Eine Maschine rollt Faden auf eine Spule. Der Mittelwert der Fadenlänge beträgt 120m, die Standardabweichung 4m.
a) Wieviel % der Rollen haben zwischen 115 und 124m Faden?
b) wieviel m Faden enthalten 95% der Rollen mindestens?
c) Was versteht man unter der z-transformation. Erklärung anhand einer Skizze.
Danke im Voraus
+1119 Hallo Gast,
Zu deinen Fragen:
a) Wieviel % der Rollen haben zwischen 115 und 124m Faden?
Ich gehe davon aus, dass deine das Aufwickeln des Fadens Normalverteilt ist (Gaußsche Glockenform). Das sieht dann ungefähr so aus:
Um nun heraus zu finden, wie viel Prozent der Rollen zwischen 115 und 124 m Faden haben muss man sich vorstellen:
Man soll also den schraffierten Bereich berechnen. Wie wie das gamcht wird, möchte ich noch kurz etwas Grundlegendes erklären:
Die Fläche unter der Kurve ist die Häufigkeit in Prozent. Das heißt, wäre die gesamte Funktion grün schraffiert wären es 100% . Nun haben wir einen Mittelwert von 120 und eine Standartabwichung von 4 m. Damit lässt sich im allgemeinen schwer rechnen. Um die Aufgabe zu lösen helfen wir uns mit der STANDARTNORMAL-Verteilung. Diese ist wie der Name schon sagt standartisiert oder vllt besser Normiert. Der Mittelwert ist hier 0 und die Standartabweichung 1. Hierfür gibt es viele Tabellen wo alle Häufigkeiten aufgelistet sind.
Um unsere Glockenform auf die Standartnormalverteilung zu Normieren gibt es die z- Transformation: (Erklärung Aufgabe c)
\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)
Dazu noch mal später. Nun habe wir bei Aufgabe a zwei Grenzen, 124 (grüner schraffierter Bereich) und 115 roter schraffierter Bereich.
Durch aufsummieren der Häufigkeiten können wir die Häufigkeiten der beiden schraffierten Bereiche berechnen. Allerdings wollen wir ja genau den Zwischenteil haben, mit anderen Worten, wir ziehen die Häufigkeiten von dem roten Bereich von den Häufigkeiten des grünen Bereichs ab. Formell so aufgeschrieben:
\(W(115<x<124)=W(x=124)-W(x=115)\)
Nun zur Transformation:
\(z_{124}=\frac{124-120}{4}=1\\ z_{115}=\frac{115-120}{4}=-1,25\)
\(W(z=1)-W(z=-1,25)\)
Mit diesen Werten gehen wir in die Tabelle der Standartnormalverteilung (im Tafelwerk z.b. oder: http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm)
Ich habe nun die internetquelle genommen, damit du das nachvollziehen kannst.
z=1 : Du suchst in der 1. Spalte den Wert 1,0 raus. In der Zelle rechts daneben steht der Wert den wir brauchen.
W(z=1)= 0,8413 sind also 84,13 %
z=-1,25: Du gehst in die Spalte mit 0,05 und suchst in der 1. Spalte die -1,2 und nimmst die Zelle wo sich die Zeile mit -1,2 und Spalte 0,05 treffen.
W(z=-1,25)=0,1056 also 10,56 %
Das Gesamtergebnis:
\(W(z=1)-W(z=-1,25)= 84,13\%-10,56\% =73,57\%\)
Also sind 73,57% im Bereich zwischen 115 und 124 m Länge.
+1119 Zu Aufgabe b)
Hier haben wir schon die Häufigkeit gegeben gegben. Zur Vorstellung: bei 50 Prozent haben die Rollen eine Fadenlänge von 120 m, jetzt haben wir 95 % , also müssten es weit über 120m , sogar über 124 m sein. Wir befinden uns ja fast ganz hinten (rechter Bereich) von der Funktion (Gaußschen Glockenform).
Unsere Häufigkeit W ist nun also 95 % (mindestens 95% der Rollen)
\(W=95\%=0,95\)
Das Verfahren ist nun genau umgekehrt, wir suchen uns aus der Tabelle die Zahl raus, die der 0,95 am nächsten ist. (NICHTdie z Werte!!!)
\(W_{o}=0,9505=95,05\%\\ W_{u}=0,9495=94,95\%\)
Dazwischen befindet sich unser Wert. Ich würde vorschlagen, da wir Mindestenslänge des Fadens (unterer Wert) der 95% nehmen sollen das Wu zu nehmen. Deshalb lesen wir nun den z-Wert ab:
\(W_{u}= 0,9495 \rightarrow z=1,64\)
Nun gehen wir wieder in die Transformationsformel:
\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\\ 1,64=\frac{x-120}{4}\\ \)
Nach x umstellen:
\(x=1,64\cdot 4m +120m\\ x=126,56 m\)
Also die Rollen haben mindestens 126,56 m Fadenlänge .
gruß
gandalfthegreen
