Hallo Omi, zunächst mal danke für den plausibel klingenden Erklärungsversuch.
Leider hab ich noch ein Verständnisproblem. Erstens bin mir nicht sicher, ob ich das mit dem Summenzeichen richtig verstanden habe.
Die Ausgangsformel war ja 2n-1=n²
Gehen wir mal davon aus, dass 2k-1=n² gemeint war.
Wenn man dann schreibt, dass
\(\sum\limits^{n}_{k=0} 2k-1=n^2\)
dann soll das doch die aufaddierte Summe aller Ergebnisse sein, die man erhält, wenn man für k den Wert 1, 2, 3, 4, ..., n einsetzt.
Ich verstehe nicht, warum man das "=n²" nicht einfach weglässt. Es ist ja quasi eine unbekannte, die in der Summe gar nicht mitspielt.
Zweitens ist mir unklar, warum 2k-1=n² überhaupt funktionieren kann. Wenn man natürliche Zahlen für n einsetzt, wird doch immer eine ganzzahlige Quadratzahl rauskommen, bei der n ab dem Wert 2 nie wie k sein darf, damit man überhaupt eine Chance hat, ein Ergebnis hin zu puzzeln.
Aber wenn ich für k 2 einsetze, müsste ich ja für n bereits die Wurzel aus 3 einstetzen, damit es funktioniert.
Drittens habe ich das Gefühl, dass ich nicht verstanden habe, wozu man überhaupt etwas induziert.
Was ich gemacht habe, ist ja im Prinzip nur berechnen, für welchen Wert die Gleichung 2n-1=n² aufgeht. Das kann ja aber nicht Induktion sein, weil man sonst keinen Extrabegriff für Induktion bräuchte.
Was ich verstanden habe ist, dass man mit der Induktion irgendwie beweisen kann, dass eine Formel, die zur Berechnung von irgendetwas dient, nicht nur bei ein paar mehr oder weniger zufällig ausgewählten "Testzahlen" funktioniert, sondern auch darüber hinaus bei einer Vielzahl weiterer Zahlen.
Für mich klingt das zunächst wieder wie "Definitionsbereich bestimmen", also sowas wie bei einer Kurverndiskussion, wo man überprüft, ob und wann der Nenner eines Bruchs in der Funktion, die man betrachtet, 0 werden könnte.
Das hat aber vermutlich auch nichts mit Induktion zu tun, oder ?
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