Mit den Pfeilen muss man etwas präziser unterscheiden, evtl war meine Faulheit da schlecht. Ich stells mal in LaTeX dar:
Wir suchen ja so&so eine Abbildung \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\). Wenn wir angeben wollen, was die macht, passiert das meistens elementweise:
\(f : n \mapsto n^2\) bildet beispielsweise jede natürliche Zahl auf ihr Quadrat ab. Man beachte: Der Pfeil, der angibt, von welcher Menge in welche die Funktion abbildet, ist ein "einfacher" Pfeil, der Pfeil, der angibt, worauf ein einzelnes Element abgebildet wird, hat links noch nen kleinen Strich.
Ich hatte letzteren gemeint, also
\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \mapsto \{^{1 \ | n \ ungerade}_{2 \ | n \ gerade}\)
Die 2 ist aber ja das Problem, da wollen wir noch etwas ändern, sodass jede Zahl irgendwann getroffen wird.
Das könnte dann folgendermaßen laufen:
\(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} : n \mapsto \{^{1 \ | n \ ungerade}_{n/2 \ | n \ gerade}\)
So bilden wir alle ungeraden Zahlen sowieso auf 1 ab, haben also unendlich viele Urbilder für 1. Die geraden Zahlen werden der Reihe nach auf alle natürlichen Zahlen abgebildet. So treffen wir jede, surjektivität ist also erfüllt.
Vielleicht kannst du dir zur Übung eine ähnliche Funktion ausdenken, die surjektiv ist und bei der sowohl die 1 als auch die 2 unendlich viele Urbilder haben.
