Ich stehe etwas auf dem schlauch Differentialrechnung

Lieber Gast,

ich werde mich morgen (bzw heute) mit deiner Aufgabe näher befassen.

Gruß gandalfthegreen

Hallo Gast!

f(x) = 2 / cos(- mx)

f''(x) = ?

y = u / v

y' = (u'v - uv') / v²      Quotientenregel

u = 2

u' = 0

v = cos(-mx)

[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)       Kettenregel

v' = -sin(-mx) * (-m)

y' = (u'v - uv') / v²

y' = (0 - 2 * (-sin(-mx) * (-m))) / cos²(-mx)

y' = 2m * (-sin(-mx)) / cos²(-mx)

Dieses Ergebnis kann mit Formeln der Trigonometrie

sicher noch simplifiziert werden.

Gruß asinus :- )

  !

Gruß an radix und gandalf!

So, hallo Gast:

Zunächst erst einmal die erste Ableitung: Die hat dir schon asinus gegeben. Hier noch ein Hinweis.

Vereinfacht:

\(cos(-m x)= cos(m x)\\ -sin(-m x)=sin(m x)\\ \)

Man kann deine Funktion auch vereinfachen:

\(y=f(x)=\frac{2}{cos(-mx)}=\frac{2}{cos(m x)}\)

Mit der "vereinfachten" Variante kommt man auf:

\(y´=f´(x)=\frac{2 m\cdot sin(m x)}{cos^2(m x)}=\frac{-2 m\cdot sin(-m x)}{cos^2(-m x)}\)

Zur 2. Ableitung

Vorsicht: Zur Übersicht habe ich nun die erste Ableitung als GRUNDFUNKTION (y)=f(x) genommen, damit ich nicht immer y´´ und f´´(x) schreiben muss und die Regeln besser übertragbar sind!!!

Produktregel:

Allgemein:

\(y= f(x)= \color{red} {u(x)}\cdot \color{green} v(x)\\ y´=f´(x)=u´(x)\cdot\color{green} v(x) +\color{blue}v´(x)\cdot\color{red} u(x)\)

Für unser Funktion:

\(y=f(x)=\frac{2m\cdot sin(mx)}{cos^2(m x)}=\color{red}2 m\cdot sin(m x)\cdot \color{green}[cos(m x)]^{-2}\)

Auseinander nehmen:

\(\color{red}u(x)=2m\cdot sin(m x)\\ u´(x)=2 m^2\cdot cos(m x)\)

\(\color{green}v(x)=[cos(m x)]^{-2}\\ \color{blue}v´(x)=2 m\cdot sin(m x)\cdot [cos(mx)]^{-3} \)

Einsetzten:

\(y´=f´(x)=2m^2\cdot cos(m x)\cdot\color{green} [cos(m x)]^{-2} +\color{blue}2m\cdot sin(mx)\cdot [cos(mx)]^{-3}\cdot \color{red}2m\cdot sin(mx)\)

Als Brüche Umschreiben:

\(y´=f´(x)= \frac{2m^2cos(mx)}{\color{green}cos^2(mx)} + \frac{\color{blue}2m \cdot sin(mx)\cdot\color{red}2m\cdot sin(mx)}{\color{blue}cos^3(mx)}\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2}{cos(mx)}+\frac{4m^2\cdot sin^2(mx)}{cos^3(mx)}\\ Erweitern:\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\color{gray}\cdot cos^2(mx)}{cos(mx)\cdot \color{gray}cos^2(mx)}+\frac{4m^2\cdot sin^2(mx)}{cos^3(mx)}\\ Auflösen: y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [cos^2(mx)+2\cdot sin(mx)]}{cos^3(mx)}\)

Nun wird der trigonometrische Pythagoras angewendet:

\(1= cos^2(x)+sin^2(x)\\ cos^2(x)=1-sin^2(x)\\ Einsetzen:\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [1-sin^2(mx)+2\cdot sin^2(mx)]}{cos^3(mx)}\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [1+sin^2(mx)]}{cos^3(mx)}\)

Quotientenregel kommt auch gelich noch =)

gruß gandalfthegreen

So, hallo Gast:

Zunächst erst einmal die erste Ableitung: Die hat dir schon asinus gegeben. Hier noch ein Hinweis.

Vereinfacht:

\(cos(-m x)= cos(m x)\\ -sin(-m x)=sin(m x)\\ \)

Man kann deine Funktion auch vereinfachen:

\(y=f(x)=\frac{2}{cos(-mx)}=\frac{2}{cos(m x)}\)

Mit der "vereinfachten" Variante kommt man auf:

\(y´=f´(x)=\frac{2 m\cdot sin(m x)}{cos^2(m x)}=\frac{-2 m\cdot sin(-m x)}{cos^2(-m x)}\)

Zur 2. Ableitung

Vorsicht: Zur Übersicht habe ich nun die erste Ableitung als GRUNDFUNKTION (y)=f(x) genommen, damit ich nicht immer y´´ und f´´(x) schreiben muss und die Regeln besser übertragbar sind!!!

Produktregel:

Allgemein:

\(y= f(x)= \color{red} {u(x)}\cdot \color{green} v(x)\\ y´=f´(x)=u´(x)\cdot\color{green} v(x) +\color{blue}v´(x)\cdot\color{red} u(x)\)

Für unser Funktion:

\(y=f(x)=\frac{2m\cdot sin(mx)}{cos^2(m x)}=\color{red}2 m\cdot sin(m x)\cdot \color{green}[cos(m x)]^{-2}\)

Auseinander nehmen:

\(\color{red}u(x)=2m\cdot sin(m x)\\ u´(x)=2 m^2\cdot cos(m x)\)

\(\color{green}v(x)=[cos(m x)]^{-2}\\ \color{blue}v´(x)=2 m\cdot sin(m x)\cdot [cos(mx)]^{-3} \)

Einsetzten:

\(y´=f´(x)=2m^2\cdot cos(m x)\cdot\color{green} [cos(m x)]^{-2} +\color{blue}2m\cdot sin(mx)\cdot [cos(mx)]^{-3}\cdot \color{red}2m\cdot sin(mx)\)

Als Brüche Umschreiben:

\(y´=f´(x)= \frac{2m^2cos(mx)}{\color{green}cos^2(mx)} + \frac{\color{blue}2m \cdot sin(mx)\cdot\color{red}2m\cdot sin(mx)}{\color{blue}cos^3(mx)}\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2}{cos(mx)}+\frac{4m^2\cdot sin^2(mx)}{cos^3(mx)}\\ Erweitern:\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\color{gray}\cdot cos^2(mx)}{cos(mx)\cdot \color{gray}cos^2(mx)}+\frac{4m^2\cdot sin^2(mx)}{cos^3(mx)}\\ Auflösen: y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [cos^2(mx)+2\cdot sin(mx)]}{cos^3(mx)}\)

Nun wird der trigonometrische Pythagoras angewendet:

\(1= cos^2(x)+sin^2(x)\\ cos^2(x)=1-sin^2(x)\\ Einsetzen:\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [1-sin^2(mx)+2\cdot sin^2(mx)]}{cos^3(mx)}\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [1+sin^2(mx)]}{cos^3(mx)}\)

Quotientenregel kommt auch gelich noch =)

gruß gandalfthegreen

Zur 2. Ableitung

Vorsicht: Zur Übersicht habe ich nun die erste Ableitung als GRUNDFUNKTION (y)=f(x) genommen, damit ich nicht immer y´´ und f´´(x) schreiben muss und die Regeln besser übertragbar sind!!!

Quotientenregel

Allgemein:

\(y= f(x)=\frac{ \color{red} {u(x)}}{ \color{green} v(x)}\\ y´=f´(x)=\frac{u´(x)\cdot\color{green} v(x) -\color{blue}v´(x)\cdot\color{red} u(x)}{\color{green}v^2(x)}\)

Für unser Funktion:

\(y=f(x)=\frac{\color{red}2m\cdot sin(mx)}{\color{green}cos^2(m x)}\)

Auseinander nehmen:

\(\color{red}u(x)=2m\cdot sin(m x)\\ u´(x)=2 m^2\cdot cos(m x)\)

\(\color{green}v(x)=cos^2(mx)\\ \color{blue}v´(x)=-2m\cdot cos(mx)\cdot sin(mx) \)

Einsetzten:

\(y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot cos(m x)\cdot\color{green} cos^2(m x)-(\color{blue}-2m\cdot cos(mx)\cdot sin(mx)\cdot \color{red}2m\cdot sin(mx)}{[cos^2(mx)]^2]}\)

Ausmultiplizieren:

\(y´=f´(x)= \frac{2m^2cos^3(mx)+4m^2\cdot cos(mx)\cdot sin^2(mx)}{cos^4(mx)} \\ Kürzen:\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot cos^2(mx)+4m^2\cdot sin^2(mx)}{cos^3(mx)}\\ \)

Nun wird der trigonometrische Pythagoras angewendet:

\(1= cos^2(x)+sin^2(x)\\ cos^2(x)=1-sin^2(x)\\ Einsetzen:\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [1-sin^2(mx)+2sin^2(mx)]}{cos^3(mx)}\\ y´=f´(x)=\frac{2m^2\cdot [1+sin^2(mx)]}{cos^3(mx)} \)

gruß gandalfthegreen