Probolobo

Der Satz, den man hier ausnutzt, ist: Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Daher reicht es hier, die einzelnen Faktoren gleich null zu setzen.

In der Regel klappen Beweise dieser Art ganz gut, wenn man ein Element der linken Seite hernimmt, und zeigt, dass es in der rechten enthalten ist, und andersrum. 

Sei x ein Element aus A∩(B\C). 

Dann ist x in A und in B\C. Dass x in B\C ist, bedeutet, es ist in B, aber nicht in C. Somit ist x schonmal in A∩B und sogar (A∩B)\C. Da es in A ist, ist der Teil von C, der außerhalb von A liegt, beim Bilden der mengentechnischen Differenz (also beim \ ) egal. Wir können also C hier ersetzen durch A∩C. Unser x liegt also in (A∩B)\(A∩C). Das zeigt, dass die linke Seite eine Teilmenge der rechten ist. MIt einer ähnlichen Argumentation, aber in (A∩B)\(A∩C) startend, kann man zeigen, dass die rechte Seite Teilmenge der linken ist. Damit folgt Gleichheit.

Eine weitere Möglichkeit sind Wahrheitstabellen. Wenig elegant und etwas aufwändig zu erstellen, aber gnadenlos wirklungsvoll ;)

Du hast auf der rechten Seite ja eine Summe stehen, die Summanden sehen unterschiedlich aus, je nach Wert von k. Dabei durchläuft k alle Werte von 0 bis zu was halt oben steht, in dem Fall 1. Hier brauchst du für k also die Werte 0 und 1.

Damit ist die rechte Seite

(a-b)*(a¹b⁰ + a⁰b¹) = (a-b)(a+b) = a²-b².

Danke für dein Lob, freut mich sehr wenn ich helfen konnte! :) Wenn die nächste Induktion doch noch nicht klappt bist du natürlich gern eingeladen, die auch hier im Forum zu fragen.

Klar, auf geht's!

Den Induktionsanfang würdest du bestimmt selbst hinbekommen: Wir setzen n=1 ein und prüfen, ob die Aussage dann sitmmt.

Links steht dann a²-b², rechts (a-b)(a+b) - dass beide Seiten gleich sind, ist seit der 8. Klasse bekannt als 3. binomische Formel.

Als Induktionsvoraussetzung (IV) nehmen wir an, dass die Aussage für eine beliebige Zahl n gilt. Im Induktionsschritt folgern wir daraus, dass sie auch für n+1 gilt. Wir betrachten dafür beide Seiten des Gleichheitszeichens:

Links: \(a^{n+1+1}-n^{n+1+1} = a^{n+2}-b^{n+2}\)

Die rechte Seite sollte das gleiche Ergebnis liefern. Wir wollen auf dem Weg dahin auf jeden Fall irgendwo die IV benutzen. Das Ziel ist also, so umzuformen, dass die Summe nur bis n geht, nicht mehr bis n+1. Das ist häufig das Vorgehen bei Induktionsbeweisen. Schauen wir mal, wie wir das hinbekommen:

\((a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}b^k =^* \\ (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}b^k+(a-b)\cdot a^0b^{n+1}=^{**} \\ (a-b) \cdot a \cdot \sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k+(a-b)\cdot b^{n+1}= \\ a \cdot (a^{n+1}-b^{n+1}) + ab^{n+1} - b^{n+2} = \\ a^{n+2} -ab^{n+1}+ ab^{n+1} - b^{n+2} = \\ a^{n+2} - b^{n+2}\)

Bei * habe ich den letzten Summanden der Summe abgespalten. Dann steckt aber noch das n+1 im Exponenten. Bei ** habe ich daher ein a aus der Summe ausgeklammert. Danach hatte die Summe genau die Form aus der zu zeigenden Aussage, weswegen ich die Induktionsvoraussetzung benutzen konnte. Danac wird zusammengefasst und wir sehen: Die rechte Seite liefert das gleiche Ergebnis wie die linke. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Frag' gern nach wenn was unklar ist, Induktion ist schwer, aber wichtig! :)

Ohne die Elemente von A und B zu kennen ist die Aufgabe nicht lösbar würde ich sagen. Wie sollen wir denn alle Elemente auflisten, wenn wir gar keins kennen?

Den Punkt d noch extra zu nennen ist nicht notwendig, weil seine Koordinaten mit denen von c übereinstimmen. Die gerade g wird durch c und den Ursprung festgelegt, ihre Steigung ist (8-0)/(2-0) = 4. Nachdem der Ursprung auf g liegt ist der y-Achsen-Abschnitt 0 und damit g:y=4x+0=4x der zugehörige Term. Die gesuchte Gerade muss die gleiche Steigung haben, aber einen anderen y-Achsen-Abschnitt. Ab hier schaffst du's bestimmt! ;)

Die Null wird eingeschoben, ja. "Immer" würde ich hier nicht pauschal sagen - hier macht's halt Sinn, gibt schon auch Induktionsbeweise, die ähnlich laufen, wo man's aber nicht machen muss. Das Ziel bei der Induktion sollte immer sein, die Induktionsvoraussetzung zu benutzen - und die beinhaltet hier halt den Term 4n^3-n. Weil der in unserem vollständig zusammengefassten Term aber nicht steht, erzeugen wir den künstlich, damit die IV benutzt werden kann.

Erstmal ganz vielen Dank für das tolle PDF, das is ja großartig!

Wie man auf die zu zeigenden Formeln kommt ist leider deutlich schwerer als der Beweis, wenn man die Formel schon kennt. Bei der von dir angegebenen folgt die Gleichung mit dem Bruch als Ergebnis aus der zweiten Darstellung (1+2+...+n)^2 und B(1), aber normalerweise gibt's da kein allgemeines Vorgehen. 

In dem Summen-Kontext könnte das so aussehen: Man berechnet die Summen mal für ein paar kleine n und schaut nach, ob man irgendwelche Regelmässigkeiten erkennt. Wenn man einen Vorschlag für die Formel hat könnte man die Summe für noch ein paar n berechnen und schauen, ob die Formel dazu noch passt. Ist man dann hinreichend überzeugt, dass die Formel korrekt ist, versucht man's mal mit dem Induktionsbeweis.

Polynominterpolation kann hier auch helfen: Ein paar Summenwerte berechnen und per Inerpolation ein Polynom finden, dass zu all diesen Werten passt. Dieses Polynom ist dann der "Formel-Vorschlag". Der Induktionsbeweis kommt danach trotzdem.