Wachstumsfunktion

Betrachtet wird die Wachstumsfunktion x → N = N0 ·a^x mit x ∈ IR. Fur x = 3,0 ist N = 14929,92. Fur x = 2,5 ist N = 12441,60. (a) Berechnen Sie N0 und den Wachstumsfaktor a!

Ich weiss wie man sich a ausrechnet wenn man N0 hat, aber wie rechnet man sich N0 aus? Danke im Vorhinein

$\begin{array}{|rcl|} \hline N &=& N_0 \cdot a^x \\ \hline \end{array}$

Wir haben für $x_1 = 3,0$ ein $N_1 = 14929,92$

und wir haben für $x_2 = 2,5$ ein $N_2 = 12441,60$

Wir setzen nun diese Werte in die obere Formel ein und erhalten:

$\begin{array}{|lrcl|} \hline (1): & N_1 &=& N_0 \cdot a^{x_1} \\ (2): & N_2 &=& N_0 \cdot a^{x_2 }\\ \hline \end{array}$

1. Berechnung von a

Wir teilen beide Gleichungen (1) und (2) und $N_0$ kürzt sich raus!

$\begin{array}{|rcll|} \hline \frac{ N_1 } {N_2} &=& \frac{ {\color{red}\not}{N_0} \cdot a^{x_1} } { {\color{red}\not}{N_0} \cdot a^{x_2}} \\\\ \dfrac{ N_1 } {N_2} &=& \dfrac{ a^{x_1} } { a^{x_2}} \\\\ \dfrac{ N_1 } {N_2} &=& a^{x_1} \cdot a^{-x_2} \\\\ \dfrac{ N_1 } {N_2} &=& a^{x_1-x_2} \qquad & | \qquad \log() \text{ auf beiden Seiten}\\\\ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } &=& \log{ \left(a^{x_1-x_2} \right) } \\\\ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } &=& (x_1-x_2) \cdot \log{ (a) } \\\\ \log{a} &=& \dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } } { x_1-x_2 } \qquad & | \qquad 10^{()} \text{ auf beiden Seiten}\\\\ 10^{\log{a}} &=& 10^{\dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } } { x_1-x_2 } } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ N_1 } {N_2} \right) } } { x_1-x_2 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ \log{ \left( \dfrac{ 14929,92 } {12441,60} \right) } } { 3,0-2,5 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ \log{ ( 1,2 ) } } { 0,5 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{ \left(~ \dfrac{ 0,07918124605 } { 0,5 } ~ \right) } \\\\ a &=& 10^{0,15836249210} \\\\ \mathbf{a} &\mathbf{=}& \mathbf{1,44} \\ \hline \end{array}$

2. Berechnung von $N_0$

$\begin{array}{|rcll|} \hline N_1 &=& N_0 \cdot a^{x_1} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ N_1 } {a^{x_1}} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 14929,92 } {1,44^{3,0}} \qquad & | \qquad a = 1,44 \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 14929,92 } {2,985984} \\\\ \mathbf{N_0} &\mathbf{=}& \mathbf{5000 } \\ \hline \end{array}$

Probe:

$\begin{array}{|rcll|} \hline N_2 &=& N_0 \cdot a^{x_2} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ N_2 } {a^{x_2}} \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 12441,60 } {1,44^{2,5}} \qquad & | \qquad a = 1,44 \\\\ N_0 &=& \dfrac{ 12441,60 } {2,48832} \\\\ \mathbf{N_0} &\mathbf{=}& \mathbf{5000 } \\ \hline \end{array}$