Und zwar geht es um folgende Aufgabe, ich sende den Link hier rein dort stehen auch die Lösungen. Jedoch verstehe ich sie absolut nicht. Es geht um Aufgabe A (3)
4n^3 - n ist durch 3 teilbar.
IA: 4*1^3-1= 3, somit wahre Aussage, stimmt, es ist durch 3 teilbar.
bei induktionsschluss bzw. dem Beweis verstehe ich die Lösung nur bis zu einem gewissen Punkt.
4n^3+12n+11n+3
das macht Sinn (man hat ja dann zusammengefasst was man konnte)
Aber wie kommt man dann auf folgendes:
4n^3-n+12n^2+12n+3???
wenn ich doch gerade zusammengefasst habe kann ich doch nicht irgendwie diese Zahlen noch rausbekommen. Das ist mir echt ein Rätsel🤣
hoffe auf Hilfe! Vielen Dank :-)
Sorry! Link vergessen:
https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
Ebenfalls ein Problem: Aufgabe B (3)
ich verstehe nicht wie man sagt: 1^3+2^3+3^3+...+n3 = (1+2+...+n)^2 bzw. n^2 * (n+1) / 4
ich meine wie kommt man bei der Aufgaben Stellung auf diese Zusammenstellung des Bruchs? Kann man das irgendwie vorher berechnen? :)
https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
+3976 Erstmal ganz vielen Dank für das tolle PDF, das is ja großartig!
Wie man auf die zu zeigenden Formeln kommt ist leider deutlich schwerer als der Beweis, wenn man die Formel schon kennt. Bei der von dir angegebenen folgt die Gleichung mit dem Bruch als Ergebnis aus der zweiten Darstellung (1+2+...+n)^2 und B(1), aber normalerweise gibt's da kein allgemeines Vorgehen.
In dem Summen-Kontext könnte das so aussehen: Man berechnet die Summen mal für ein paar kleine n und schaut nach, ob man irgendwelche Regelmässigkeiten erkennt. Wenn man einen Vorschlag für die Formel hat könnte man die Summe für noch ein paar n berechnen und schauen, ob die Formel dazu noch passt. Ist man dann hinreichend überzeugt, dass die Formel korrekt ist, versucht man's mal mit dem Induktionsbeweis.
Polynominterpolation kann hier auch helfen: Ein paar Summenwerte berechnen und per Inerpolation ein Polynom finden, dass zu all diesen Werten passt. Dieses Polynom ist dann der "Formel-Vorschlag". Der Induktionsbeweis kommt danach trotzdem.
+3976 Erstmal zur eigentlichen Frage:
Du fasst zusammen bis zu 4n^3+12n^2+11n+3 - so weit, so gut. Irgendwo muss aber ja noch die Induktionsvoraussetzung rein, nämlich dass 4n^3-n durch 3 teilbar ist. Deswegen wird sozusagen eine Null eingeschoben: 4n^3+12n^2+11n+3 = 4n^3 -n+n +12n^2+11n+3 = 4n^3-n +12n^2+12n+3.
Dieses Vorgehen teilt den Term in zwei Summanden ( 4n^3-n +12n^2+12n+3), von denen bekannt ist, dass sie durch 3 teilbar sind: Der rote ist wegen der IV durch 3 teilbar, beim Grünen sind jeweils vielfache von 3 als Koeffizient dabei. Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Vielen Dank erstmal für diese ausführliche Antwort 😊
Diese Null wird dann sozusagen immer eingeschoben? Verstehe ich das richtig? 😕
+3976 Die Null wird eingeschoben, ja. "Immer" würde ich hier nicht pauschal sagen - hier macht's halt Sinn, gibt schon auch Induktionsbeweise, die ähnlich laufen, wo man's aber nicht machen muss. Das Ziel bei der Induktion sollte immer sein, die Induktionsvoraussetzung zu benutzen - und die beinhaltet hier halt den Term 4n^3-n. Weil der in unserem vollständig zusammengefassten Term aber nicht steht, erzeugen wir den künstlich, damit die IV benutzt werden kann.
