Im matheunterricht sollen wir die ideale Dose (konservendose) berechnen
als angabe haben wir nur bekommen, dass es ein zylinder sein muss und, dass das volumen 1Liter betragen soll
wäre super, wenn jemand helfen könnte
sitze schon seit tagen dran
+3976 Ja das kam an soweit, aber welche Zusatzeigenschaft unterscheidet die ideale Dose von den anderen? Gibt ja mehrere (unendlich viele) Zylinder, die ein Volumen von einem Liter haben.
Und: In welcher Klasse bzw. in welchem Kontext sollst du die Aufgabe denn lösen? Zu meinem Vorschlag für "ideal", also mit minimaler Außenfläche für minimalen Materialverbrauch, habe ich eine Idee, bei der ich mir auch sicher bin, dass die funktioniert, ist aber ein bisschen aufwändig.
+14995 Auf geht's!
Hallo Gast!
Die Oberfläche eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h Ist
\(O=2\pi r^2+2\pi rh\\ O=2\pi (r^2+rh)\)
Das Volumen eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h Ist
\(\color{blue}V=\pi r^2h \\ h=\dfrac{V}{\pi r^2}\)
Den Term für h setze ich in die Gleichung für die Oberfläche ein.
\(O=2\pi (r^2+\dfrac{r\cdot V}{\pi r^2})\\ \color{blue}Minimum\ Oberfl\ddot ache\ \Rightarrow\ f'(r)=0\\ f(r)=r^2+\dfrac{r\cdot V}{\pi r^2}\\ {\color{blue}f(r)}=r^2+\dfrac{V}{\pi }\cdot r^{-1}\\ f'(r)=2r+(-1)\cdot \dfrac{V}{\pi}\cdot r^{-2}\\ {\color{blue}f'(r)}=2r-\dfrac{V}{\pi r^2}=0\)
\(2r=\dfrac{V}{\pi r^2}\)
\(r=\dfrac{V}{2\pi r^2}\ |\ \cdot r^2\ (V=10^3cm^3)\\ r^3=\dfrac{10^3cm^3}{2\pi}\\ r=\sqrt[3]{\dfrac{10^3cm^3}{2\pi}}\\ \color{blue}r=5.419\ cm\\ \color{blue}d=10,838\ cm\)
\(h=\dfrac{V}{\pi r^2}\\ h=\dfrac{10^3\ cm^3}{\pi \cdot (5,41926\ cm)^2}\\ \color{blue}h=10.838\ cm\)
Bei einer "idealen Dose" ist die Höhe gleich dem Durchmesser.\(\)
!
