heureka

Hugo rennt beim Marathon mit dem Startschuss los und läuft konstant 5:30 Min./km.
Daniela überquert die Startlinie erst nach 4:34 Minuten.
Nach dem ersten Kilometer in 6:23 Minuten läuft sie gleichmäßig 5:20 Min./km.
Wird sie Hugo überholen? Wenn ja, wo?

Korrektur?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline v_{\text{Hugo}} &=& \frac{1}{5+\frac{30}{60}} \frac{km}{Min.} \\ &=& \frac{1}{5.5} \frac{km}{Min.} \\ &=& 0,\overline{18} \frac{km}{Min.} \\\\ v_{\text{Daniela}} &=& \frac{1}{5+\frac{20}{60}} \frac{km}{Min.} \\ &=& \frac{1}{5.\bar{3}} \frac{km}{Min.} \\ &=& 0,1875 \frac{km}{Min.} \\ \hline \end{array}\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline s_{\text{Hugo}}(t) &=& v_{\text{Hugo}}\cdot t + v_{\text{Hugo}}\cdot (4+\frac{34}{60} ) \\ s_{\text{Daniela}}(t) &=& v_{\text{Daniela}}\cdot[t-(6+\frac{23}{60})] +1\ km \\ \hline \end{array} \)

Hugo und Daniela sind auf gleicher Höhe wenn: \(s_{\text{Hugo}}(t)=s_{\text{Daniela}}(t)\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline v_{\text{Hugo}}\cdot t_{\text{auf gleicher Höhe}} + v_{\text{Hugo}}\cdot (4+\frac{34}{60} ) &=& v_{\text{Daniela}}\cdot[t_{\text{auf gleicher Höhe}}-(6+\frac{23}{60})] +1 \\ \cdots \\ t_{\text{auf gleicher Höhe}} &=& \frac{v_{ \text{Daniela}}\cdot(6+\frac{23}{60})+v_{\text{Hugo}}\cdot (4+\frac{34}{60}) - 1 } {v_{\text{Daniela}}-v_{\text{Hugo}}} \\ &=& \frac{ 0, 1875\cdot 6,38\bar{3}+ 0, \overline{18}\cdot 4,5\bar{6} - 1 } { 0, 1875 - 0, \overline{18} } \\ &=& 180,78\bar{3} \ Min. \\ &=& 180:47 \ Min. \\\\ s_{\text{auf gleicher Höhe}} &=& v_{\text{Hugo}}\cdot t_{\text{auf gleicher Höhe}} + v_{\text{Hugo}}\cdot (4+\frac{34}{60} ) \\ &=& 0,\overline{18}\cdot 180,78\bar{3} + 0,\overline{18}\cdot 4,5\bar{6} \\ &=& 33,7\ km \\\\ s_{\text{auf gleicher Höhe}} &=& v_{\text{Daniela}}\cdot[t_{\text{auf gleicher Höhe}}-(6+\frac{23}{60})] +1 \\ &=& 0,1875\cdot[180,78\bar{3}-6,38\bar{3}] +1 \\ &=& 33,7\ km \\ \hline \end{array} \)

Daniela wird Hugo nach \(33,7\ km\) überholen.

ich habe ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 1 und b = 3.

Das ergibt einen Flächeninhalt von 3.

Ich möchte nun den Flächeninhalt um den Faktor x = 2 vergrößern und die neuen Seitenlängen bestimmen.

Seitenlängen Rechteck: \( a=1, \ b=3.\)  Fläche \( A = a * b\)

Neues Rechteck:  a' = ?, b' = ?  Fläche \(= a' * b'\)

x = Vergößerungsfaktor.

1. Formel - Vergleich der Flächen:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline & A &=& a*b\\ & x*A = x*a*b &=& a'*b' \\ & x*a*b &=& a'*b' \\ (1) & \mathbf{x*\dfrac{a}{a'}} & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{b'}{b}} \\ \hline \end{array} \)

2. Formel Strahlensatz:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline & \dfrac{ \frac{a}{2} } { \frac{b}{2} } &=& \dfrac{ \frac{a'}{2} } { \frac{b'}{2} } \\ & \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{a'}{b'} \\ (2) & \mathbf{\dfrac{a}{a'} } & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{b}{b'} } \\ \hline \end{array} \)

Formel 2 in Formel 1 einsetzen und b' berechnen:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline & x*\dfrac{a}{a'} & = & \dfrac{b'}{b} \quad & | \quad \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} \\ & x*\dfrac{b}{b'} & = & \dfrac{b'}{b} \\ & x*b^2 & = & b'^2\\ (3) & \mathbf{b'} &\mathbf{=}& \mathbf{b *\sqrt{x}} \\ (4) & \dfrac{b'}{b} & =& \sqrt{x} \\ \hline \end{array}\)

Formel 4 in Formel 1 einsetzen und a' berechnen:

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline & x*\dfrac{a}{a'} & = & \dfrac{b'}{b} \quad & | \quad \dfrac{b'}{b} & =& \sqrt{x} \\ & x*\dfrac{a}{a'} & = & \sqrt{x} \\ & a' &=& \dfrac{x*a}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ & a' &=& \dfrac{x*a*\sqrt{x}}{x} \\ (5) & \mathbf{a'} &\mathbf{=}& \mathbf{a *\sqrt{x}} \\ \hline \end{array} \)

Wir rechnen nun a' und b' aus:

\(\begin{array}{|rcll|} \hline a' &=& a *\sqrt{x} \quad & | \quad a = 1 \quad x = 2 \\ a' &=& 1 *\sqrt{2} \\ \mathbf{a'} &\mathbf{=}& \mathbf{1.41421356237} \\\\ b' &=& b *\sqrt{x} \quad & | \quad b = 3 \quad x = 2 \\ b' &=& 3 *\sqrt{2} \\ \mathbf{b'} &\mathbf{=}& \mathbf{4.24264068712} \\ \hline \end{array} \)

Hugo rennt beim Marathon mit dem Startschuss los und läuft konstant 5:30 Min./km.
Daniela überquert die Startlinie erst nach 4:34 Minuten.
Nach dem ersten Kilometer in 6:23 Minuten läuft sie gleichmäßig 5:20 Min./km.
Wird sie Hugo überholen? Wenn ja, wo?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline v_{\text{Hugo}} &=& \frac{1}{5+\frac{30}{60}} \frac{km}{Min.} \\ &=& \frac{1}{5.5} \frac{km}{Min.} \\ &=& 0,\overline{18} \frac{km}{Min.} \\\\ v_{\text{Daniela}} &=& \frac{1}{5+\frac{20}{60}} \frac{km}{Min.} \\ &=& \frac{1}{5.\bar{3}} \frac{km}{Min.} \\ &=& 0,1875 \frac{km}{Min.} \\ \hline \end{array} \)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline s_{\text{Hugo}}(t) &=& v_{\text{Hugo}}\cdot t \\ &=& \left(\frac{1}{5.5}\right)\cdot t \\ &=& 0,\overline{18 }\cdot t \\\\ s_{\text{Daniela}}(t) &=& v_{\text{Daniela}}\cdot[t-(6+\frac{23}{60})] + \left[ -v_{\text{Hugo}}\cdot \left(4+\frac{34}{60}\right) +1\ km \right] \\ \hline \end{array} \)

Hugo und Daniela sind auf gleicher Höhe wenn: \(s_{\text{Hugo}}(t)=s_{\text{Daniela}}(t)\)

\(\begin{array}{|rcll|} \hline s_{\text{Hugo}}(t)&=& v_{\text{Daniela}}\cdot[t-(6+\frac{23}{60})] + \left[ -v_{\text{Hugo}}\cdot \left(4+\frac{34}{60}\right) +1\ km \right] \\ \cdots \\ t_{\text{auf gleicher Höhe}} &=& \frac{v_{ \text{Daniela}}\cdot(6+\frac{23}{60})+v_{\text{Hugo}}\cdot (4+\frac{34}{60}) - 1 } {v_{\text{Daniela}}-v_{\text{Hugo}}} \\ &=& \frac{ 0, 1875\cdot 6,38\bar{3}+ 0, \overline{18}\cdot 4,5\bar{6} - 1 } { 0, 1875 - 0, \overline{18} } \\ &=& 180,78\bar{3} \ Min. \\ &=& 180:47 \ Min. \\\\ s_{\text{auf gleicher Höhe}} &=& v_{\text{Hugo}}\cdot t_{\text{auf gleicher Höhe}} \\ &=& 0,\overline{18}\cdot 180,78\bar{3} \\ &=& 32,8\overline{69}\ km \\ \hline \end{array} \)

Daniela wird Hugo nach \(32,8\overline{69}\) km überholen.

900000000+200373734573416547676243856+617649741-63946523582435674365765756*2=

72480687408545200462362085

What is the remainder of: 13^1031 mod 599 =? Thanks for help.

Fermat's little theorem states that if p is a prime number, then for any integer a,

\({\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}\)

If a is not divisible by p, Fermat's little theorem is equivalent

\( {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}\)

What is the remainder of: 13^1031 mod 599 =?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && 13^{1031} \pmod{599} \\ &\equiv & 13^{2\cdot 515+1} \pmod{599} \\ &\equiv & (13^{2})^{515}\cdot 13 \pmod{599} \quad & | \quad 13^2 \pmod{599} = 169 \\ &\equiv & 169^{515}\cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & 169^{2\cdot 257+1}\cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & (169^{2})^{257}\cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \quad & | \quad 169^2 \pmod{599} = 408 \\ &\equiv & 408^{257}\cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & 408^{2\cdot 128+1}\cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & (408^{2})^{128}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \quad & | \quad 408^2 \pmod{599} = 541 \\ &\equiv & 541^{128}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & (541^{2})^{64}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \quad & | \quad 541^2 \pmod{599} = 369 \\ &\equiv & 369^{64}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & (369^{2})^{32}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \quad & | \quad 369^2 \pmod{599} = 188 \\ &\equiv & 188^{32}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & (188^{2})^{16}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \quad & | \quad 188^2 \pmod{599} = 3 \\ &\equiv & 3^{16}\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \quad & | \quad 3^{16} = 43046721 \pmod{599} = 185 \\ &\equiv & 185\cdot 408 \cdot 169 \cdot 13 \pmod{599} \\ &\equiv & 165829560 \pmod{599} \\ &\equiv & 4 \pmod{599} \\ &\equiv &\mathbf{ 4 }\\ \hline \end{array}\)

if 32^3x=1/8, what is x

\(\begin{array}{|rcll|} \hline 32^{3x} &=& \frac18 \\ (2^5)^{3x} &=& 2^{-3} \\ 2^{15x} &=& 2^{-3} \\ 15x &=& -3 \\ x &=& -\frac{3}{15} \\ x &=& -\frac{1}{5} \\ \mathbf{x} &\mathbf{=}& \mathbf{-0.2} \\ \hline \end{array}\)

Random math IV

1.

\(\begin{array}{|rcll|} \hline \cos(\frac{19}{12}\pi) &=& \cos(285^{\circ}) \\ &=& \cos(285^{\circ}-360^{\circ}) \\ &=& \cos(-75^{\circ}) \\ &=& \cos(15^{\circ}-90^{\circ}) \\ &=& \cos(-(90^{\circ}-15^{\circ})) \\ &=& \cos( 90^{\circ}-15^{\circ} ) \\ &=& \mathbf{\sin( 15^{\circ} )} \\\\ \mathbf{\cos(\frac{19}{12}\pi) } &\mathbf{=}& \mathbf{\sin( 15^{\circ} )}\\ \hline \end{array} \)

2.

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline (1) & \cos(45^{\circ}-15^{\circ})= \cos(30^{\circ}) &=& \cos(45^{\circ})\cdot\cos(15^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cdot \sin(15^{\circ})\\ (2) & \cos(45^{\circ}+15^{\circ})= \cos(60^{\circ}) &=& \cos(45^{\circ})\cdot\cos(15^{\circ})-\sin(45^{\circ})\cdot \sin(15^{\circ})\\ \\ \hline (1)-(2): & \cos(30^{\circ})-\cos(60^{\circ}) &=& 2\cdot\sin(45^{\circ})\cdot \sin(15^{\circ})\\\\ & \cos(30^{\circ}) &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & \cos(60^{\circ}) &=& \frac{1}{2} \\ & \sin(45^{\circ}) &=& \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ & \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} &=& 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin(15^{\circ})\\ & \frac{\sqrt{3}-1}{2} &=& \sqrt{2}\cdot \sin(15^{\circ})\\ & \frac{\sqrt{3}-1}{2\cdot \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &=& \sin(15^{\circ})\\ & \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4} &=& \sin(15^{\circ})\\ & \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} &=& \sin(15^{\circ})\\\\ & \mathbf{\cos(\frac{19}{12}\pi) = \sin( 15^{\circ} ) }&\mathbf{=}& \mathbf{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} \\ \hline \end{array} \)

What is the length of side AB in the following triangle rounded to the nearest tenth?

\(\begin{array}{|rcll|} \hline AB &=& \sqrt{5^2+6^2} \\ &=& \sqrt{25+36} \\ &=& \sqrt{61} \\ &=& 7.81024967591 \\ &\approx& 7.81 \\ \hline \end{array}\)

How do you find the equation of an exponential function from a graph?