gandalfthegreen

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Hallo Gast: 

 

Deine Frage zur Umformung in die Scheitelpunktsform: 

 

\(2x^2+x+3\)[1]

 

Zunächst müssen wir so umstellen, dass vor dem x^2 eine 1 steht 

 

\(\color{blue}x^2+\color{red}\frac{x}{2}+\color{green}\frac{3}{2}\)[2]

 

Nun weißt du dass die Scheitelpunktsform immer so aussieht:

 

\((\color{blue}x\color{black}+e)^2+v \)[3]

 

Hier verstehckt sich also die Binomische Formel: 

 

\((\color{blue}a\color{black}+b)^2=\color{blue}a^2\color{red}+2ab+\color{black}b^2\)[4]

 

Oder mit unseren Variablen:

 

\((\color{blue}x+\color{black}e)^2+v=\color{blue}x^2+\color{red}2ex+\color{green}e^2+v\)[5]

 

 

Ich habe dir mal die Zahlen so markiert, wie du sie gleichsetzten musst

 

Es fehlen nun die Variablen e und v: 

Für e: Wir sehen, dass e in 2ex steht. Also setzten wir das mit unserer Aufgelösten Scheitelpunktsform gleich:

 

\(\color{red} \frac{x}{2}=2ex\)[6]

 

\(\color{red}e=\frac{1}{4}\)[7]

 

So sieht unsere Scheitelpunktsform schon mal so aus: 

 

\((x+\frac{1}{4})^2+v\)[8]

 

Berechnung v: Wenn wir die Binomische Formel [8] auflösen mit unseren Variablen  würde rauskommen:

 

\(x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\)[9]

 

Die Ersten zwei Therme stimmen ja schon, aber die 1/16 ist ja nicht gleich 3/2. Wir haben also kurz gesagt 1/16 zu viel berechnet. Das heißt wir müssen, das was wir zu viel berechnet haben von 3/2 abziehen und das ist unser v:

 

\(\color{green}e^2+v=\frac{3}{2}\)[10]

 

\(\color{green} v=\frac{3}{2}-e^2\)

 

\(v=\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=\frac{24}{16}-\frac{1}{16}=\frac{23}{16}\)[12]

 

Die komplette Scheitelpunktsform ist demnach: 

 

\((x+\frac{1}{4})^2+\frac{23}{16}\)[13]

 

Indem du das nun auflöst, kannst du das leicht nachprüfen.  

 

gruß gandalfthegreen

21.10.2016
 #9
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Hallo ellie, 

 

ich mache es jetzt noch mal auf einen anderen Weg:

 

Wir haben es mit einer liniearen Gleichung zu tun, weil wir davon ausgehen, das sie beide Kerzen zwar unterschiedlich schnell, aber ansonsten gleichmäßig abbrennen. Also ist die Grundfunktion:

 

\(y(x)=m\cdot x +n\)

 

Wir haben pro Kerze also 2 unbekannte m und n. Also benötigen wir auch 2 Gleichungen, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.

x= Zeit in Stunden

y(x)= Länge der Kerze in cm nach einer bestimmten Zeit x

 

Nehmen wir Kerze 1, mit 15 cm Länge, die nach 10 Stunden vollständig abgebrannt ist.

 

I. Gleichung: Die Kerze wurde noch nicht angebrannt, dass heißt die Zeit leigt bei Null, und wir wissen, die Kerze ist 15 cm lang. Das setzten wir mal so ein:

 

\(y_1(0)=15 [cm]=m_1\cdot 0 [Stunden]+n_1\)

 

da m*0 =0 ist kommt aus der Gleichung n_1=15

 

\(n_1=15 [cm]\)--> Das ist auch die Anfangslänge, das Sagt das n aus

 

(Wohingegen y(x) eine Länge nach einer beliebigen Zeit angibt, aber dazu später mehr)

 

II. Gleichung: Die Kerze ist vollständig abgebrannt, das heißt wir befinden uns zeitlich bei 10 Stunden (x=10). Die Länge ist nun Null cm, den sie ist ja abgebrannt. Das setzten wir wieder so ein: (Die 15 cm für n setzten wir natürlich mit ein)

 

\(y_1(10)=0[cm]=m_1\cdot10[Stunden]+15[cm]\)

 

Diese nun nach m Auflösen:

 

\(m_1=\frac{-15[cm]}{10[Stunde]}=-\frac{3}{2}\)--> Das ist der Anstieg: Die Kerze brennt 3 cm in 2 Stunden ab!!

 

Gesamte Gleichung Kerze 1: (ohne Einheiten, vllt Verwirrt das dich auch, aber ich wollte es dir anschaulich erklären)

 

\(y_1(x)=-\frac{3}{2}\cdot x+15\)

 

Nun zur Kerze 2. Das selbe vorgehen. Wir schauen uns wieder die "Grenzen" an. Hier lasse ich auch mal die Einheiten weg.

 

I. Gleichung: Wir betrachten die Kerze vor dem anbrennen, das heißt zum Zeitpunkt 0. (x=0) Die Kerze hat eine Länge von 20 cm. Das setzten wir so ein:

 

\(y_2(0)=20 =m_2\cdot0+n_2\)

 

Wieder ist m*0=0 und damit:

 

\(n_2=20\)

 

II. Gleichung: Nun Betrachten wir den Zeitpunkt, wenn die Kerze vollständig abgebrannt ist, also eine Länge von 0 cm hat. Das ist zum Zeitpunkt x=8 (Stunden)

Genau das setzten wir wieder so ein und erhalten:

 

\(y_2(8)=0=m_2\cdot8+20\)

 

Stellen um und rechnen m aus:

 

\(m_2=\frac{-20}{8}=-\frac{5}{2}\)--> Die Kerze brennt 5 cm in 2 Stunden ab, also schneller als die Andere

 

GLeichung für die Kerze 2: 

 

\(y_2(x)=-\frac{5}{2}\cdot x+20\)

 

Ok, nun habe wir die Funktionen, wie schnell denn die Kerzen Abbrennen, mit der Anfangslänge. Nun die Frage, wann sind sie denn Gleich lang?

 

Das heißt, die Frage ist, wann sind sie gleich LANG?? Das y(x) gibt ja an, eine LÄNGE nach einer bestimmten Zeit. Die Zeit wollen wir wissen. Und wir Wissen, die LÄNGE ist zu diesem ZEITPUNKT gleich das heißt:  

 

\(y_1(x)=y_2(x)\)

 

und das sieht so aus: 

 

\(-\frac{3}{2}x+15=-\frac{5}{2}x+20\)

 

Umstellen:

 

\(-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}x=+20-15\)

 

\(\frac{2}{2}x=5\)

 

\(x=5 [Stunden]\)

 

Lösung: Nahc 5 Stunden sind die Kerzen gleich Lang.

 

gruß gandalfthegreen

04.10.2016