Zylinder

Was ist denn mit "ideal" gemeint? Minimale Außenfläche?

Auf geht's!

Hallo Gast!

Die Oberfläche eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h Ist

$O=2\pi r^2+2\pi rh\\ O=2\pi (r^2+rh)$

Das Volumen eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h Ist

$\color{blue}V=\pi r^2h \\ h=\dfrac{V}{\pi r^2}$

Den Term für h setze ich in die Gleichung für die Oberfläche ein.

$O=2\pi (r^2+\dfrac{r\cdot V}{\pi r^2})\\ \color{blue}Minimum\ Oberfl\ddot ache\ \Rightarrow\ f'(r)=0\\ f(r)=r^2+\dfrac{r\cdot V}{\pi r^2}\\ {\color{blue}f(r)}=r^2+\dfrac{V}{\pi }\cdot r^{-1}\\ f'(r)=2r+(-1)\cdot \dfrac{V}{\pi}\cdot r^{-2}\\ {\color{blue}f'(r)}=2r-\dfrac{V}{\pi r^2}=0$

$2r=\dfrac{V}{\pi r^2}$

$r=\dfrac{V}{2\pi r^2}\ |\ \cdot r^2\ (V=10^3cm^3)\\ r^3=\dfrac{10^3cm^3}{2\pi}\\ r=\sqrt[3]{\dfrac{10^3cm^3}{2\pi}}\\ \color{blue}r=5.419\ cm\\ \color{blue}d=10,838\ cm$

$h=\dfrac{V}{\pi r^2}\\ h=\dfrac{10^3\ cm^3}{\pi \cdot (5,41926\ cm)^2}\\ \color{blue}h=10.838\ cm$

Bei einer "idealen Dose" ist die  Höhe gleich dem Durchmesser.

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