We have 10 standard 6-sided dice, all different colors.
In how many ways can we roll them to get a sum of 20?
1.
The number of ways of partitioning 20 into exactly 10 distinct parts with the 6 numbers {1,2,3,4,5,6} we have:
30 partitions of 20 into ten distinct parts:
The 30 distinct partitions with the sum 20 are:
1.) {2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}
2.) {1,2,2,2,2,2,2,2,2,3}
3.) {1,1,2,2,2,2,2,2,3,3}
4.) {1,1,2,2,2,2,2,2,2,4}
5.) {1,1,1,2,2,2,2,3,3,3}
6.) {1,1,1,2,2,2,2,2,3,4}
7.) {1,1,1,2,2,2,2,2,2,5}
8.) {1,1,1,1,2,2,3,3,3,3}
9.) {1,1,1,1,2,2,2,3,3,4}
10.) {1,1,1,1,2,2,2,2,4,4}
11.) {1,1,1,1,2,2,2,2,3,5}
12.) {1,1,1,1,2,2,2,2,2,6}
13.) {1,1,1,1,1,3,3,3,3,3}
14.) {1,1,1,1,1,2,3,3,3,4}
15.) {1,1,1,1,1,2,2,3,4,4}
16.) {1,1,1,1,1,2,2,3,3,5}
17.) {1,1,1,1,1,2,2,2,4,5}
18.) {1,1,1,1,1,2,2,2,3,6}
19.) {1,1,1,1,1,1,3,3,4,4}
20.) {1,1,1,1,1,1,3,3,3,5}
21.) {1,1,1,1,1,1,2,4,4,4}
22.) {1,1,1,1,1,1,2,3,4,5}
23.) {1,1,1,1,1,1,2,3,3,6}
24.) {1,1,1,1,1,1,2,2,5,5}
25.) {1,1,1,1,1,1,2,2,4,6}
26.) {1,1,1,1,1,1,1,4,4,5}
27.) {1,1,1,1,1,1,1,3,5,5}
28.) {1,1,1,1,1,1,1,3,4,6}
29.) {1,1,1,1,1,1,1,2,5,6}
30.) {1,1,1,1,1,1,1,1,6,6}
2.
In how many ways can we roll them to get a sum of 20?
We need the permutations of each partitions and the sum is the answer.
1.){2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}10!10!=12.){1,2,2,2,2,2,2,2,2,3}10!1!8!1!=903.){1,1,2,2,2,2,2,2,3,3}10!2!6!2!=12604.){1,1,2,2,2,2,2,2,2,4}10!2!6!1!=3605.){1,1,1,2,2,2,2,3,3,3}10!3!4!3!=42006.){1,1,1,2,2,2,2,2,3,4}10!3!5!1!1!=50407.){1,1,1,2,2,2,2,2,2,5}10!3!6!1!=8408.){1,1,1,1,2,2,3,3,3,3}10!4!2!4!=31509.){1,1,1,1,2,2,2,3,3,4}10!4!3!2!1!=1260010.){1,1,1,1,2,2,2,2,4,4}10!4!4!2!=315011.){1,1,1,1,2,2,2,2,3,5}10!4!4!1!1!=630012.){1,1,1,1,2,2,2,2,2,6}10!4!5!1!=126013.){1,1,1,1,1,3,3,3,3,3}10!5!5!=25214.){1,1,1,1,1,2,3,3,3,4}10!5!1!3!1!=504015.){1,1,1,1,1,2,2,3,4,4}10!5!2!1!2!=756016.){1,1,1,1,1,2,2,3,3,5}10!5!2!2!1!=756017.){1,1,1,1,1,2,2,2,4,5}10!5!3!1!1!=504018.){1,1,1,1,1,2,2,2,3,6}10!5!3!1!1!=504019.){1,1,1,1,1,1,3,3,4,4}10!6!2!2!=126020.){1,1,1,1,1,1,3,3,3,5}10!6!3!1!=84021.){1,1,1,1,1,1,2,4,4,4}10!6!1!3!=84022.){1,1,1,1,1,1,2,3,4,5}10!6!1!1!1!1!=504023.){1,1,1,1,1,1,2,3,3,6}10!6!1!2!1!=252024.){1,1,1,1,1,1,2,2,5,5}10!6!2!2!=126025.){1,1,1,1,1,1,2,2,4,6}10!6!2!1!1!=252026.){1,1,1,1,1,1,1,4,4,5}10!7!2!1!=36027.){1,1,1,1,1,1,1,3,5,5}10!7!1!2!=36028.){1,1,1,1,1,1,1,3,4,6}10!7!1!1!1!=72029.){1,1,1,1,1,1,1,2,5,6}10!7!1!1!1!=72030.){1,1,1,1,1,1,1,1,6,6}10!8!2!=45sum=85228
3.
The probability is:
85228610=8522860466176=0.00140951530
