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Behauptung mit vollständiger Induktion beweisen:

 

∑(2k - 1) 3^k = (n - 1) 3^n+1 + 3 (hier nur n+1 im Exponent)

über den Summenzeichen steht n und darunter k=1)

 

Die Behauptung habe ich schon überprüft, ich bräuchte "nur noch" den Beweis

 
 17.11.2022
 #1
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Hat bisschen gedauert, aber jetzt gibt's noch die Induktion. Auf geht's!

 

Den Induktionsanfang kriegst du hin: Setze auf beiden Seiten n=1 ein und stelle fest, dass die Gleichung stimmt.

Für die Induktion nehmen wir an, dass die Behauptung für n stimmt, also dass die gegebene Gleichung für ein n gilt (Induktionsvoraussetzung IV).

Wir wollen nun zeigen, dass daraus folgt, dass die Aussage auch für n+1 gilt. Wir betrachten dafür beide Seiten der Gleichung und stellen (hoffentlich) fest, dass beide Seiten das gleiche Ergebnis liefern.

Zunächst die rechte Seite. Ich hoff' ich interpretiere deine Angabe nicht falsch.

 

\(((n+1)-1) \cdot 3^{(n+1)+1} +3 = n \cdot 3 \cdot 3^{n+1}+3\)

So lass' ich's an der Stelle mal - das Ziel ist ja, die Aussage aus der Angabe zu nutzen. Da ist der Exponent n+1, daher will ich das hier auch so haben.

Nun die linke Seite:

 

\(\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)\cdot 3^k = \\ (\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\cdot 3^k) +(2(n+1)-1)\cdot 3^{n+1}=^* \\ (n-1)\cdot 3^{n+1} +3 + (2n+1)\cdot 3^{n+1} = \\ 3n\cdot 3^{n+1} +3\)

 

Hier habe ich zuerst den Summanden mit k=n+1 aus der Summe gezogen, damit die Summe genauso aussieht wie in der Induktionsvoraussetzung. Dann ersetze ich entsprechend die Summe durch die rechte Seite der Gleichung. Nach Zusammenfassen stellen wir fest: Das sieht ja genauso aus wie die rechte Seite, die wir oben berechnet haben. Damit sind wir fertig.

 

Frag' gern nochmal nach wenn noch was unklar ist! :)

 
 20.11.2022

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