+12 1. Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengen ein Maximum oder Minimum besitzen und geben Sie dieses gegebenenfalls an. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
\(
\begin{array}{l}
M_{1}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid n^{2}<18\right\}, \quad M_{2}=\{x \in \mathbb{R}|| x-1 \mid \leq 2\}, \\
M_{3}=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \end{array}
\)
2. Welche der folgenden Mengen sind induktiv? Begründen Sie Ihre Antworten.
\(
\begin{array}{l}
A=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq-3\}, \quad B=\left\{n+\frac{1}{2} \mid n \in \mathbb{N}\right\}, \quad C=\{2 n+1 \mid n \in \mathbb{N}\}, \\
D=\{2 n-1 \mid n \in \mathbb{N}\}, \quad E=\{x \in \mathbb{R} \mid x>1\}, \quad F=\left\{n \in \mathbb{N} \mid n^{2}<18\right\}
\end{array}
\)
+14915 Hallo kati.99 !
1. Maximum oder Minimum
\( M_{1}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid n^{2}<18;\ {\color{blue}0\notin \mathbb{N}}\right\}\\ M_{2}=\{x \in \mathbb{R}\ |\ | x-1 \mid \leq 2\}\\ M_{3}=\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \} \\ {\color{blue}{Keine\ Extrema\ in\ \{M_1;\ M_2;\ M_3\}.}\ \color{red}\ Leider\ nicht\ korrekt.}\)
siehe unten.
2. Welche der folgenden Mengen sind induktiv?
\(\begin{array}{l} A=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq-3\}, \quad B=\left\{n+\frac{1}{2} \mid n \in \mathbb{N}\right\}, \quad C=\{2 n+1 \mid n \in \mathbb{N}\}, \\ D=\{2 n-1 \mid n \in \mathbb{N}\}, \quad E=\{x \in \mathbb{R} \mid x>1\}, \quad F=\left\{n \in \mathbb{N} \mid n^{2}<18\right\} \end{array}\)
Zur Beantwortung dieser Frage reicht mein Wissen nicht aus. Du kannst dich hier informieren:
https://de.wikipedia.org/wiki/Induktive_Menge
!
+3976 Dann mach's ich:
M1 hat ein Maximum, nämlich 4. Es ist M1={1, 2, 3, 4}, denn 5^2=25 ist nicht mehr kleiner als 18.
M2 hat ebenfalls ein Maximum: Es gilt
\(|x-1| \leq 2 \Leftrightarrow \\ x-1 \leq 2 \vee -x+1 \leq 2 \Leftrightarrow \\ x \leq 3 \vee -1 \leq x\)
Daher ist M2 = [-1;3] und das Maximum ist 3.
M3 müsstest du ganz angeben, so kann ich nix dazu sagen.
2.
A würde ich sagen ist nicht induktiv, weil mir keine Nachfolgerfunktion der reellen Zahlen bekannt ist. (Für E gilt das gleiche.) Mag aber an mir liegen, wenn ihr eine definiert habt kannst du sie gern angeben, dann können wir uns das nochmal anschauen.
B ist auch nicht induktiv: Der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist die nächstgrößere natürliche Zahl - aber in B sind ja keine natürlichen Zahlen enthalten. Langsam hab' ich hier den Eindruck, dass n'=n+1 auch auf R eure Nachfolgerfunktion ist, sonst machen die Angaben ja keinen Sinn :D Dann sind A, B und E induktiv weil für jedes Element x auch x+1 enthalten ist. (Überzeug' dich da gern nochmal selbst davon oder frag' nach!)
C und D sind nicht induktiv: Die Elemente liegen jeweils 2 auseinander, daher ist für kein Element der Nachfolger enthalten.
F ist auch nicht induktiv: Für 1, 2 und 3 ist der Nachfolger enthalten, nicht aber für 4.
+14915 Minimum und Maximum kenne ich als Extrema der Funktion. Sind hier die Höchstwerte oder die Anzahl gültiger Werte im Bereich der Funktion gefragt, und können diese Maximum bzw. Minimum genannt werden?
!
+3976 Ne, ist hier ganz anders - Funktion haben wir ja keine. Das Maximum (Minimum) einer Menge ist der größte (kleinste) Wert der Menge, ganz intuitiv eigentlich. Geht natürlich nur bei Teilmengen einer geordneten Grundmenge - bei einer Teilmenge vom \(\mathbb{R}^3\) gibt's das also nicht.
Dazu gehört meistens auch die Erwähnung von Supremum (Infimum) einer Menge. Die funktionieren sehr ähnlich, nur muss der Wert nicht angenommen werden. Sie sind definiert als die größte obere (kleinste untere) Schranke einer Menge.
Ein Beispiel:
Die Menge \(M = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ 1 \leq x < 2 \}\) hat das supremum sup(M)=2, denn 2 ist die kleinste obere Schranke für Werte in M. Ein Maximum hat M aber nicht, denn für jede Zahl m=1,99... ist ja (m+2)/2>m, aber noch in M enthalten. Es gibt also keine größte Zahl in M, trotzdem ist M nach oben beschränkt.
Anders wär's hier bei Minimum/Infimum. Es ist min(M)=1=inf(M).
Generell gilt: Wenn das Maximum (Minimum) einer Menge existiert, stimmt es mit dem Supremum (Infimum) einer Menge überein.
Ich hoff' das macht's klarer, frag' gern nach wenn noch Unklarheiten übrig sind! :)
PS: Das Beispiel ist auch für den Fragesteller bzw die Fragestellerin kati.99 gut, Nichtexistenz von Max/Min wenn die Menge durch echte Ungleichheiten definiert ist, ist ein öfters in den Übungsaufgaben/Klausuraufgaben vorkommender Fall!
