Probolobo

Wird schwierig, dir bei 1. zu helfen, wenn du uns die Inhalte von Definition 3.8 und Satz 2.1.11 nicht verrätst. Tatsächlich haben nicht alle Lehrbücher/Skripte die gleiche Nummerierung.

Die sin-Taste etwas gedrückt halten. Der asin ist dann dein sin^-1.

Wir schauen uns zunächst mal den Teil links vom < an:

\(|\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3}{5} |= \\ |\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3(n+1,4)}{5(n+1,4)}| = \\ |\frac{3n+2-3n-4,2}{5n+7} |= \\ | \frac{-2,2}{5n+7} | = \\ \frac{2,2}{5n+7}\)

Jetzt geht's damit in die Ungleichung und wir lösen nach n auf:

\(\frac{2,2}{5n+7}<\epsilon \\ 2,2 < \epsilon (5n+7) \\ \frac{2,2}{\epsilon} < 5n+7 \\ \frac{2,2}{\epsilon}-7 < 5n \\ \frac{\frac{2,2}{\epsilon}-7}{5} < n \\ \frac{11}{25\epsilon} -1,4 < n\)

Wir haben also eine Untergrenze für n gefunden. Die gesuchte Zahl N ist die kleinste natürliche Zahl, für die diese Ungleichung gilt. 

Wir können das schreiben als

\(N(\epsilon) = min( \{ n \in \mathbb{N} \ | \ \frac{11}{25\epsilon}-1,4 < n \})\)

(Wärs keine echte Ungleichung wäre Aufrunden auch eine Option. Mit echter Ungleichung ergäbe sich ein Widerspruch, wenn die linke Seite ganzzahlig ist.)

Ich hoff das hilft, frag' gern nach wenn was unklar ist! 

Den ersten Teil gab's ja schon hier:

Hattest du ja schon gestellt - ja, mach ich auf jeden fall noch, ich antworte dann unter deiner alten Frage. Spätestens morgen kriegst du deine Antwort :)

Wollt's letztens schon machen, aber hier herrscht akuter Freizeitmangel. Jetzt geht's aber los! 

Der Induktionsanfang ist ja quasi schon gegeben (für n=1). 

Wir nehmen also an, dass f(n)=a^n ist für eine Zahl n und wollen zeigen, dass die Aussage für n+1 auch stimmt.

Es ist 

f(n+1) = f(n) * f(1) = a^n * a = a^(n+1)

Damit sind wir fertig. Frag' gern nach wenn was unklar ist :)

Was ist denn überhaupt zu tun?

Ich würd' mal raten "Zusammenfassen soweit möglich", aber "Zusammenfassen und ausklammern" wäre auch möglich.

Für a) eher 5, 7 und 11 - leider ist 1 keine Primzahl. Das ist auch wichtig, denn sonst wäre die Primfaktorzerlegung nicht eindeutig.

Ich helf' ja immer gern, aber du musst schon eine Frage stellen, damit ich eine Antwort geben kann.

Ne, ist hier ganz anders - Funktion haben wir ja keine. Das Maximum (Minimum) einer Menge ist der größte (kleinste) Wert der Menge, ganz intuitiv eigentlich. Geht natürlich nur bei Teilmengen einer geordneten Grundmenge - bei einer Teilmenge vom \(\mathbb{R}^3\) gibt's das also nicht. 

Dazu gehört meistens auch die Erwähnung von Supremum (Infimum) einer Menge. Die funktionieren sehr ähnlich, nur muss der Wert nicht angenommen werden. Sie sind definiert als die größte obere (kleinste untere) Schranke einer Menge.

Ein Beispiel:

Die Menge \(M = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ 1 \leq x < 2 \}\) hat das supremum sup(M)=2, denn 2 ist die kleinste obere Schranke für Werte in M. Ein Maximum hat M aber nicht, denn für jede Zahl m=1,99... ist ja (m+2)/2>m, aber noch in M enthalten. Es gibt also keine größte Zahl in M, trotzdem ist M nach oben beschränkt.

Anders wär's hier bei Minimum/Infimum. Es ist min(M)=1=inf(M).

Generell gilt: Wenn das Maximum (Minimum) einer Menge existiert, stimmt es mit dem Supremum (Infimum) einer Menge überein.

Ich hoff' das macht's klarer, frag' gern nach wenn noch Unklarheiten übrig sind! :)

PS: Das Beispiel ist auch für den Fragesteller bzw die Fragestellerin kati.99 gut, Nichtexistenz von Max/Min wenn die Menge durch echte Ungleichheiten definiert ist, ist ein öfters in den Übungsaufgaben/Klausuraufgaben vorkommender Fall!