heureka

circle is centered at (-5,3) and has radius of 5. A particle starts at point (-5,8) and travels clockwise on the circle, making one complete revolution every 13 seconds. {nl} Write the parametric equations for the motion of the particle, where tt represents time in seconds:

x(t)=

y(t)=

$\begin{array}{|rcll|} \hline \dbinom{x(t)}{y(t)} &=& \dbinom{-5}{3} + 5 \cdot \dbinom{ \cos(-\omega t + 90^{\circ}) } { \sin(-\omega t + 90^{\circ}) } \\\\ \dbinom{x(t)}{y(t)} &=& \dbinom{-5}{3} + 5 \cdot \dbinom{ \cos( 90^{\circ}-\omega t ) } { \sin( 90^{\circ}-\omega t ) } \quad | \quad \small{\cos(90^{\circ}-\varphi)=\sin(\varphi) \quad \sin(90^{\circ}-\varphi)=\cos(\varphi)} \\\\ \dbinom{x(t)}{y(t)} &=& \dbinom{-5}{3} + 5 \cdot \dbinom{ \sin( \omega t ) } { \cos( \omega t ) } \qquad | \qquad \omega=\dfrac{2\pi}{13\ s} \\\\ x(t) &=& -5 + 5\cdot \sin(\frac{2\pi}{13\ s} \cdot t) \\ y(t) &=& 3+5\cdot \cos( \frac{2\pi}{13\ s} \cdot t ) \\ \hline \end{array}$

Proof:

$\begin{array}{|lrcrl|} \hline \text{if } t = 0\quad \Rightarrow & x(t) &=& -5\\ & y(t) &=& 8 \\ \hline \end{array}$

A truck with 42-in.-diameter wheels is traveling at 60 mi/h.

1. Find the angular speed of the wheels in rad/min:

Given: Linear speed V = $60 \ \frac{mi}{h}$, 

Radius of Circular path $r = \frac{42}{2}\ in.$

The Angular Speed  $\color{red}\mathbf{\omega = \frac{V}{r}}$
$\begin{array}{rcll} &=& \dfrac{ 60\ \frac{mi}{h} } {\frac{42}{2}\ in.} \\\\ &=& \dfrac{ 60\ \frac{mi}{h} } {21\ in.} \\\\ &=& \dfrac{ 60\ \frac{mi}{h}\cdot \frac{1\ h}{60\ min.}\cdot \frac{5280\cdot 12\ in. }{1\ mi.} } {21\ in.} \\\\ &=& \dfrac{ \frac{5280\cdot 12\ in. }{min.} } {21\ in.} \\\\ &=& \dfrac{5280\cdot 12 }{21}\cdot \frac{rad}{min.} \\\\ &=& 3017.14285714\ \frac{rad}{min.} \end{array}$

2. How many revolutions per minute do the wheels make?

T = revolution around in time

Angular Speed is given by $\color{red}\mathbf{\omega = \frac{2\pi}{T}}$.

$\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{T}&=& \dfrac{\omega} {2\pi} \\\\ &=& \dfrac{3017.14285714\ \frac{rad}{min.} } {2\pi\ rad} \\\\ &=& \dfrac{ 3017.14285714 } {2\pi} \frac{revolutions}{min.} \\\\ &=& 480.193199729\ \frac{revolutions}{min.} \end{array}$

A refirgerator pulls heat from the inside compartment at the rate of of 10kJ. It dumps 14 KJ into the air in the kitchen each cycle. What is the coefficient of the performance?

2^(3x-2)-2^(3x-3)-2^(3x-4)-4=0 

$\begin{array}{|rcll|} \hline 2^{3x-2}-2^{3x-3}-2^{3x-4}-4 &=&0 \\\\ 2^{3x-2}-2^{3x-2-1}-2^{3x-2-2}-4 &=&0 \\ 2^{3x-2}\cdot (1 -2^{-1}-2^{-2} ) -4 &=&0 \\ 2^{3x-2}\cdot (1 -\frac12-\frac14 ) -4 &=&0 \\ 2^{3x-2}\cdot (\frac14 ) -4 &=&0 \qquad &|\qquad +4\\ 2^{3x-2}\cdot (\frac14 ) &=& 4 \qquad &|\qquad \cdot 4\\ 2^{3x-2} &=& 4\cdot 4\qquad &|\qquad 4\cdot 4 = 16 = 2^4\\ 2^{3x-2} &=& 2^4\\ 3x-2 &=& 4 \qquad &|\qquad +2 \\ 3x &=& 4+2 \\ 3x &=& 6 \qquad &|\qquad :3 \\ x &=& \frac63 \\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{2} \\ \hline \end{array}$

Betrachtet wird die Wachstumsfunktion x → N = N0 ·a^x mit x ∈ IR. Fur x = 3,0 ist N = 14929,92. Fur x = 2,5 ist N = 12441,60. (a) Berechnen Sie N0 und den Wachstumsfaktor a!

Ich weiss wie man sich a ausrechnet wenn man N0 hat, aber wie rechnet man sich N0 aus? Danke im Vorhinein

$\begin{array}{|rcl|} \hline N &=& N_0 \cdot a^x \\ \hline \end{array}$

Wir haben für $x_1 = 3,0$ ein $N_1 = 14929,92$

und wir haben für $x_2 = 2,5$ ein $N_2 = 12441,60$

Wir setzen nun diese Werte in die obere Formel ein und erhalten:

$\begin{array}{|lrcl|} \hline (1): & N_1 &=& N_0 \cdot a^{x_1} \\ (2): & N_2 &=& N_0 \cdot a^{x_2 }\\ \hline \end{array}$

1. Berechnung von a

Wir teilen beide Gleichungen (1) und (2) und $N_0$ kürzt sich raus!

$\begin{array}{|rcll|} \hline \frac{ N_1 } {N_2} &=& \frac{ {\color{red}\not}{N_0} \cdot a^{x_1} } { {\color{red}\not}{N_0} \cdot a^{x_2}} \\\\ \dfrac{ N_1 } {N_2} &=& \dfrac{ a^{x_1} } { a^{x_2}} \\\\ \dfrac{ N_1 } {N_2} &=& a^{x_1} \cdot a^{-x_2} \\\\ \dfrac{ N_1 } {N_2} &=& a^{x_1-x_2} \qquad & | \qquad \log() \text{ auf beiden Seiten}\\\\ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } &=& \log{ \left(a^{x_1-x_2} \right) } \\\\ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } &=& (x_1-x_2) \cdot \log{ (a) } \\\\ \log{a} &=& \dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } } { x_1-x_2 } \qquad & | \qquad 10^{()} \text{ auf beiden Seiten}\\\\ 10^{\log{a}} &=& 10^{\dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } } { x_1-x_2 } } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } } { x_1-x_2 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ 14929,92 } {12441,60} \right) } } { 3,0-2,5 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ \log{ ( 1,2 ) } } { 0,5 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ 0,07918124605 } { 0,5 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{0,15836249210} \\\\ \mathbf{a} &\mathbf{=}& \mathbf{1,44} \\ \hline \end{array}$

2. Berechnung von $N_0$

$\begin{array}{|rcll|} \hline N_1 &=& N_0 \cdot a^{x_1} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ N_1 } {a^{x_1}} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 14929,92 } {1,44^{3,0}} \qquad & | \qquad a = 1,44 \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 14929,92 } {2,985984} \\\\ \mathbf{N_0} &\mathbf{=}& \mathbf{5000 } \\ \hline \end{array}$

Probe:

$\begin{array}{|rcll|} \hline N_2 &=& N_0 \cdot a^{x_2} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ N_2 } {a^{x_2}} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 12441,60 } {1,44^{2,5}} \qquad & | \qquad a = 1,44 \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 12441,60 } {2,48832} \\\\ \mathbf{N_0} &\mathbf{=}& \mathbf{5000 } \\ \hline \end{array}$

Berechne die Variable!

6:y:8=15:5:(z+3)

$\begin{array}{|rcrcrcrcrcr|} \hline 6 & : & y & : & 8 & \qquad = \qquad & 15 & : & 5 & : & (z+3) \\ \downarrow & & \uparrow & & & & \downarrow & & \uparrow & & \\ 6& \cdot {\color{red} \left( \frac{y}{6}\right) }& = y & & & & 15& \cdot {\color{red} \left( \frac{y}{6}\right) }& = 5 \\ \\ & & & & & & & 15\cdot \frac{y}{6} = 5 \\ & & & & & & & y = \frac{5\cdot 6}{15} \\ & & & & & & & y = \frac{30}{15} \\ & & & & & & & y = 2 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rcrcrcrcrcr|} \hline 6 & : & y & : & 8 & \qquad = \qquad & 15 & : & 5 & : & (z+3) \\ \downarrow & & & & \uparrow & & \downarrow & & & & \uparrow \\ 6& & \cdot {\color{red} \left( \frac{8}{6}\right) } & & = 8 & & 15& & \cdot {\color{red} \left( \frac{8}{6}\right) } & & = z+3 \\ \\ & & & & & & & & 15\cdot \frac{8}{6} = z+3 \\ & & & & & & & & z = \frac{15\cdot 8}{6}-3 \\ & & & & & & & & z = 20 - 3 \\ & & & & & & & & z = 17 \\ \hline \end{array}$

Hi Melody,

i click on this button right below:

or i click on this button right above but there is a time limit:

My browser is firefox.

I hope i could help you. :-)

test

Hallo an alle,

folgendes Aufgabe habe ich zu bewältigen und weiß da einfach nicht mehr weiter...
Jemand zahlt immer 200,00€  am 01. und am 15. des Monats in ein Konto ein.

Für dieses Konto bekommt er im Quartal 1,25% Zinsen.
Die Frage:

Wie hoch ist mein Kapital nach 10 Jahren?

1. q aus p berechnen:

$\begin{array}{rcll} p &=& 1,25\ \% \\ q &=& 1+ p\\ q &=& 1+\frac{1,25}{100}\\ q &=& 1+0.0125\\ \mathbf{q} &\mathbf{=}& \mathbf{1.0125} \end{array}$

Kapital am Ende des I. Quartals(nach 3 Monaten):

$\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& 1200€ \cdot 1,0125 \\ &=& 1215€ \\ \mathbf{\text{Kapital}_1} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot q}\\ \hline \end{array}$

Kapital am Ende des II. Quartals(nach 6 Monaten):

$\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& (1200€ \cdot 1,0125 + 1200€) \cdot 1,0125 \\ &=& 2445,19€ \\ &=& (1200€ \cdot q +1200€)\cdot q \\ &=& 1200€ \cdot q^2 +1200€ \cdot q \\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_2} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2 )} \\ \hline \end{array}$

Kapital am Ende des III. Quartals(nach 9 Monaten):

$\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 3690,75,19€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_3} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )} \\ \hline \end{array}$

Kapital am Ende des IV. Quartals(nach 12 Monaten):

$\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2+ 1,0125^3 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 4951,87€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3+q^4 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_4} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )} \\ \hline \end{array}$

Wir sehen nun eine Gesetzmäßigkeit.
Kapital am Ende des 40. Quartals(nach 120 Monaten bzw. nach 10 Jahren):

$\begin{array}{lcll} \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ \end{array}$

Sie Summe nach der 1200 ist die Summe einer geometrischen Reihe.
Wir bestimmen jetzt die Summe dieser geometrischen Reihe:

$\begin{array}{|lcrclcl|} \hline S &=& q &+& q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + \dots + q^{39} &+& q^{40} \\ q\cdot S &=& & & q^2 + q^3 + q^4 + q^5 +q^6+ \dots &+& q^{40} + q^{41} \\ \hline S-q\cdot S &=&q && && - q^{41}\\ S(1-q) &=&q - q^{41}\\ S &=& \frac{q - q^{41}} {1-q}\\ \mathbf{S} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{q^{41}-q } {q-1} }\\ \hline \end{array}$

Wir berechnen jetzt das Kapital nach 10 Jahren:

$\begin{array}{|lcll|} \hline \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \\\\ \text{Kapital}_{40} & = & 1200€ \cdot\left(~ \frac{q^{41}-q } {q-1} ~\right) \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 1,0125-1} ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,66416470678- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 0,65166470678 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot 52,1331765424 \\ \mathbf{\text{Kapital nach 10 Jahren}} & \mathbf{=} & \mathbf{62559,81€} \\ \hline \end{array}$

If x,yand z are positive intergers and 3x = 4y = 7z then the least possible value of x+y+z is
A) 33
B) 40
C) 49
D) 61
E) 84

$\begin{array}{|rclcl|} \hline ax &=& by &=& cz\\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{rclcl} ax &=& by && & \qquad \Rightarrow & y=\frac{a}{b}x\\ &&by &=& cz && \\ ax & & &=& cz &\qquad \Rightarrow & z=\frac{a}{c}x \end{array}$

$\begin{array}{|rclcl|} \hline \not{x} +y+z &=& \not{x} + \frac{a}{b}x + \frac{a}{c}x \\ y+z &=& \frac{a}{b}x + \frac{a}{c}x \\ y+z &=& x \cdot \left( \frac{a}{b}+ \frac{a}{c} \right) \\ y+z &=& x \cdot \left( \frac{ac+ab}{bc} \right) \\ y+z &=& x \cdot \frac{(ac+ab)}{bc} \qquad & | \qquad x_{\text{the least possible value}}=bc\\ y+z &=& bc \cdot \frac{(ac+ab)}{bc} \\ y+z &=& \frac{bc}{bc}\cdot (ac+ab) \\ y+z &=& ac+ab \\ y+z &=& \underbrace{ac}_{=y}+\underbrace{ab}_{=z} \\\\ x &=& bc \\ y &=& ac \\ z &=& ab \\ x+y+z &=& bc+ac+ab \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|rclcl|} \hline 3x=4y=7y && \qquad | \qquad a=3 \qquad b = 4 \qquad c = 7 \\ x+y+z &=& bc+ac+ab \\ x+y+z &=& 4\cdot 7 + 3\cdot 7 + 3\cdot 4 \\ x+y+z &=& 28 + 21 + 12 \\ x+y+z &=& \underbrace{28}_{=x} + \underbrace{21}_{=y} + \underbrace{12}_{=z} \\ x+y+z &=& 61 \\ \hline \end{array}$