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Let ABCD be a convex quadrilateral,

and let P, Q, R, S, T, U, V, and W be the trisection points of the sides of ABCD, as shown. 

If the area of quadrilateral ABCD is 180, then find the area of hexagon AQRCUV.

Let AB = a
Let BC = b
Let CD = c
Let DA = d

Let \(\angle{ABC}\) = B
Let \(\angle{UDV}\) = D

\(\begin{array}{|rcll|} \hline Area_{\text{ABC}} &=& \frac{ab\sin(B)}{2} \\ Area_{\text{CDA}} &=& \frac{cd\sin(D)}{2} \\ Area_{\text{ABCD}} &=& Area_{\text{ABC}} + Area_{\text{CDA}} \\ &=& \frac{ab\sin(B)}{2} + \frac{cd\sin(D)}{2} \\ \hline \end{array} \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline Area_{\text{QBR}} &=& \frac{\frac{a}{3}\frac{b}{3}\sin(B)}{2} \\ Area_{\text{UDV}} &=& \frac{\frac{c}{3}\frac{d}{3}\sin(D)}{2} \\ Area_{\text{hexagon}} &=& Area_{\text{ABCD}} - Area_{\text{QBR}} - Area_{\text{UDV}} \\ Area_{\text{hexagon}} &=& Area_{\text{ABCD}} -\frac{\frac{a}{3}\frac{b}{3}\sin(B)}{2} - \frac{\frac{c}{3}\frac{d}{3}\sin(D)}{2} \\ Area_{\text{hexagon}} &=& \frac{ab\sin(B)}{2} + \frac{cd\sin(D)}{2} -\frac{\frac{a}{3}\frac{b}{3}\sin(B)}{2} - \frac{\frac{c}{3}\frac{d}{3}\sin(D)}{2} \\ Area_{\text{hexagon}} &=& \frac{ab\sin(B)}{2}\left(1-\frac19 \right) + \frac{cd\sin(D)}{2}\left(1-\frac19 \right) \\ Area_{\text{hexagon}} &=& \frac{ab\sin(B)}{2}\cdot \frac89 + \frac{cd\sin(D)}{2}\cdot \frac89 \\ Area_{\text{hexagon}} &=& \frac89 \cdot \left( \frac{ab\sin(B)}{2} + \frac{cd\sin(D)}{2} \right) \\ Area_{\text{hexagon}} &=& \frac89 \cdot Area_{\text{ABCD}} \\ Area_{\text{hexagon}} &=& \frac89 \cdot 180 \\ \mathbf{ Area_{\text{hexagon}} } & \mathbf{=} & \mathbf{160} \\ \hline \end{array}\)

The area of hexagon AQRCUV is 160

18!/4!(18-4)!=

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{18!}{4!(18-4)!} \\ &=& \binom{18}{4} \\ &=& \frac{18}{4}\cdot \frac{17}{3}\cdot \frac{16}{2}\cdot \frac{15}{1} \\ &=& \frac{18}{2}\cdot \frac{17}{1}\cdot \frac{16}{4}\cdot \frac{15}{3} \\ &=& 9\cdot 17\cdot 4\cdot 5 \\ &=& \mathbf{3060} \\ \hline \end{array} \)

if i have the numbers -6 5 4 2 and have to use bedmas and use all of the numbers once to get to -10 ?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline -10 &=& [5-6-4] \cdot 2 \\ -10 &=& \frac{-6-4}{2}-5 \\ \hline \end{array}\)

and a seperate question same instructions -22 how do i do it?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline -22 &=& (5-2)\cdot (-6)-4 \\ -22 &=& \frac{(-6-5)\cdot4}{2} \\ \hline \end{array}\)

In einer Parallelschaltung muss ich den Wiedderstand berechnen, es gibt
R₁ = 120 ohm
P₂ = 0,6W
R₃ = ?
U = 12V
I_ges = 170mA = 0,17A
 

Auf welchen Wert muss r3 eingestellt werden ?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline I_1 &=& \frac{U}{R_1} \\ I_2 &=& \frac{P_2}{U} \\ I_3 &=& \frac{U}{R_3} \\\\ I_{ges} &=& I_1+I_2+I_3 \\ I_{ges} &=& \frac{U}{R_1}+\frac{P_2}{U}+\frac{U}{R_3} \\ \frac{U}{R_3} &=& I_{ges}- \frac{U}{R_1}-\frac{P_2}{U} \\\\ \frac{R_3}{U} &=& \dfrac{1}{ I_{ges}- \frac{U}{R_1}-\frac{P_2}{U} } \\\\ R_3 &=& \dfrac{U}{ I_{ges}- \frac{U}{R_1}-\frac{P_2}{U} } \\\\ R_3 &=& \dfrac{12\ V}{ 0,17\ A- \frac{12\ V}{120\ \Omega}-\frac{0,6\ W}{12\ V} } \\\\ R_3 &=& \frac{12}{ 0,02 } \ \Omega\\ \mathbf{R_3} & \mathbf{=} & \mathbf{600 \ \Omega } \\ \hline \end{array}\)

Der Widerstand r₃ hat den Wert 600 Ohm.

Im Kanton Zürich fallen jährlich etwa 1100mm Niederschlag pro m² in Form von Regen oder Schnee.

a) Wie viele Liter Wasser ergibt dies für eine Fläche von einem m²?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{1100\ mm\cdot 1\ m^2 }{1\ m^2} \\\\ &=& \frac{1100\ mm\cdot \frac{1\ dm}{100\ mm} \cdot 1\ m^2 \cdot \frac{10\ dm}{1\ m}\cdot \frac{10\ dm}{1\ m} }{1\ m^2} \\\\ &=& \frac{\frac{1100}{100}\cdot 100 \ dm^3}{1\ m^2} \\\\ &=& \frac{ 1100 \ dm^3 \cdot \frac{1\ l}{1\ dm^3} }{1\ m^2} \\\\ &=& \frac{ 1100\ l} {1\ m^2} \\\\ &=& \mathbf{ 1100\ \frac{l}{m^2} } \\ \hline \end{array}\)

Es ergibt sich 1100 Liter Wasser für eine Fläche von einem m².

b) Die Fläche des Kantons Zürich beträgt 1729 km².
Berechne die Niederschlagsmenge für den ganzen Kanton und gib das Resultat in km³ an.

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \frac{ 1100\ l} {m^2} \\\\ &=& \frac{ 1100\ l} {m^2} \cdot \frac{1000\ m}{km} \cdot \frac{1000\ m}{km} \\\\ &=& 1100\cdot 1000 \cdot 1000 \ \frac{l} {km^2} \\ \hline \end{array} \)

Für den Kanton Zürich ergibt sich:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 1100\cdot 1000 \cdot 1000 \ \frac{l} {km^2} \cdot 1729\ km^2 \\ &=& 1100\cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 1729 \ l\cdot \frac{1\ dm^3}{1\ l} \\ &=& 1100\cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 1729 \ dm^3 \cdot (~\frac{1\ m}{10\ dm}\cdot \frac{1\ km}{1000\ m} ~)^3\\ &=& 1100\cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 1729 \ dm^3 \cdot (~\frac{1\ km}{10\cdot 1000\ dm} ~)^3\\ &=& 1100\cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 1729 \ dm^3 \cdot \frac{km^3}{10^3\cdot 1000^3\ dm^3} \\ &=& \frac{1100\cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 1729}{10^3\cdot 1000^3}\ km^3 \\ &=& \frac{1100\cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 1729}{1000\cdot 1000^3}\ km^3 \\ &=& \frac{1100\cdot 1729}{1000^2}\ km^3 \\ &=& \mathbf{1,9019\ km^3} \\ \hline \end{array}\)

Für den ganzen Kanton Zürich ergibt sich 1,9019 km³.

Hello Melody,

i am not certain,

if      \(z =-i\)

then  \(z^2 = (-i)\cdot(-i) = (-i)^2 = i^2 = -1\)

if      \( z^2 = -1 \)

then \(z = \sqrt{-1}= i\), but z can also be -i

                                 this  is not equivalent (<=>)

Hello Melody,

i am not certain,

if z =-i then z² = -1

if z² = -1 then z = \(\sqrt{-1}\) = i, but z can also be -i

Gegeben ist: a = 5 b = 15 c = ?
Ich weiß das man dazu den Satz des Pythagoras anwendet
aber ich verstehe nicht warum bei mir ein anderes Ergebnis raus kommt.
Offiziel ist es 15, 8
aber c ist doch 20 hoch 2 und das ergibt wenn man die Wurzel zieht nicht 15,8^^ sonder 20^^

\(\begin{array}{|rcll|} \hline a^2 + b^2 &=& c^2 \\ 5^2 + 15^2 &=& c^2 \\ 25 + 225 &=& c^2 \\ 250 &=& c^2 \\ \sqrt{250} &=& c \\ 15,8 &=& c \\ \hline \end{array}\)

two curves have equations y=x^2-4x+7 and y=6x-x^2-1.

Find the area between the two curves

\(\begin{array}{|rcll|} \hline f\left(x\right)=6x-x^2-1 \\ g\left(x\right)=x^2-4x+7 \\ \hline \end{array}\)

intersections:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline g\left(x\right) &=& f\left(x\right) \\ x^2-4x+7 &=& 6x-x^2-1 \\ \dots \\ 2x^2-10x+8 &=& 0 \quad & | \quad : 2 \\ x^2-5x+4 &=& 0 \\ (x-1)(x-4) &=& 0 \\ x_1 = 1 &\text{and}& x_2 = 4\\ \hline \end{array}\)

area between the two curves:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \int \limits_{1}^{4}(~ f(x) - g(x) ~)\ dx \\ &=& \int \limits_{1}^{4}(~ 6x-x^2-1 - ( x^2-4x+7 ) ~)\ dx \\ &=& \int \limits_{1}^{4}(~ 6x-x^2-1 - x^2+4x-7 ~)\ dx \\ && \dots \\ &=& \int \limits_{1}^{4}(~ 10x-2x^2-8 ~)\ dx \\ &=& [~ 10\frac{x^2}{2}-2\frac{x^3}{3}-8x ~]_1^4 \\ &=& [~ 5x^2 -\frac{2}{3}x^3-8x ~]_1^4 \\ &=& [~ 5\cdot (4)^2 -\frac{2}{3}(4)^3-8\cdot 4 ~]-[~ 5(1)^2 -\frac{2}{3}(1)^3-8\cdot 1 ~] \\ &=& 5\cdot 16 -\frac{2}{3}\cdot 64-32 -5 +\frac{2}{3}+8 \\ &=& 51 -\frac{2}{3}\cdot 64 +\frac{2}{3} \\ &=& 51-\frac{2}{3}(64 - 1) \\ &=& 51-\frac{2}{3}(63) \\ &=& 51-2\cdot 21\\ &=& 9 \\ \hline \end{array} \)

The area between the two curves is 9

Hello Melody,

you set -1 to \(i^2\) but i think this is not allowed, if (-1) is a complex number.

only (-1) real is i^2 and (-1) complex is \(e^{i\pi}\).

This way is okay \(i^2 \rightarrow -1\)
This way is not allowed \(-1 \rightarrow i^2\)