heureka

how do I solve 2/(sqrt(4sqrt(2)+6))+2/(sqrt(6-4*sqrt(2)) , without calculator, it's been an hour at least..

$\begin{array}{rcll} \frac{2} {\sqrt{ 6 + 4\cdot \sqrt{2}} } + \frac{2} { \sqrt{6-4 \cdot \sqrt{2} } } &=& 2\cdot \left( \frac{1} {\sqrt{ 6 + 4\cdot \sqrt{2}} } + \frac{1} { \sqrt{6-4 \cdot \sqrt{2} } } \right) \\\\ &=& 2\cdot \left( \frac{ \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } } { \sqrt{ 6 + 4 \cdot \sqrt{2} } \cdot \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } } \right) \\\\ &=& 2\cdot \left( \frac{ \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } } { \sqrt{ ( 6 + 4 \cdot \sqrt{2} ) \cdot ( 6 - 4 \cdot \sqrt{2} ) } } \right) \\\\ &=& 2\cdot \left( \frac{ \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } } { \sqrt{ 36 - 16 \cdot 2 } } \right) \\\\ &=& 2\cdot \left( \frac{ \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } } { \sqrt{ 4 } } \right) \\\\ &=& 2\cdot \left( \frac{ \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } } { 2 } \right) \\\\ &=& \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } \\\\ \end{array}$

$\begin{array}{rcll} \frac{2} {\sqrt{ 6 + 4\cdot \sqrt{2}} } + \frac{2} { \sqrt{6-4 \cdot \sqrt{2} } } &=& \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } \qquad | \qquad \sqrt{()^2} \\\\ &=& \sqrt{ \left( \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} } + \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } \right)^2 } \\\\ &=& \sqrt{ (6-4 \cdot \sqrt{2}) + 2\cdot \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} }\cdot \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } + (6+4 \cdot \sqrt{2}) } \\\\ &=& \sqrt{ 6 + 2\cdot \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} }\cdot \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } + 6 } \\\\ &=& \sqrt{ 12 + 2\cdot \sqrt{ 6 - 4 \cdot \sqrt{2} }\cdot \sqrt{6+4 \cdot \sqrt{2} } } \\\\ &=& \sqrt{ 12 + 2\cdot \sqrt{ (6 - 4 \cdot \sqrt{2}) \cdot (6+4 \cdot \sqrt{2}) } } \\\\ &=& \sqrt{ 12 + 2\cdot \sqrt{ 36 - 16 \cdot 2 } } \\\\ &=& \sqrt{ 12 + 2\cdot \sqrt{ 4 } } \\\\ &=& \sqrt{ 12 + 2\cdot 2 } \\\\ &=& \sqrt{ 12 + 4 } \\\\ &=& \sqrt{ 16 } \\\\ \mathbf{ \frac{2} {\sqrt{ 6 + 4\cdot \sqrt{2}} } + \frac{2} { \sqrt{6-4 \cdot \sqrt{2} } } } &\mathbf{=}& \mathbf{4} \end{array}$

Wie gibt man Limes ein der gegen unendlich läuft

Versuche es mal so:

You hang nine identical square picture frames on a wall.

a. Write a polynomial that represents the area of the picture frames, not including the pictures.

$\begin{array}{rcll} A = 9\cdot (x^2-4^2) \\ \end{array}$

b. The area in part (a) is 81 square inches. What is the side length of one of the picture frames? Explain your reasoning.

$\begin{array}{rcll} A &=& 9\cdot (x^2-4^2) \\ 81 &=& 9\cdot (x^2-4^2) \\ 81 &=& 9\cdot (x^2-16) \\ 9\cdot (x^2-16) &=& 81 \qquad | \qquad : 9 \\ x^2-16&=& 9 \qquad | \qquad +16 \\ x^2 &=& 25 \qquad | \qquad \sqrt{} \\ x &=& 5\ in. \\ \end{array}$

Hallo ich habe eine Frage da ich das Gefühl habe mich bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertan zu haben. Wenn ich ein Rad habe mit 514 Schwarzen und 486 Roten Feldern, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit das man nach 6 maligen Drehen des Rades mindestens einmal auf einem Roten Feld landet?

Felder insgesamt $514+486 = 1000$
Die Wahrscheinlichkeit für schwarz ist $\frac{514}{1000}$
Die Wahrscheinlichkeit nur für schwarz nach 6 maligen Drehen ist $(\frac{514}{1000})^6 = 0,01844075568$
Die Wahrscheinlichkeit sonst (also mindestens einmal rot) ist $1 - 0,01844075568 = 0,98155924432$

Die Wahrscheinlichkeit das man nach 6 maligen Drehen des Rades mindestens einmal auf einem Roten Feld landet

ist $98,16\ \%$

Simplify sqrt(a^2-(a*sinx)^2)

$\begin{array}{rcll} \sqrt{ a^2 - [a \cdot \sin(x) ]^2 } &=& \sqrt{ a^2 - a^2 \cdot \sin^2(x) } \\ \sqrt{ a^2 - [a \cdot \sin(x) ]^2 }&=& \sqrt{ a^2 \cdot [ 1 - \sin^2(x) ] } \\ && \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \qquad \text{ or }\qquad \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\\ \sqrt{ a^2 - [a \cdot \sin(x) ]^2 }&=& \sqrt{ a^2 \cdot \cos^2(x) } \\ \mathbf{\sqrt{ a^2 - [a \cdot \sin(x) ]^2 } } & \mathbf{=} & \mathbf{a \cdot \cos(x) } \end{array}$

In the drawing, a triangle is formed by drawing a line segment of length a from (4,3) to the positive x-axis. For what value(s) of a can you form

a) one triangle?

b) two triangles?

c) no triangles?

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & a<3 & a=3 & 3<a<5 & a=5 & a > 5 \\ \hline \text{triangles} &0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & a<3 & a=3 & 3<a<5 & a=5 & a > 5 \\ \hline \text{triangles} &0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$

tan²θ + 1/tan²θ=2 then value of θ=?

$\begin{array}{rcll} \tan^2(\phi) + \frac{ 1 } { \tan^2(\phi) } &=& 2 \qquad & |\qquad \cdot \tan^2(\phi)\\ \tan^4(\phi) + 1 &=& 2 \cdot \tan^2(\phi) \qquad & |\qquad -2\cdot \tan^2(\phi)\\ \tan^4(\phi) -2\cdot \tan^2(\phi) + 1 &=& 0 \qquad & |\qquad \text{binomial}\\ ( \tan^2(\phi) - 1 ) ^2 &=& 0 \qquad & |\qquad \sqrt{} \\ \tan^2(\phi) - 1 &=& 0 \qquad & |\qquad +1 \\ \tan^2(\phi) &=& 1 \qquad & |\qquad \pm\sqrt{} \\ \tan(\phi) &=& \pm\sqrt{1} \\ \tan(\phi) &=& \pm 1 \qquad & |\qquad \arctan{()} \\ \phi &=& \arctan{(\pm 1)} \pm k\cdot \pi \qquad & |\qquad k = 0,1,2,\cdots \\ \phi &=& \pm\arctan{(1)} \pm k\cdot \pi \qquad & |\qquad \arctan{(1)} = \frac{\pi}{4} \\ \phi &=& \pm\frac{\pi}{4} \pm k\cdot \pi \\ \phi_1 &=& \frac{\pi}{4} \pm k\cdot \pi \\ \phi_2 &=& -\frac{\pi}{4} \pm k\cdot \pi \\\\ \phi &=& \cdots -\frac34\pi, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac34\pi, \cdots \end{array}$

remainder of 2^2011/13

$\begin{array}{rcll} 2^{2011} \pmod {13} &=& \ ? \end{array}$

$\small{ \begin{array}{lrcll} 1. & gcd(13,2) &=& 1 \qquad | \qquad 13 \text{ and } 2 \text{ are relatively prim } \\ 2. & 13 \text{ is a prim number } \\ 3. & \phi() \text{ is Euler's totient function, Euler's phi function }\\ & \phi(p) &=& p-1 \qquad p \text{ is a prim number} \\ & \phi(13) &=& {\color{red}12} \\ 4. & 2^{\phi(13)} &\equiv& 1 \pmod{13} \\ & 2^{{\color{red}12}} &\equiv& 1 \pmod{13} \\ \hline &\text{ Let } \phi(n) \text{ denote the totient function. } \\ &\text{Then } a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod {n} \text{ for all } a \text{ relatively prime to } n. \\ \end{array} }$

$\begin{array}{rcll} 5. & 2011 &=& {\color{red}12}\cdot 167 + 7 \\ & 2^{2011 } \pmod{13} &=& 2^{ {\color{red}12}\cdot 167 + 7 } \pmod{13} \\ & &=& ( 2^{ {\color{red}12} } )^{167}\cdot 2^{7} \pmod{13} \\ & &\equiv& ( 1 )^{167}\cdot 2^{7} \pmod{13} \\ & &\equiv& 1\cdot 2^{7} \pmod{13} \\ & &\equiv& 2^{7} \pmod{13} \\ & &\equiv& 128 \pmod{13} \\ & &\equiv& 11 \pmod{13} \end{array}$

The remainder of $\frac{2^{2011}} {13}$ is $\mathbf{11}$

How do i work out an angle using soh,cah,toa.

Au=20 x log10 U1/U2 dB nach U1 umstellen???

$\begin{array}{rcll} A_u &=& 20 \cdot \log_{10} { \left( \frac{U_1}{U_2} \right) } \\\\ \frac{A_u}{20} &=& \log_{10} { \left( \frac{U_1}{U_2} \right) } \quad | \quad \text{log-Gesetz: }~ \log{(\frac{a}{b})}=\log{(a)}-\log{(b)} \\\\ \frac{A_u}{20} &=& \log_{10}{(U_1)} - \log_{10}{(U_2)} \\\\ \log_{10}{(U_1)} &=& \frac{A_u}{20} + \log_{10}{(U_2)} \\\\ \mathbf{U_1} & \mathbf{=} & \mathbf{ 10^{ \left[ \frac{A_u}{20} + \log_{10}{(U_2)} \right] } } \end{array}$