Probolobo

Wenn 80% erfolgreich sind, sind 20% nicht erfolgreich. 

$45 \cdot 20 \% = 45 \cdot 0,2 = 9$

=> 9 Schüler sind in der Mathematik nicht erfolgreich.

${2 \over \sqrt{2} } = {\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \over \sqrt{2}} =\sqrt{2}$

oder auch

${2 \over \sqrt{2}} = { \sqrt{2} \cdot 2 \over \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {\sqrt{2} \cdot 2 \over 2} = \sqrt{2}$

Im ersten zerlege ich 2 zu $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

Im zweiten erweitere ich den Bruch mit der Wurzel von 2, um dann im zweiten Schritt 2 zu kürzen.

Nur die Nullstellen reichen auf jeden Fall auch nicht für Eindeutigkeit, da gibt's unendlich viele Funktionen die das tun. 

Die einfachsten Beispiele sind wohl Polynome. Dazu ist vermutlich die Linearfaktorzerlegung bekannt, wo ich durch Berechnung der Nullstellen ein Polynom in Linearfaktoren (x-NST) aufteile.

Genauso, nur halt andersrum, bekomme ich auch durch die Nullstellen Polynome:
a) (x-2)(x+4)

b) (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

c) (x+1)(x+2)(x+1337)

sin gedrückt halten

Ein Produkt aus natürlichen Zahlen hat hinten so viele Nullen wie das Faktorenpaar 2*5 in der Primfaktorzerlegung vorkommt (2*5=10 undso). Da 2 und 5 in den ersten 2000 Primzahlen jeweils einmal vorkommen (beide Prim), endet das Produkt der ersten 2000 Primzahlen mit genau einer 0.

Kennt sich hier jemand mit Metafragen aus?

du wahrscheinlich nicht

Zunächst nutzt man aus, dass ein Produkt den Wert 0 annimmt genau dann, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. 

d.h.

$(x^3-4x^2+4x) \cdot (2x-3) = 0 \\ \Leftrightarrow \\ x^3-4x^2+4x = 0 \ \ \lor \ \ 2x-3=0$

Um die Lösungsmenge zu bestimmen, löse ich nun beide Gleichungen seperat und fasse die Ergebnisse zusammen:

$(i) \\ x^3-4x^2+4x=0 \\ x \cdot (x^2-4x+4)=0 \ \ \ |:x \ \Rightarrow x_1=0 \\ x^2-4x+4=0\\ \underrightarrow{Mitternachtsformel} \ \ \ \ x_2=2; \ \ x_3=2 \\ (ii) \\ 2x-3=0 \\ 2x = 3 \\ x_4=1,5 \\ \\ \Rightarrow \mathbb{L}=\{0; \ 1,5; \ 2; \ 2\} = \{0; \ 1,5; \ 2 \}$

Ich hoffe, das war nachvollziehbar.

Generell gilt ja für die Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt{Var(X)}$

Bei einer binomialverteilten Zufallsvariable mit Kettenlänge n und Trefferwahrscheinlichkeit p gilt für die Varianz

$Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$

Damit folgt für die Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Letztlich ist's auch oft Konventionssache - in der Schule z.B. sind oft (zumindest in dem Bereich, wo ich unterwegs bin) zwei Nachkommastellen übrig. Wenn nichts angegeben ist, passt man sich damit gern auch an die Aufgabenstellung an:

Betrachte einen Kreis mit Radius 4,20cm, bestimme den Umfang:

$U=2 \pi r = 2 \pi \cdot 4,20 = 26.3893782901542632... \approx 26,39$

U=26,39 - mit zwei Nachkommastellen, weil die Angabe auch zwei Nachkommastellen genutzt hat.