen.

Aber auch diese Formel eignet sich meiner Meinung nach nur für Berechnungen, die von 0 bis zur bekannten Endgeschwindigkeit gehen, wenn man nur die Geschwindigkeit und die Zeit hat.

Auf der anderen Seite habe ich mir gedacht, dass wenn ich weiß, wie schnell ich am Anfang fahre, und weiß, wann ich ankomme, dann muss ich doch auch die Geschwindigkeit ausrechnen können, mit der ich ankomme.

Der Fahrer bremst ja gleichmäßig. Würde er stärker bremsen als von mir berechnet, dann würde er mehr als 1,2 Sekunden bis zum Hindernis brauchen, bremste er langsamer, wäre er früher da.

Also dachte ich, man macht es einfach über die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Auf die Formel bin ich durch nachdenken gekommen. Gleich drauf gekommen bin ich aber auch nicht.

Wenn Du 2 Werte hast, einen größeren und einen kleineren, und willst den Durchschnittswert haben, dann musst Du die Werte zusammenrechnen und durch 2 teilen.

Wenn Du x Werte hast, die unterschiedlich groß sind, und willst einen Durchschnittswert haben, dann musst Du auch diese Werte zusammenrechnen und dann aber durch x teilen.

Also bei 5 Werten durch 5, bei 12 durch 12 und so weiter.

Um die Endgeschwindigkeit rauszukriegen würde ich folgendermaßen vorgehen:

Wir wissen ja immer noch, dass das Fahrzeug sich mit etwa 13,9 m/s fortbewegt (50 Km/h : 3,6)

Wir wissen auch, dass die vor dem Bremsen zurückgelegte Strecke etwa 13,9 m/s * 0,6 s = 8,33 m betragen muss. Es verbleiben somit

18m - 8,33 m = 9,67 m

Für diese 9,67 m braucht das Fahrzeug 1,2s. Daraus ergibt sich eine Durschnittsgeschwindigkeit vom Beginn des Bremsvorgangs bis zum Auftreffen auf das Hindernis:

9,67 m : 1,2 s = 8,056 m/s

Die Durchschittsgeschwindigkeit würde man ja so berechnen:

\(\frac{Anfangsgeschwindigkeit+Endgeschwindigkeit}{2}=Durchschnittsgeschwindigkeit\)

Wenn ich also die Endgeschwindigkeit haben will, muss ich mit 2 multiplizieren und dann die Anfangsgeschwindigkeit abziehen:

\(Endgeschwindigkeit=2*Durchschnittsgeschwindigkeit-Anfangsgeschwindigkeit\)

Konkret mit den hier vorliegenden Zahlen:

Endgeschwindigkeit = 2 * 8,06 m/s - 13,9 m/s

                                = 16,11 m/s - 13,9 m/s

                                = 2,22 m/s

Bzw. 8 Km/h, falls das interessiert.

Wenn Du den Sinuswert zu einem Winkel direkt berechnest, also Gegenkathete durch Hypotenuse, dann brauchst Du die Sinustaste nicht.

Die so ermittelte Zahl kannst Du direkt in der Formel verwenden.

So richtig fällt mir dazu auch nichts ein.

Wurzeln haben wir damals in der Schule immer durch Interpolation "berechnet", obwohl es eigentlich ja stufenweises erraten ist.

Dabei überlegst Du Dir:

Wurzel aus 2 ?

Liegt zwischen 1 und zwei, weil 2 zwischen 1² und 2² liegt. Dann probierst Du Nachkommastellen aus, bis Du herausgefunden hast, dass 2 zwischen 1,4² und 1, 5² liegt. Dann zwischen 1,41² und 1,42² und so.

Hier ist es ja aber komplizierter, weil die Wurzel im Exponenten steht.

Was kann man da machen ?

Man könnte die Wurzel des Exponenten als Bruch schreiben:

\(1,4^{\sqrt{2}}=1,4^{2^{\frac{1}{2}}}\)

Bringt aber nichts für manuelles ausrechnen, oder ich komm nicht drauf.

Man könnte jetzt noch 1,4 als Bruch schreiben:

\(1,4^{\sqrt{2}}=1,4^{2^{\frac{1}{2}}}=(\frac{7}{5})^{2^{{\frac{1}{2}}}}\)

Man könnte sogar den Nenner noch nach oben holen.

\(1,4^{\sqrt{2}}=1,4^{2^{\frac{1}{2}}}=(\frac{7}{5})^{2^{{\frac{1}{2}}}}=7^{2^{{\frac{1}{2}}}}*5^{-2^{{\frac{1}{2}}}}\)

Aber egal ob ich über Pontez- oder Wurzelgesetze nachdenke, mir will keine manuelle Methode einfallen, das zu berechnen.

Das ist ja ungefähr \(1,4^{1,41}\) , und man kann ja eine Zahl nicht "nur ein bisschen" mit sich selbst multiplizieren.

Die Aufgabe kann so nicht richtig sein. Wenn das Fahrzeug 50 Km/h fährt, legt es in einer Sekunde ungefähr 13,9 Meter zurück.

\(50\frac{Km}{h}:3,6=13,88888889 \frac{m}{s}\)

Das Hindernis ist nach 1 Sekunde Reaktionszeit folglich noch 400m - 13,9m = 386, 1m vom Fahrzeug entfernt.

Wenn der Fahrzeugführer NICHT bremst, erreicht er das Hindernis erst weitere 27, 8 Sekunden später.

Wenn er es nach 3 Sekunden erreichen will, müsste er kräftig Gas geben:

\(a=\frac{2s}{t^2}=\frac{2*386,1m}{9s^2}=42,9 \frac{m}{s^2}\)

42,9 m/s² ist etwas mehr als die vierfache Erdbeschleunigung. Ich glaube Formel 1 - Rennautos schaffen ungefähr einfache Erdbeschleunigung (9,81 m/s²).

Eine russische Mig 29 mit Nachbrennern schafft es vielleicht.

Ich hab den Ausgangsterm so verstanden, dass der Exponent über 2x negativ ist:

\(2x^{-3}*(2xy+x^2)^3 \)

Dabei fällt mir zunächst kein Potenzgesetz ein, mit dem man die Aufgabe unmittelbar "schöner" machen könnte.

Das einzige meiner Meinung nach in diesem Zustand des Terms anwendbare Potenzgesetz ist dass, das besagt, dass Zahlen und Unbekannte mit negativer Potenz vom Zähler in den Nenner eines Bruchs wandern und umgekehrt, je nachdem, ob sie erst im Zähler oder im Nenner stehen:

\(2*x^{-3}=\frac{2}{x^3}\)

Um die Aufgabe zu vereinfachen, würde ich zunächst das \((2xy+x^2)^3\)

ausrechnen, also die Klammer beseitigen.

Dabei würde ich mir das Pascallsche Dreieick zunutze machen, welches mir die Faktoren vor den einzelnen Teilen des Ergebnisses schnell darstellt.

                                      1

                                   / \  /  \  

                               1     2     1                       (a+b)² = 1*a² + 2*a*b + 1*b²

                             /   \  /   \  /   \

                          1       3     3     1                   (a+b)³ = 1*a³ + 3*a²*b + 3*a*b² + 1*b³

Somit ergibt sich für unseren Term:

\((2xy+x^2)^3\)

\(={\color{red}1}*(2xy)^3+{\color{red}3}*(2xy)^2*x^2+{\color{red}3}*2xy*(x^2)^2+{\color{red}1}*(x^2)^3\)

Die roten Einsen habe ich nur da hin geschrieben, damit man das Schema erkennt. Die kann man natürlich auch weg lassen.

Jetzt kann man tatsächlich das Potenzgesetz anwenden, dass man den Exponenten einer Zahl, die in einer Klammer steht, mit dem Exponenten außerhalb der Klammer multiplizieren kann. Also im nächsten Schritt wird so zum Beispiel aus \((x^2)^3=x^6\)

Der nächste Schritt sieht also so aus: ich rechne alles zwischen den Plus-Zeichen aus:

\(=8x^3y^3+3*4x^2y^2*x^2+6xy*x^4+x^6\)

\(=8x^3y^3+12x^4y^2+6x^5y+x^6\)

Dies war ja aber nur eine Hilfrechnung. Ich erstze nun

\((2xy+x^2)^3\)

aus der Aufgabe am Anfang durch:

\(8x^3y^3+12x^4y^2+6x^5y+x^6\)

Somit lautet die Aufgabe nun:

\(2x^{-3}*(8x^3y^3+12x^4y^2+6x^5y+x^6)\)

Man kann sehen, das jeder Term in der Klammer mindestens x³ enthält. Somit kann man problemlos x³ ausklammern:

\(2x^{-3}*x^3*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)

Jetzt kann man eine von 2 Optionen wählen:

Entweder schreibt man das x mit dem negativen Exponenten in den Nenner (wobei der Exponent dann positiv wird),

\(\frac{2*x^3*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)}{x^3}\)

und kürzt x³ einfach weg:

\(2*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)

oder man wendet das Potenzgesetz an, dass man die Exponenten zweier gleicher Basen, die miteinander multipliziert werden, addieren kann:

\(2x^{-3}*x^3*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)

\(2x^{(-3+3)}*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)

Dann wird der Exponent über dem ersten x=0, wenn der Exponent 0 wird, wird egal, was Du für x einsetzt immer \(x^0=1\) gelten. Somit hast Du wieder:

\(2*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)

Jetzt kann einem noch auffallen, dass das, was in der Klammer steht, zufällig genau

\((2y+x)^3\)

entspricht.

Man kann also als Endergebnis

\(2x^{-3}*(2xy+x^2)^3 \)

\(=2*(2y+x)^3\)

schreiben. Viel schicker, oder ? Hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet

Wenn ich mir das so angucke, könnte man fast vermuten, dass das mit dem Ausklammer von x³ vielleicht schon ganz am Anfang hätte klappen können. Da muss ich aber gestehen, dass ich dann nicht weiß, welches Potenzgesetz man da wie anwenden sollte, um quasi ohne den ganzen Kram dazwischen sofort ein schönes Ergebnis zu haben.

Mit Deinem TI30x plus kannst Du Sinuswerte in Winkel,

\(sin^{-1}(0,5)=30°\)

beachte dabei, dass über dem sin eine -1 steht, was die Funktion der Taste ins Gegenteil verkehrt,

und Winkel in Sinuswerte umrechnen.

\(sin(30°)=0,5\)

Das gilt auch für Cosinus und Tangens.

Auf der Sinustaste für Deinen Taschenrechner steht "sin" und "\(sin^{-1}\)

Die ist die zweite Taste über der 7.

Wenn Du nun die Sinustaste einmal drückst, kannst Du danach einen Winkel eingeben, den der Taschenrechner dann in einen Sinuswert umrechnet.

Wenn Du die Sinustaste zweimal drückst, kannst Du danach einen Sinuswert eingeben, und der Taschenrechner berechnet den dazugehörigen Winkel.

Mit dem Tangens in Deinem Beispiel würd ich das genauso machen:

1. Zweimal die Tangenstaste drücken (die zweite Taste über der 9)

2. den Tangenswert eingeben. Du erhältst dann den Winkel zu dem Tangens

3. Die Sinustaste einmal drücken. Den Winkel eingeben. Du erhältst dann den Sinuswert zu dem Winkel, von dem Du vorher den Tangens hattest.

Oder Du nutzt aus, dass gilt:

\(tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cosin(\alpha)}\)

Daraus folgt ja, dass gilt:

\(sin(\alpha)=tan(\alpha)*cosin(\alpha)\)

Wenn Du nun \(cosin(\alpha)\)nicht hast, dann kannst Du im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras benutzen:

Hypotenuse² = Kathete1² + Kathete2²

Und die beiden Katheten musst Du ja haben, da Du sonst den Tangens nicht ausrechnen könntest.

Wenn Du die Hypotenuse dann ausgerechnet hast, kannst Du mit Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse dann auch gleich den Sinuswert von Alpha ausrechnen, wenn der Winkel so heißt.

Ändert sich denn das Volumen des Tanks unabhängig von dessen Form gleichmäßig bei einem vorgegebenen Temperaturanstieg ?

Ich versteh die vom Industriemeister zuerst genannte Formel so, dass auf der Linken Seite der Tank + Ausdehnung steht und auf der rechten Seite das Benzin + Ausdehnung.

Ist das ein Geradenschnittproblem ?

Ich denke, man kann da schrittweise vorgehen:

Erstmal rechne ich aus, wieviel Platz noch im Tank ist zum Ausdehnen:

\(Volumen_{frei}=Volumen_{GanzerTank}-Volumen_{Benzin}\)

In diesem Fall also:

Freies Volumen = 60 Liter - 59,5 Liter

Dann hat man 0,5 Liter freies Volumen, in welches das sich erwärmende Benzi sich ausdehnen kann.

Nächste Frage: Wieviel wärmer müssen 59,5 Liter Benzin werden, damit es ein halber Liter mehr wird.

Das kann man mit folgender Gleichung ausrechnen:

Volumendifferenz=Temperaturdifferenz*Volumenausdehnungskoeffizient*Ausgangsvolumen

(hier 0,5 Liter)          (suchen wir)               (hier 0,001 * \(\frac{1}{Kelvin}\))                 

oder 

\(\Delta V=\Delta T*\gamma *V\)

Da wir \(\Delta T\)

haben willen, müssen wir die Gleichung durch \(\gamma *V \)teilen.

Das sieht dann meiner Meinung nach so aus:

\(\Delta T= \frac{\Delta V}{\gamma *V}\)

Wenn man jetzt die Werte, die wir kennen, einsetzt, ergibt sich folgende Rechnung:

\(\Delta T=\frac{0,5Liter}{0,001*\frac{1}{Kelvin}*59,5 Liter}\)

Wenn man die Gleichung aufräumt, sieht das ungefähr so aus:

\(\Delta T=\frac{0,5Liter}{0,001*59,5 Liter}*\frac{Kelvin}{1}\)

So kann man leicht sehen, dass sich auf der rechten Seite der Gleichung das Liter oben gegen das Liter unten wegkürzt.

Als Einheit bleibt Kelvin übrig, was ein Fingerzeig dafür ist, dass unsere Rechnung zumindest keine gravierenden Fehler enthält.

Ein Temperaturunterschied von 1 Grad Kelvin entspricht übrigens einem Temperaturunterschied von 1 Grad Celsius. 

Somit ergibt sich:

\(\Delta T=\frac{0,5 Kelvin}{0,0595}\)

\(\Delta T=8,4033613445378151 Kelvin\)

Daher wir vorher schon 20 Grad Celsius hatten, läuft der Tank über, wenn die Temperatur des Benzins 28,4 Grad Celsius überschreitet.

Der Unterschied zwischen meiner Berechnung und der Formel oben ist glaube ich, dass die Formel oben zusätzlich zur Ausdehnung des Benzins auch die Ausdehnung des Tanks berücksichtigt.