Aufgabenstellung: Beweise durch vollständige Induktion die folgende Formel für die Summe der ersten n Quadrate:
\(\sum_{\substack{ n\\ k=1 }} k*(k-1) = \frac{(n-1)*n*(n+1)}{3}\)
Laufindex k mit 1 und Endwert n, das konnte ich nicht so gut darstellen in LaTeX..
Ich hoffe es kann jemand helfen, ich schaff's nicht weiter als zur Induktionsbehauptung..
+3976 Hi!
Zu zeigen: \(\sum_{k=1}^n k(k-1) = {(n-1)n(n+1) \over 3} \ \forall n \in \mathbb{N}\)
Induktionsanfang: n=1
1*0 = 0*1*2\3 ok
Induktionsschritt n -> n+1
\(\sum_{k=0}^{n+1} k(k-1) = \\ \sum_{k=0}^{n} k(k-1) +(n+1)n = \\ {(n-1)n(n+1) \over 3}+n(n+1) = \\ { (n-1)n(n+1) +3n(n+1) \over 3} = \\ {(n-1+3)n(n+1) \over 3} = \\ {(n+2)n(n+1) \over 3} = \\ { ((n+1)-1)(n+1)((n+1)+1) \over 3}\)
In Zeile 2 ziehe ich den letzten Summanden aus der Summe, die Induktionsvoraussetzung brauche ich in Zeile 3.
Am Ende habe ich die gewünschte Formel, mit n+1 für n eingesetzt -> Induktionsschritt beendet.
Ich hoffe, das war nachvollziehbar.
+118677 Probolobo,
Your LaTex is not displaying for me.
Is it just me or are other people having this problems as well?
