Probolobo

Du solltest deine Zähler und Nenner immer einklammern, wenn sie Summen/Differenzen sind. 

So schreibst du eigentlich zB. $\frac{n^2}{n} +1$ statt $\frac{n^2}{n+1}$.

Du kommst vom erstgenannten Bruch zum zweitgenannten, indem du mit n kürzt.

a) Wir halten zunächst fest: 1,8% = 0,018. (Das Komma um zwei Stellen nach links verschoben)

Das Ergebnis finden wir so: 520.000,00€*0,018 = 9360,00€

b) funktioniert fast genauso wie a) - die Prozenzsätze hast du ja, der neue Grundwert ist das Ergebnis von a). Das schaffst du jetzt bestimmt!

Wozu brauchst du das Ergebnis?

Du könntest diese Aufgabe auch einfach in den Rechner tippen - welchen Mehrwert erhoffst du dir von einer Antwort der Forenmitglieder? 

Ich vermute mal, dass der erste Teil lautet

1. Zeigen Sie, dass die Folge der a_n durch 2 von oben beschränkt ist.

oder

1. Zeigen Sie, dass für alle n gilt. a_n < 2.

Das ist nämlich der Fall und würde uns für die anderen beiden Aufgaben helfen. Wir schauen's uns mal an:

Man könnte das per Induktion zeigen. Für a₁ stimmt's offensichtlich. 

Ist a_n < 2, so ist 2+a_n < 4 und daher $a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} < \sqrt4 = 2$.

Damit war's das auch schon.

2. Streng monoton wachsend sein heißt erstmal folgendes:

$a_n < a_{n+1} \Leftrightarrow \\ a_n < \sqrt{2+a_n} \Leftrightarrow \\ a_n^2 < a_n +2 \Leftrightarrow \\ a_n \cdot a_n < a_n +2 \Leftrightarrow \\ a_n + (a_n-1) a_n < a_n +2 \Leftrightarrow \\ (a_n-1) a_n < 2$

..und schon sind wir durch einige Äquivalenzumformungen von der Definition von "streng monoton steigend" zu einer Aussage gekommen, die offensichtlich wahr ist (denn alle Folgenglieder sind kleiner als 2 - links steht also etwas was aussieht wie 0,XXXXX * 1,XXXXX was immer kleiner als 2 ist.) Damit ist die Monotonie auch schon nachgewiesen.

3. Eine streng monoton steigende Folge, die von oben beschränkt ist, konvergiert gegen ihre kleinste obere Schranke. Hier wurde ja schon 2 als obere Schranke erwähnt. Würden wir stattdessen zeigen wollen, dass alle a_n < 2-x mit positivem x sind, so funktioniert die letzte Ungleichung aus 1. nicht mehr ohne weiteres (denn es ist nicht automatisch $\sqrt{4-x} \leq 2-x$). Es ist also 2 die kleinste obere Schranke und damit auch unser gesuchter Grenzwert.

Frag' gern nochmal nach wenn's Fragen gibt!

Seh' den entscheidenden Fehler gerade nicht bei dir, aber wo der Bruch 3/(n-1) herkommt ist mir sehr schleierhaft. Generell kannst du's dir deutlich leichter machen beim Erweitern der Brüche, indem du nicht den rechten so erweiterst, dass er zum linken passt, sondern auch den linken mit berücksichtigst.

Zunächst halten wir fest: 

$\binom{n+2}{3} = \frac{(n+2)!}{3!\cdot (n+2-3)!} = \frac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!}$

Da wollen wir also hin. Es macht sehr viel Sinn, sich das vorher klar zu machen - so kann man evtl. im Lauf der Induktion direkt versuchen, den Ziel-Nenner als gemeinsamen Nenner zu nutzen oÄ.. Das Abspalten des letzten Summanden ist auf jeden Fall der korrekte Schritt. Ich übernehm' mal ab Zeile 2:

$=\frac{(n+1)!}{3!\cdot ((n+1)-3)!}+\frac{(n+1)!}{2!\cdot ((n+1)-2)!} = \\ =\frac{(n+1)!}{3!\cdot (n-2)!}+\frac{(n+1)!}{2!\cdot (n-1)!} = \\ =\frac{(n+1)!(n-1)}{3!\cdot (n-1)!}+\frac{3(n+1)!}{3!\cdot (n-1)!} = \\ =\frac{(n+1)!(n-1+3)}{3!\cdot (n-1)!} \\ =\frac{(n+1)!(n+2)}{3!\cdot (n-1)!} \\ =\frac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!} \\$

Ich hoff' das macht soweit Sinn, frag' gern nach wenn was unklar ist!

1. können wir per Induktion zeigen:
Für a₁ stimmt die Aussage. Wir nehmen an, dass  a_n >1/5 ist, und folgern, dass a_n+1 ebenfalls größer als 1/5 ist:

Da a_n größer als 1/5 ist, ist 5a_n >1. Daher ist 3+5a_n > 4 - und 4/20=1/5.

2. 

$a_n > \frac{3+5a_n}{20} \ \ |\cdot 20 \\ 20a_n > 3+5a_n \ \ |-5a_n \\ 15a_n > 3$

Durch Äquivalenzumformungen konnten wir die Aussage, jedes Folgenglied größer ist als das folgende, in eine Aussage umformen, die wahr ist (denn a_n > 1/5). Damit sind wir fertig.

3. Wir sehen in a, dass 1/5 nicht nur irgendeine untere Schranke ist, sondern die größte, denn die Ungleichungen sind alle gerade so gültig. (Kann man sich gut nochmal klar machen, indem man 1/5 durch 1/5-x ersetzt (positives x) und dann sieht, dass die Ungleichungen nicht mehr sicher stimmen.)

Eine streng monoton fallende Folge mit unterer Schranke konvergiert, und zwar gegen die größte untere Schranke. Das ist hier 1/5, das ist also unser Grenzwert.

a) Der Grenzwert ist 0. Begründen kann man das durch L'Hospital.

b) Der Grenzwert ist ebenfalls 0, denn die Wurzel konvergiert gegen n.

Bei c) sieht deine Angabe unvollständig aus.

f ist nicht surjektiv, denn z.B. ist (1, 5) nicht in Bild(f) enthalten (warum?)

f ist injektiv, denn jeder Bestandteil ist eine Gerade, die sind immer injektiv.

Man könnte hier natürlich auch die Definition nachrechnen. Der vollständigkeit halber tun wir das: 

Sei f(x) = f(y). 

Dann ist (x-3, 5x) = (y-3;5y). Aus der ersten Komponente folgt nach Addition von 3, dass x=y sein muss. Aus der zweiten Komponente folgt das gleiche nach Teilen durch 5. Wir finden also heraus: f(x)=f(y) => x=y. Das ist genau die Definition von Injektivität.

g ist surjektiv, denn es ist g(-x, 0) = x - wir können also zu jeder Zahl in R ein Urbild (-x, 0) angeben.

g ist aber nicht injektiv, denn es ist g(0;0) = g(2;1).