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Guten Tag, 

ich bin gerade Mathe Ersti und stehe komplett auf den Schlauch, was die Induktion angeht. Kann mir jemand mit der folgenden Aufgabe weiterhelfen und sie erklären?

 

Seien, a, b ∈ Z. Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt

 

\({a}^{n+1} −{b}^{n+1} = (a − b) \sum {a}^{n-k} {b}^{k} \)

 

Beim Summenzeichen ist oben n und unten k=0

Hinweis: Verwenden Sie vollständige Induktion.

 

LG

 29.10.2022
 #1
avatar+3923 
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Klar, auf geht's!

 

Den Induktionsanfang würdest du bestimmt selbst hinbekommen: Wir setzen n=1 ein und prüfen, ob die Aussage dann sitmmt.

Links steht dann a2-b2, rechts (a-b)(a+b) - dass beide Seiten gleich sind, ist seit der 8. Klasse bekannt als 3. binomische Formel.

Als Induktionsvoraussetzung (IV) nehmen wir an, dass die Aussage für eine beliebige Zahl n gilt. Im Induktionsschritt folgern wir daraus, dass sie auch für n+1 gilt. Wir betrachten dafür beide Seiten des Gleichheitszeichens:

Links: \(a^{n+1+1}-n^{n+1+1} = a^{n+2}-b^{n+2}\)

Die rechte Seite sollte das gleiche Ergebnis liefern. Wir wollen auf dem Weg dahin auf jeden Fall irgendwo die IV benutzen. Das Ziel ist also, so umzuformen, dass die Summe nur bis n geht, nicht mehr bis n+1. Das ist häufig das Vorgehen bei Induktionsbeweisen. Schauen wir mal, wie wir das hinbekommen:

\((a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n+1}a^{n+1-k}b^k =^* \\ (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n}a^{n+1-k}b^k+(a-b)\cdot a^0b^{n+1}=^{**} \\ (a-b) \cdot a \cdot \sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k+(a-b)\cdot b^{n+1}= \\ a \cdot (a^{n+1}-b^{n+1}) + ab^{n+1} - b^{n+2} = \\ a^{n+2} -ab^{n+1}+ ab^{n+1} - b^{n+2} = \\ a^{n+2} - b^{n+2}\)

 

Bei * habe ich den letzten Summanden der Summe abgespalten. Dann steckt aber noch das n+1 im Exponenten. Bei ** habe ich daher ein a aus der Summe ausgeklammert. Danach hatte die Summe genau die Form aus der zu zeigenden Aussage, weswegen ich die Induktionsvoraussetzung benutzen konnte. Danac wird zusammengefasst und wir sehen: Die rechte Seite liefert das gleiche Ergebnis wie die linke. Damit ist der Beweis abgeschlossen.


Frag' gern nach wenn was unklar ist, Induktion ist schwer, aber wichtig! :)

 29.10.2022
 #3
avatar+7 
+2

Hi! Ich hab mir jetzt auch einen Account zugelegt und vielen Dank für deine Antwort :)

Deine Erklärungen haben mir echt geholfen Induktion besser zu verstehen und ich hoffe, dass ich die nächste Induktion allein schaffe :D

 

LG

jx.nex  31.10.2022
 #4
avatar+3923 
+1

Danke für dein Lob, freut mich sehr wenn ich helfen konnte! :) Wenn die nächste Induktion doch noch nicht klappt bist du natürlich gern eingeladen, die auch hier im Forum zu fragen.

Probolobo  01.11.2022
 #2
avatar+14082 
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Ich will's auch mal versuchen.

 

Zeige mit vollständiger Induktion

\(\color{blue}{a}^{n+1} −{b}^{n+1} = (a − b)\sum \limits_{k=0}^n{a}^{n-k}\ {b}^{k}\\ f\ddot ur\ alle\ n\in \mathbb N.\\ .\\ F\ddot ur\ n=0\ gilt:\ k=0\\ {a}^{0+1} −{b}^{0+1} = (a − b) (a^{0-0}b^0)\\ a-b=(a-b)\cdot 1 \)

Für n = 0 sind beide Seiten gleich. Die Aussage ist wahr.

\(F\ddot ur\ {\color{blue}n=1}\ gilt:\ k\in \{0;1\}\\ \color{blue}{a}^{n+1} −{b}^{n+1} = (a − b) \sum \limits_{k}^n{a}^{n-k}\ {b}^{k}\\ {a}^{1+1} −{b}^{1+1} = (a − b) (a^{1-0}b^0+a^{1-1}b^1)\\ {a}^2 −{b}^2 = (a − b) (a^{1}\cdot 1+1\cdot b^1)\\ {a}^2 −{b}^2 = (a − b) (a+b)\)

\(\)\(\)Für n = 1 sind beide Seiten gleich. Die Aussage ist wahr.

laugh  !

\(\)

 31.10.2022
bearbeitet von asinus  31.10.2022
bearbeitet von asinus  31.10.2022
bearbeitet von asinus  02.11.2022
 #5
avatar+3923 
+1

Du hast auf der rechten Seite ja eine Summe stehen, die Summanden sehen unterschiedlich aus, je nach Wert von k. Dabei durchläuft k alle Werte von 0 bis zu was halt oben steht, in dem Fall 1. Hier brauchst du für k also die Werte 0 und 1.

 

Damit ist die rechte Seite

 

(a-b)*(a1b0 + a0b1) = (a-b)(a+b) = a2-b2.

Probolobo  01.11.2022
 #6
avatar+14082 
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Danke! Jetzt sehe ich das schon klarer.

asinus  01.11.2022
bearbeitet von asinus  02.11.2022

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