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Hallo, eine Frage für Fortgeschrittene:
Setzt man in die Euler-Produktformel anstelle der Primzahlen die Fibonaccizahlen ein, so divergiert die Reihe für s=1, oder? Aber für s=2 wird es höchst interessant: konvergiert die Reihe dann etwa gegen den Goldenen Schnitt?!? Ich komme jedoch leider "nur" knapp dran, auf etwa 1,60262141...?!? Gibt es da bereits Arbeiten//Beweise/Sätze darüber? Danke.

 
 18.11.2022

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 #3
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Naja, Wiki zB. sieht das Euler-Produkt nur in Zusammenhang mit multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen und den zugehörigen Dirichlet-Reihen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Produkt

Du betrachtest dann quasi einen Spezialfall von der Wiki-Definition mit f = 1.

 

Du bist also auf der Suche nach dem Wert von \(\Pi_f \frac{1}{1-f^{-s}}\) (das f eigentlich unterm Pi) (wobei f die Fibonacci-Folge ist)?

Mit den Fibonacci-Zahlen ergibt sich hier auf jeden Fall das Problem, dass der Nenner für die ersten beiden Fibonacci-Zahlen Null wird. Bei den Primzahlen ist das nicht der Fall, denn 1 ist nicht prim. Für das "neue Euler-Produkt" müssen wir also die ersten beiden Zahlen auslassen damit das Produkt überhaupt definiert ist.

 

Bevor wir da jetzt tiefer einsteigen kann ich schonmal den Hinweis da lassen, dass du dir mit Excel (oder dem OpenOffice-Abklatsch davon oÄ.) bequem so viele Werte anschauen kannst wie du willst. Habs dir mal vorgemacht (incl. benutzter Formeln), sieht dann so aus:

 

 

Insbesondere sieht's aus, als würde das auch für s=1 konvergieren.

 
 19.11.2022
 #1
avatar+3923 
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Welche Formel vom Euler-Produkt meinst du denn genau?

Gib am besten mal den genauen Ausdruck an, den du untersuchst. Würd's mir gerne genauer anschauen, die Frage ist tatsächlich sehr interessant! Zumindest bei der Divergenzfrage kann ich dir sicherlich helfen, mit dem Rest versuch' ichs auch gern! :)

 
 19.11.2022
 #2
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@Probolobo: danke schonmal!

Ich gehe von diesem Ausdruck aus (gibts etwa noch andere?):
1/(1-p^-s)

wie zB hier auf der ersten Seite ganz unten, unter 1.2 Satz (Euler-Produkt) gegeben:
https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster/v/zeta/RZF_chap01.pdf

Und dann wiegesagt anstelle aller Primzahlen alle Fibonaccizahlen für p einsetzen.
Ich selbst bin nur Mathe-Amateur und kam mit meinen begrenzten Rechenmöglichkeiten bis zur 20. Fibonaccizahl auf einen Wert von 1,60262141847...

 
Gast 19.11.2022
 #3
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Naja, Wiki zB. sieht das Euler-Produkt nur in Zusammenhang mit multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen und den zugehörigen Dirichlet-Reihen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Produkt

Du betrachtest dann quasi einen Spezialfall von der Wiki-Definition mit f = 1.

 

Du bist also auf der Suche nach dem Wert von \(\Pi_f \frac{1}{1-f^{-s}}\) (das f eigentlich unterm Pi) (wobei f die Fibonacci-Folge ist)?

Mit den Fibonacci-Zahlen ergibt sich hier auf jeden Fall das Problem, dass der Nenner für die ersten beiden Fibonacci-Zahlen Null wird. Bei den Primzahlen ist das nicht der Fall, denn 1 ist nicht prim. Für das "neue Euler-Produkt" müssen wir also die ersten beiden Zahlen auslassen damit das Produkt überhaupt definiert ist.

 

Bevor wir da jetzt tiefer einsteigen kann ich schonmal den Hinweis da lassen, dass du dir mit Excel (oder dem OpenOffice-Abklatsch davon oÄ.) bequem so viele Werte anschauen kannst wie du willst. Habs dir mal vorgemacht (incl. benutzter Formeln), sieht dann so aus:

 

 

Insbesondere sieht's aus, als würde das auch für s=1 konvergieren.

 
Probolobo  19.11.2022

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