Probolobo

Etwas minimalistisch, aber korrekt:
\((1) \ \ x+1>3 \\ (2) \ \ x+2 > 4 \\ (3) \ \ x+3 > 5\)

Vermutlich eher das Ziel:
\((1) \ \ 2x-3 > 1 \\ (2) \ \ -x + 8 < x+4 \\ (3) \ \ 7x-11 > -x+5\)

Das Vorgehen, um solche Aufgaben selbst zu lösen, ist übrigens das gleiche wie beim Suchen der Lösungsmenge. Der Unterschied hier ist, dass man die Äquivalenzumformungen nicht macht, um die Gleichung/Ungleichung zu vereinfachen, sondern um sie zu verkomplizieren.

Eine Gerade hat die Form y=mx+t. Ich bestimme zunächst die Steigung m mittels Differenzenquotient:

\(m= {y_A-y_B \over x_A-x_B} = {3-(-5) \over 2-4} = {8 \over -2} = -4\)

Die Gerade sieht also schonmal so aus: y=-4x+t.

Nun bestimme ich den y-Achsen-Abschnitt t durch einsetzen eines Punktes (A oder B egal):

\(3 = -4 \cdot 2 +t \\ 3 = -8+t \ \ \ \ |+8 \\ 11 = t\)

Unsere Gerade sieht also so aus: y = -4x + 11

Ich hoffe das war nachvollziehbar.

a)

\(2x-1 \geq 3 \ \ \ \ |+1 \\ 2x \geq 4 \ \ \ \ \ | :2 \\ x \geq 2 \\ \Rightarrow \mathbb{L}=[2; \infty[ \)

b)

\({1 \over 3} x+1 < -x+5 \ \ \ \ |-1 \\ {1 \over 3}x < -x+4 \ \ \ \ |+x \\ {4 \over 3}x < 4 \ \ \ \ \ |: {4 \over 3} \\ x < 3 \\ \Rightarrow \mathbb{L} = ]-\infty;3[\)

Passt schon so - in der zu beweisenden Formel steht ja  " (n-1)n(n+1) ", im induktionsschritt soll ja dann überall statt n n+1 stehen. Das liefert n(n+1)(n+2), genau wie im Endergebnis.

übrigens: für meine Summen habe ich \sum_{k=1}^n verwendet, dann steht der Index oben. \cdot liefert einen schöneren "Malpunkt" als der Stern

\(\sum_{k=0}^n k \cdot (k-1)\)

Hi! 

Zu zeigen: \(\sum_{k=1}^n k(k-1) = {(n-1)n(n+1) \over 3} \ \forall n \in \mathbb{N}\)

Induktionsanfang: n=1

1*0 = 0*1*2\3 ok

Induktionsschritt n -> n+1

\(\sum_{k=0}^{n+1} k(k-1) = \\ \sum_{k=0}^{n} k(k-1) +(n+1)n = \\ {(n-1)n(n+1) \over 3}+n(n+1) = \\ { (n-1)n(n+1) +3n(n+1) \over 3} = \\ {(n-1+3)n(n+1) \over 3} = \\ {(n+2)n(n+1) \over 3} = \\ { ((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1) \over 3}\)

In Zeile 2 ziehe ich den letzten Summanden aus der Summe, die Induktionsvoraussetzung brauche ich in Zeile 3. 

Am Ende habe ich die gewünschte Formel, mit n+1 für n eingesetzt -> Induktionsschritt beendet. 

Ich hoffe, das war nachvollziehbar.

Habe deinen Ausführungen eigentlich nichts hinzuzufügen - im allgemeinen ist natürlich nicht 2x^(1/2) = x, aber lösbar ist die Gleichung schon, wie in Antwort #1 beschrieben. 

\(A_{Dreieck} = { l_{Kathete1} \cdot l_{Kathete2} \over 2 }\)

Pro iPhone gibt's 100€-50€ = 50€ Gewinn, das ganze machst du zwei mal

=> 2*50€ = 100€ Gewinn

Andere Möglichkeit: Insgesamt werden iPhones im Wert von 2*50€=100€ gekauft, weiterverkauft werden sie für 2*100€ = 200€. Das ergibt 200€ - 100€=100€ Gewinn.