Stimmt diese Ableitung von
\(y = \frac{-2x+1}{x^4-2x^3+x^2} \Rightarrow y=-2x+1 {(x^4-2x^3+x^2)}^{-1} \)
Leider ist deine Umformung falsch. Es muss \(-2x+1\) in Klammern gesetzt sein.
So wäre deine Umformung richtig: \(y=(-2x+1 )\cdot [(x^4-2x^3+x^2)]^{-1}\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline y &=& (-2x+1 ) \cdot [(x^4-2x^3+x^2)]^{-1} \quad &| \quad x^4-2x^3+x^2 = x^2\cdot(x^2-2x+1) \\\\ y &=& (-2x+1 ) \cdot [x^2\cdot(x^2-2x+1)]^{-1}\quad &| \quad x^2-2x+1 = (x-1)^2 \\\\ y &=& (-2x+1 ) \cdot [x^2\cdot(x-1)^2]^{-1} \\\\ y &=& (-2x+1 ) \cdot x^{-2} \cdot (x-1)^{-2} \\ \hline \end{array} \)
Nun kommen wir zur Ableitung.
Unsere Formel dazu lautet allgemein: \(y=u \cdot v \cdot w\qquad y'= (u \cdot v \cdot w)' = u'\cdot v \cdot w + u\cdot v' \cdot w +u\cdot v \cdot w'\)
\(\begin{array}{|rcll|} \hline y &=& \underbrace{(-2x+1 )}_{=u} \cdot \underbrace{x^{-2}}_{=v} \cdot \underbrace{(x-1)^{-2}}_{=w} \\ && u' = -2 \\ && v' = -2\cdot x^{-3} \\ && w' = -2\cdot (x-1)^{-3}\cdot 1 \\\\ y' &=& u'\cdot v \cdot w + u\cdot v' \cdot w +u\cdot v \cdot w' \\\\ y' &=& (-2)\cdot x^{-2} \cdot (x-1)^{-2} \\ && + (-2x+1 ) \cdot (-2\cdot x^{-3}) \cdot (x-1)^{-2} \\ && + (-2x+1 )\cdot x^{-2} \cdot [-2\cdot (x-1)^{-3}] \\\\ y' &=& \frac{-2}{ x^2 \cdot (x-1)^2 } + \frac{ (-2x+1)\cdot(-2)} { x^3 \cdot (x-1)^2 } + \frac{(-2x+1)\cdot (-2)} { x^2\cdot (x-1)^3 } \\\\ y' &=& \frac{-2}{ x^2 \cdot (x-1)^2 } \cdot \frac{x\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)} + \frac{ (-2x+1)\cdot(-2)} { x^3 \cdot (x-1)^2 }\cdot \frac{(x-1)}{(x-1)} + \frac{(-2x+1)\cdot (-2)} { x^2\cdot (x-1)^3 } \cdot \frac{x}{x} \\\\ y' &=& \frac{(-2)\cdot x\cdot(x-1) + (-2x+1)\cdot(-2)\cdot (x-1) + (-2x+1)\cdot (-2)\cdot x } { x^3\cdot (x-1)^3 } \\\\ y' &=& \frac{(-2)\cdot x\cdot(x-1) + (-2x+1)\cdot(-2)\cdot[(x-1) + x] } { x^3\cdot (x-1)^3 } \\\\ y' &=& \frac{(-2)\cdot x\cdot(x-1) + (-2x+1)\cdot(-2)\cdot(2x-1) } { x^3\cdot (x-1)^3 } \\\\ y' &=& \frac{ (-2x)\cdot(x-1) + (4x-2) \cdot(2x-1) } { x^3\cdot (x-1)^3 } \\\\ y' &=& \frac{ -2x^2+2x + 8x^2-4x-4x+2 } { x^3\cdot (x-1)^3 } \\\\ y' &=& \frac{6x^2-6x+2 } { x^3\cdot (x-1)^3 } \\\\ \hline \end{array}\)
