Hallo Gast,
Zu deinen Fragen:
a) Wieviel % der Rollen haben zwischen 115 und 124m Faden?
Ich gehe davon aus, dass deine das Aufwickeln des Fadens Normalverteilt ist (Gaußsche Glockenform). Das sieht dann ungefähr so aus:
Um nun heraus zu finden, wie viel Prozent der Rollen zwischen 115 und 124 m Faden haben muss man sich vorstellen:
Man soll also den schraffierten Bereich berechnen. Wie wie das gamcht wird, möchte ich noch kurz etwas Grundlegendes erklären:
Die Fläche unter der Kurve ist die Häufigkeit in Prozent. Das heißt, wäre die gesamte Funktion grün schraffiert wären es 100% . Nun haben wir einen Mittelwert von 120 und eine Standartabwichung von 4 m. Damit lässt sich im allgemeinen schwer rechnen. Um die Aufgabe zu lösen helfen wir uns mit der STANDARTNORMAL-Verteilung. Diese ist wie der Name schon sagt standartisiert oder vllt besser Normiert. Der Mittelwert ist hier 0 und die Standartabweichung 1. Hierfür gibt es viele Tabellen wo alle Häufigkeiten aufgelistet sind.
Um unsere Glockenform auf die Standartnormalverteilung zu Normieren gibt es die z- Transformation: (Erklärung Aufgabe c)
\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)
Dazu noch mal später. Nun habe wir bei Aufgabe a zwei Grenzen, 124 (grüner schraffierter Bereich) und 115 roter schraffierter Bereich.
Durch aufsummieren der Häufigkeiten können wir die Häufigkeiten der beiden schraffierten Bereiche berechnen. Allerdings wollen wir ja genau den Zwischenteil haben, mit anderen Worten, wir ziehen die Häufigkeiten von dem roten Bereich von den Häufigkeiten des grünen Bereichs ab. Formell so aufgeschrieben:
\(W(115<x<124)=W(x=124)-W(x=115)\)
Nun zur Transformation:
\(z_{124}=\frac{124-120}{4}=1\\ z_{115}=\frac{115-120}{4}=-1,25\)
\(W(z=1)-W(z=-1,25)\)
Mit diesen Werten gehen wir in die Tabelle der Standartnormalverteilung (im Tafelwerk z.b. oder: http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm)
Ich habe nun die internetquelle genommen, damit du das nachvollziehen kannst.
z=1 : Du suchst in der 1. Spalte den Wert 1,0 raus. In der Zelle rechts daneben steht der Wert den wir brauchen.
W(z=1)= 0,8413 sind also 84,13 %
z=-1,25: Du gehst in die Spalte mit 0,05 und suchst in der 1. Spalte die -1,2 und nimmst die Zelle wo sich die Zeile mit -1,2 und Spalte 0,05 treffen.
W(z=-1,25)=0,1056 also 10,56 %
Das Gesamtergebnis:
\(W(z=1)-W(z=-1,25)= 84,13\%-10,56\% =73,57\%\)
Also sind 73,57% im Bereich zwischen 115 und 124 m Länge.
