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Welche Peano-Axiome sind hier erfüllt und welche nicht und warum?

 

N = {1,2,3}, 1' = 2,2' = 1,3' = 2

 
 17.11.2022
 #1
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Nummerierung nach https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome .

 

(1) ist nicht erfüllt - gibt ja keine Null.

(2) und (3) sind auch erfüllt - warum ist vermutlich klar, die Aussagen passen zur angegebenen Nachfolgerfunktion.

(4) ist das erste, das nicht erfüllt ist. 1 und 3 sind zwei unterschiedliche Zahlen, die aber den gleichen Nachfolger haben.

(5) ist technisch gesehen korrekt, da aufgrund des Nicht-Vorhanden-Seins der 0 die linke Seite des Folgepfeils stets unwahr ist.

 

Vermutlich hast du eine Version der Peano-Axiome vorliegen, wo noch 1 statt 0 benutzt wird. Dann sieht's so aus:

 

(1) offenbar wahr. (2) auch.

(3) nicht wahr: 1 ist der Nachfolger von 2.

(4) aus den gleichen Gründen wie oben nicht erfüllt

(5) auch nicht erfüllt: Eine Menge könnte, obwohl die linke Seite des Folgepfeils erfüllt ist (also 1 enthalten und jeder Nachfolger), nur 1 und 2 enthalten. Daher wäre nicht die ganze Menge N enthalten.

 
 17.11.2022

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