Probolobo

Hat bisschen gedauert, aber jetzt gibt's noch die Induktion. Auf geht's!

Den Induktionsanfang kriegst du hin: Setze auf beiden Seiten n=1 ein und stelle fest, dass die Gleichung stimmt.

Für die Induktion nehmen wir an, dass die Behauptung für n stimmt, also dass die gegebene Gleichung für ein n gilt (Induktionsvoraussetzung IV).

Wir wollen nun zeigen, dass daraus folgt, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Wir betrachten dafür beide Seiten der Gleichung und stellen (hoffentlich) fest, dass beide Seiten das gleiche Ergebnis liefern.

Zunächst die rechte Seite. Ich hoff' ich interpretiere deine Angabe nicht falsch.

\(((n+1)-1) \cdot 3^{(n+1)+1} +3 = n \cdot 3 \cdot 3^{n+1}+3\)

So lass' ich's an der Stelle mal - das Ziel ist ja, die Aussage aus der Angabe zu nutzen. Da ist der Exponent n+1, daher will ich das hier auch so haben.

Nun die linke Seite:

\(\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)\cdot 3^k = \\ (\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\cdot 3^k) +(2(n+1)-1)\cdot 3^{n+1}=^* \\ (n-1)\cdot 3^{n+1} +3 + (2n+1)\cdot 3^{n+1} = \\ 3n\cdot 3^{n+1} +3\)

Hier habe ich zuerst den Summanden mit k=n+1 aus der Summe gezogen, damit die Summe genauso aussieht wie in der Induktionsvoraussetzung. Dann ersetze ich entsprechend die Summe durch die rechte Seite der Gleichung. Nach Zusammenfassen stellen wir fest: Das sieht ja genauso aus wie die rechte Seite, die wir oben berechnet haben. Damit sind wir fertig.

Frag' gern nochmal nach wenn noch was unklar ist! :)

Dann mach's ich:
M1 hat ein Maximum, nämlich 4. Es ist M1={1, 2, 3, 4}, denn 5^2=25 ist nicht mehr kleiner als 18.

M2 hat ebenfalls ein Maximum: Es gilt

\(|x-1| \leq 2 \Leftrightarrow \\ x-1 \leq 2 \vee -x+1 \leq 2 \Leftrightarrow \\ x \leq 3 \vee -1 \leq x\)

Daher ist M2 = [-1;3] und das Maximum ist 3.

M3 müsstest du ganz angeben, so kann ich nix dazu sagen.

2.

A würde ich sagen ist nicht induktiv, weil mir keine Nachfolgerfunktion der reellen Zahlen bekannt ist. (Für E gilt das gleiche.) Mag aber an mir liegen, wenn ihr eine definiert habt kannst du sie gern angeben, dann können wir uns das nochmal anschauen.

B ist auch nicht induktiv: Der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist die nächstgrößere natürliche Zahl - aber in B sind ja keine natürlichen Zahlen enthalten. Langsam hab' ich hier den Eindruck, dass n'=n+1 auch auf R eure Nachfolgerfunktion ist, sonst machen die Angaben ja keinen Sinn :D Dann sind A, B und E induktiv weil für jedes Element x auch x+1 enthalten ist. (Überzeug' dich da gern nochmal selbst davon oder frag' nach!)

C und D sind nicht induktiv: Die Elemente liegen jeweils 2 auseinander, daher ist für kein Element der Nachfolger enthalten.

F ist auch nicht induktiv: Für 1, 2 und 3 ist der Nachfolger enthalten, nicht aber für 4.

Naja, Wiki zB. sieht das Euler-Produkt nur in Zusammenhang mit multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen und den zugehörigen Dirichlet-Reihen:

Welche Formel vom Euler-Produkt meinst du denn genau?

Gib am besten mal den genauen Ausdruck an, den du untersuchst. Würd's mir gerne genauer anschauen, die Frage ist tatsächlich sehr interessant! Zumindest bei der Divergenzfrage kann ich dir sicherlich helfen, mit dem Rest versuch' ichs auch gern! :)

58/23,55 = 2,463 = 246,3%

Der neue Preis ist 246,3% vom alten Preis. Er ist daher 246,3%-100% = 146,3% höher.

Was gemeint ist ist wohl 125=5³. Die Zahlen davor sind 1³, 2³ etc.

Generell lässt sich aber jede Zahl als Lösung rechtfertigen. Man "rät" ja quasi, was sich der, der die Formel geschrieben hat, dabei gedacht hat. Es könnten auch die Geburtsjahre seiner Lieblingspersönlichkeiten im 19.Jahrhundert sein, who knows. 

Auch auf mathematische Art lassen sich alle Lösungen rechtfertigen. Wie das geht (mit Methoden aus der 8. Klasse tatsächlich) zeige ich in meiner Antwort hier:

Bei diesen endlichen Summen ist eine vollständige Induktion nicht nur unnötig, sondern auch unmöglich. Du kannst du Werte der Summen berechnen, indem du für n die Werte von 1 bis 4 (a) ) bzw. von 3 bis 5 (b) ) einsetzt und zusammenfasst.

Bin leider nicht dazu gekommen in den letzten Tagen. Jetzt ist's auch nicht mehr notwendig - genau das hätte ich vorgeschlagen! :)