Trotzdem

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 #1
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Oha.

 

Wenn ich mich richtig erinnere, gilt für Parallelschaltungen:

 

\(\frac{1}{R_{Gesamt}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}...\)

 

Was heißen würde, dass in diesem Fall gelten würde:

 

\(\frac{1}{R_{Gesamt}}=\frac{1}{125Ohm}+\frac{1}{240 Ohm}+\frac{1}{300Ohm}\)

 

Thema Taschenrechner.

 

Ich verfüge über einen (bzw, mehrere, weil ich bei jedem neuen Seminar einen weiteren kriege) Texas Instruments TI 30 ECO RS.

 

Super Taschenrechner, wenn man genug Licht hat.

 

Wie würde ich das bei dem Teil eingeben ?

 

Da gibt es verschiedene Varianten.

 

Ich könnte  zunächst die Brüche auf der rechten Seite auf einen Nenner bringen, was dann ungefähr so aussehen würde:

 

\(\frac{1}{R_{Gesamt}}=\frac{725000}{9000000Ohm}+\frac{37500}{9000000 Ohm}+\frac{30000}{9000000Ohm}\)

 

Dann kann man das Ganze zusammenrechnen:

 

\(\frac{1}{R_{Gesamt}}=\frac{140000}{9000000Ohm}\)

 

und kürzen:

 

\(\frac{1}{R_{Gesamt}}=\frac{7}{450Ohm}\)

 

Dann muss man nur noch den Kehrwehrt des ermittelten Wertes nehmen:

 

\(R_{Gesamt}= \frac{450}{7}Ohm= 64,29 Ohm\)

 

ODER man gibt das Ganze direkt in den Rechner ein.

 

Mein TI 30 hat eine Bruchzahlentaste, die ist links unten auf der Tastatur und es steht \(a\frac{b}{c}\) drauf.

 

Dann tippt man 1,\(a\frac{b}{c}\), 125, +, 1, \(a\frac{b}{c}\), 240, +, 1, \(a\frac{b}{c}\), 300, =, 1/x

 

Und schon sollte man dasselbe Ergebnis haben. Hätte ich sowas bloß schon vor 30 Jahren gehabt. Taschenrechner die Bruchrechnung können. Verrückt.

 

Wenn Dein Rechner genau so konfiguriert ist wie meiner, ist die Taste, die Du suchst, mit "1/x" bezeichnet. Bei meinem Rechner ist es in der dritten Zeile von oben die zweite Taste von links.

16.01.2019
 #2
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Ich bin kein Techniker, aber ich versuche mal eine Lösung. Achtung, die könnte falsch sein.

 

Zuerst würde ich die Fläche des Deckels ausrechnen. Dessen Durchmesser ist d = 500 mm.

Der Radius beträgt somit r = d/2 = 500 mm / 2 = 250 mm.

 

Die Fläche A des Deckels beträgt somit:

 

\(A = \pi*r^2\)

 

\(A = \pi * 250^2\)

 

\(A=196349,54 mm^2\)

 

Die nächste Frage, die ich mir gestellt habe war, welche Kraft F auf den Deckel wirkt. Hierbei hilft, wenn man weiß, dass physikalische Größen oft in andere Größen umgeschrieben werden können.

 

Wikipedia sagt zum Beispiel, dass 1 Bar \(= \frac{0,1 N}{mm^2}\) ist.

 

Daraus folgt: 10 Bar \(=\frac{10* 0,1N}{mm^2}=\frac{1N}{mm^2}\)

 

Das ist sehr praktisch, denn wir haben ja die Fläche des Deckels schon in mm².

 

Mit

 

\(F_{Deckel} = \frac{1N}{mm^2}* 196349, 54 mm^2\)

 

kann man nun ausrechnen, dass die auf den Deckel wirkende Kraft \(F_{Deckel}\) 196349, 54 N sein muss. Die mm² kürzen sich in der Rechnung gegeneinander weg, es bleibt nur das Newton übrig, was für die Berechnung einer Kraft wunderbar ist.

Da 10 Newton 1 Kilogramm sind, lasten auf dem Deckel bei 10 Bar somit etwa19635 Kilogramm oder 19, 635 Tonnen. Ich möchte da nicht im Weg stehen, falls wir uns verrechnen und der Deckel sich auf den Weg macht :D

 

Da, wir über doppelte Sicherheit reden, gehe ich davon aus, dass die Schrauben das Doppelte der zu erwartenden Kraft halten können sollen, also

 

\(F_{Schrauben}=2*F_{Deckel}= 2*196349,64 N\)

 

Die Schrauben müssen zusammen also mindestens 392699, 08 N aufbringen, um doppelt so viel Kraft wie die 10 Bar im Kessel auf den Deckel bringen zu können.

 

Da wir 16 Schrauben haben, muss jede Schraube nur \(\frac{1}{16}\) der 392699, 08 N aufbringen.

 

Daraus folgt:

 

\(F_{EineSchraube} = \frac{F_{Schrauben}}{16}=\frac{392699, 08 N}{16}\)

 

Eine Schraube muss daher in der Lage sein, 24543, 69 N aufzubringen.

 

Welchen Spannungsquerschnitt benötigt nun eine Schraube der Festigkeitsklasse 8.8, um eine solche Kraft aufbringen zu können ?

 

Die erste Ziffer (8) beschreibt die Zugfestigkeit der Schraube. Die Zugfestigkeit beträgt hier \(8*100 \frac{N}{mm^2}=800\frac{N}{mm^2}\)

 

Die zweite Ziffer (wieder 8) beschreibt die Streckgrenze. Die Streckgrenze beträgt hier \(8*8*10\frac{N}{mm^2}= 640 \frac{N}{mm^2}\)

 

Eine Frage, die ich Dir nicht beantworten kann ist, ob hier die Zugfestigkeit oder die Streckgrenze gemeint ist.

 

Wenn ich das richtig verstanden habe, beschreibt die Zugfestigkeit die Kraft, bei der der Kopf der Schraube abreisst. Wenn Du sowas mal in einem Film sehen willst, schau Dir mal "Das Boot" an, wo in großer Tiefe überbelastete Schraubenköpfe abreissen und wie Pistolenkugeln durch das U-Boot schießen.

 

Die Streckgrenze ist ein Wert, bei dem die Schraube nicht abreißt, aber sich schon so verformt, dass sie bei Entlastung nicht mehr in den ursprünglichen Zustand zurückkehrt.

 

Das stelle ich mir wie bei einer Kugelschreiberfeder vor: bau sie aus dem Schreiber aus, und zieh sie in die Länge. Bis zu einem gewissen Grad wird sie das mitmachen, und wenn Du sie loslässt, wird sie wieder in ihre ursprüngliche Form zurückkehren.

 

Ziehst Du aber zu stark, wird die Feder sich endgültig verformen und nicht wieder in ihre ursprüngliche Form zurückkehren. Da hast Du dann die Streckgrenze, nicht aber die Zugfestigkeit überschritten.

 

Bei zusätzlichem Überschreiten der Zugfestigkeit würde die Feder reißen wie ein überlasteter Bindfaden.

 

Gehen wir mal davon aus, dass die Zugfestigkeit gemeint ist.

 

Praktischerweise ist ja die Zugfestigkeit (wie auch die Streckgrenze) in \(\frac{N}{mm^2}\) angegeben, weswegen wir in diesem Fall die erforderliche Anzahl der Newton, die die Schraube bringen muss, nur durch die Kraft pro Quadratmillimeter teilen müssen, die die Schraube zu leisten im Stande ist.

 

\(Spannungsquerschnitt = \frac{24543, 69 N}{\frac{800N}{mm^2}}\)

 

Wenn man durch einen Bruch \(\frac{800N}{mm^2}\) teilt, multipliziert man logischerweise mit dem Kehrwert \(\frac{mm^2}{800 N}\)

 

Das sieht dann so aus:

 

\(Spannungsquerschnitt = 24543, 69 N*\frac{mm^2}{800N}\)

 

Freunde der Bruchrechnung erkennen, dass man das Newton hinter der 24543, 69 gegen das Newton hinter der 640 kürzen kann. Somit verbleibt folgende Rechnung:

 

\(Spannungsquerschnitt=\frac{24543, 69mm^2}{800}\)

 

Wenn man das ausrechnet, ergibt sich ein Spannungsquerschnitt von 30, 68 mm².

 

Wenn man statt der Zugfestigkeit die Streckgrenze zu Grunde legt, müsste man statt durch 800 durch 640 teilen. Dann ergibt sich ein Spannungsquerschnitt von 38, 35 mm².

 

Ich gehe aber davon aus, dass die Zugfestigkeit der zu verwendende Wert ist, da, wenn man dem Wikipedia-Artikel zum Thema "Metrisches ISO - Gewinde" trauen darf, der Spannungsquerschnitt einer M8 - Schraube exakt 30, 68 mm² ist.

 

Wär ja voll gemein, wenn die Streckgrenze gemeint wär und dann eine M10 mit 58 mm² zu nehmen wäre - total oversized.

 

Also ich gehe davon aus, dass 30, 68 mm² das richtige Ergebnis ist.

15.01.2019
 #1
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Ich schick mal voraus, dass ich kein Mathematiker bin, aber wenn ich mir die Gleichungen ansehe glaube ich, folgende Antworten geben zu können:

 

Bezüglich der ersten Gleichung f(x):

 

Wenn b = 0 ist, fällt x³ komplett raus. Übrig bleibt eine Gerade, die weder Maxima noch Minima hat, weder lokal noch global.

 

Antwort a lautet also: für b = 0 existiert kein lokales Minimum

 

Mathematisch dargestellt kannst Du ja auch die beiden ersten Ableitungen bilden, und kommst dann auf:

 

f'(x) = 3bx² + c

 

f''(x) = 6bx

 

Die hinreichende Bedingung für den Wert der 2ten Ableitung an einer Extremstelle wäre ja, dass die 2te Ableitung ungleich 0 ist. Das kann nicht passieren, wenn b = 0 ist, denn dann ist f''(x) immer 0.

 

Man kann sich jetzt die Frage stellen, ob für b > 0 ein lokales Minimum denkbar ist. Wenn b > 0 ist, muss man die f'(x) = 0 setzen:

 

\(0 = f'(x)\)

 

\(0 = 3bx^2 + c |-c\)

 

\(-c = 3bx^2| \div{3b}\)

 

 

\(\frac{-c}{3b}= x^2| \sqrt{}\)

 

\(\sqrt{\frac{-c}{3b}} = x\)

 

Das heißt, in Abhängigkeit von den Konstanten b und c ergeben sich Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung für Extremstellen) immer bei \(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\).

In der Folge kann es bei b = 0 keine Extremstellen geben, denn dann würde der Nenner von \(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\) = 0 und der Term somit ungültig werden.

b darf laut Definition ja nur 0 oder größer 0 sein. c darf Element der Reelen Zahlen sein, also größer oder kleiner oder gleich 0. Wenn c = 0 ist und b > 0, ergibt sich eine Nullstelle der ersten Ableitung bei 0, somit wäre dann die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei

 

b>0, c=0 gegeben.

 

Da wir ein Minimum suchen, müsste an dieser Stelle f''(x) > 0 gelten (hinreichende Bedingung für ein Minimum).

 

\(f''(\sqrt{\frac{-0}{3b}}) = 6b\sqrt{\frac{-0}{3b}}\)

 

Da der Term unter der Wurzel für b > 0 und c =  0 auch 0 wird, handelt es sich nicht um eine Extremstelle, sondern muss eine Wendestelle sein. Da man sich denken kann, dass die dritte Ableitung als Term nur noch 6b enthält, ist klar, dass es sich um einen Sattelpunkt handeln muss, wenn b > 0 gilt.

 

Nun kann man sich die Frage stellen, was passiert, wenn b > 0 und c > 0 gilt.

 

Antwort: dann gibt es keine Extremstellen, da dann \(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\) ungültig ist.

-c geteilt durch 3b wird immer negativ, und aus negativen Zahlen kann man die Quadratwurzel nicht ziehen, da es keine Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert einen negativen Wert ergibt.

 

Letzte Frage zu dieser Funktion: was passiert, wenn b > 0 und c < 0 gilt ?

 

Dann wird die notwendige Bedingung für Extremstellen erfüllt, und zwar bei +\(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\) und -\(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\)

 

Wenn ich nämlich die Quadratwurzel ziehe, ergibt sich immer ein positiver und ein negativer Wert.

 

Frage: wird auch die hinreichende Bedingung erfüllt ?

 

\(f''(\sqrt{\frac{-c}{3b}}) = 6b*(+\sqrt{\frac{-c}{3b}})\)

 

Dies muss für \(6b*(+\sqrt{\frac{-c}{3b}})\)  einen positiven Wert ergeben, somit befindet sich an dieser Stelle ein lokales Minimum.

 

Nun der zweite Wert: \(-\sqrt{\frac{-c}{3b}}\)

 

\(f''(\sqrt{\frac{-c}{3b}}) = 6b*(-\sqrt{\frac{-c}{3b}})\)

 

Hier wird sich für f''(x) ein negativer Wert ergeben, somit befindet sich an dieser Stelle ein lokales Maximum.

 

Eine Situation, wo diese Funktion 2 lokale Minima hat, kann ich mir nicht vorstellen. Für b > 0 und c >= 0 läuft sie für x > 0 in die positive Unendlichkeit, und für x < 0 in die negative Unendlichkeit, weil der höchste Exponent ungerade ist und Vorzeichen somit erhalten bleiben.

 

Somit kann es bei dieser Funktion niemals globale Maxima oder Minima geben.

 

Das war die erste Funktion. Bei der 2ten Funktion bin ich mir nicht sicher, ob die richtig ist. Steht im Exponenten über me "r*r*x" ?

10.01.2019
 #2
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Ich stimme Asinus in gewisser Weise zu:

 

Wenn ich mit einer Funktion arbeiten soll, erwarte ich eigentlich etwas wie "f(x) = x²+2x+1" oder so.

 

Wenn das von Dir genannte eine Funktion ist wie "f(x) = (2x³ - 3xy + y³)²", dann würde x die sich ändernde Größe sein und y (glaube ich) ein variabler Koeffizient, der halt die Funktion zu einer Funktionsschar macht. Man könnte dann aber Extremwerte, Wendepunkte und sowas immer nur in Abhängigkeit von y bestimmen.

 

Wie auch immer: Ein globales Maximum bzw. Minimum ist an dem Punkt, wo die Funktion ihren kleinsten bzw. höchsten Wert hat.

 

Beispiel:

 

Du hast eine Funktion, deren Graph von links oben aus der positiven Unendlichkeit kommt und rechts oben in die positive Unendlichkeit verschwindet.

Diese Funktion muss irgendwo zwischen diesen beiden Unendlichkeiten ein Minimum haben, dass so klein ist, dass kein anderer möglicher Wert dieser Funktion jemals kleiner wird.

 

Das ist dann das globale Minimum. Das weiß ich sicher. Umgekehrt kann es natürlich ein globales Maximum geben, wenn Du bei dem gerade Gesagten "positive Unendlichkeit" jeweils durch "negative Unendlichkeit" und "oben" durch "unten" ersetzt.

 

Wenn Du eine Funktion hast, die von links oben aus der positiven Unendlichkeit kommt und rechts unten in die negative Unendlichkeit verschwindet, gibt es kein bestimmbares globales Maximum oder Minimum (meiner Meinung nach, vielleicht gibt es dann ja irgendeine Definition, die mir nur nicht bekannt ist), weil Du für jeden denkbaren Wert immer noch einen kleineren bzw. größeren finden wirst, indem Du einfach ein noch größeres oder kleineres X wählst.

05.01.2019