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avatar+9 

Hallo an alle,

folgendes Aufgabe habe ich zu bewältigen und weiß da einfach nicht mehr weiter...
Jemand zahlt immer 200,00€  am 01. und am 15. des Monats in ein Konto ein.

Für dieses Konto bekommt er im Quartal 1,25% Zinsen.
Die Frage:

Wie hoch ist mein Kapital nach 10 Jahren?

 

Ich komme da leider nicht weiter und hoffe Ihr könnt mir da mit einem Lösungsweg helfen...

 

Vielen Dank im Voraus.

Luver

 01.06.2016
 #1
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Grüß dich Luver

Im ersten Quatal hat er 1620€ auf den Konto (weil 200€*2*4 und dann die 1,25 %) 

Die 1620€ +1600€ = 3220€  + 1,25% = 3260,25€

dann rechnest du die 3260,25€ + 1600€ dann die zinsen drauf und das machst du insgesamt 40 mal (die 10 Jahre)

dann hast du deine lösung ist im prinzip nur schreibarbeit wenn der lösungsweg offentsichtlich sein soll ich hoffe es ist alles richtig und ich konnte dir weiterhelfen!

Gruß Heiko

 01.06.2016
 #4
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Grüß dich radix

war abgehsehn davon das ich aus irgend ein grund dachte das ein Quatal 4 Monate hatt mein rechnugsweg richtig?

Gruß Heiko

Heiko  02.06.2016
 #6
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Guten Abend  Heiko  !

 

Dein Rechnungsweg  ist richtig !

Ich habe noch eine interessante  Berechnungsmöglichkeit gefunden!

 

Beispiel:      Du möchtest wissen, wieviel Guthaben du nach dem 5. Quartal hast!

 

Rechne so:   \((x+x^2+x^3+x^4+x^5)*1200=\)  6228,79  €

 

Setze für     \(x=1,0125\)

 

Gruß radix smiley !

 

(1.0125+1.0125^2+1.0125^3+1.0125^4+1.0125^5)*1200 = 6228.7853323974609375

radix  02.06.2016
 #2
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Guten Morgen  Luver,  guten Morgen  Heiko !

 

1.)   Ein Quartal  =  1/4 Jahr  = 3 Monate      =>  6 Einzahlungen   =>   1200 € 

 

2.)  Ich habe  nach  Heikos  Vorschlag mal  gerechnet:

      nach dem  1. Quartal  =>  1200 + 1,25% = 1215 €

                         2.     "         =>   (1215 + 1200) + 1,25 %  = 2445,19 €

                         3.     "         =>   (2445,19 + 1200 ) +1,25 %  =  3690,75 €

                      usw

                         8.    Quartal    =>   10156,04  €      (  also nach dem 2. Jahr )

 

3.)  Das Ergebnis ist  vergleichbar  mit dem Ergebnis in der  Tabelle, die gleich folgt.

      Leider habe ich keine Formel für die Berechnung gefunden .

 

4.) Vielleicht kann uns noch jemand weiterhelfen :   heureka ,  melvin , asinus , Omi ... ???

 

Gruß radix smiley !

 

 

 02.06.2016
 #3
avatar+14537 
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Hier die Tabelle, die auf den von  Luver  angegebenen Daten beruht !

Gruß radix smiley !

 

radix  02.06.2016
 #5
avatar+14537 
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Hier die korrigierte und vergrößerte Tabelle,

die  fast mit meinen Berechnungen übereistimmt !

 

Gruß radix smiley !

 

 

radix  02.06.2016
 #7
avatar+22188 
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Hallo an alle,

folgendes Aufgabe habe ich zu bewältigen und weiß da einfach nicht mehr weiter...
Jemand zahlt immer 200,00€  am 01. und am 15. des Monats in ein Konto ein.

Für dieses Konto bekommt er im Quartal 1,25% Zinsen.
Die Frage:

Wie hoch ist mein Kapital nach 10 Jahren?

 

1. q aus p berechnen:

\(\begin{array}{rcll} p &=& 1,25\ \% \\ q &=& 1+ p\\ q &=& 1+\frac{1,25}{100}\\ q &=& 1+0.0125\\ \mathbf{q} &\mathbf{=}& \mathbf{1.0125} \end{array}\)

 

Kapital am Ende des I. Quartals(nach 3 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& 1200€ \cdot 1,0125 \\ &=& 1215€ \\ \mathbf{\text{Kapital}_1} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot q}\\ \hline \end{array}\)

 

Kapital am Ende des II. Quartals(nach 6 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& (1200€ \cdot 1,0125 + 1200€) \cdot 1,0125 \\ &=& 2445,19€ \\ &=& (1200€ \cdot q +1200€)\cdot q \\ &=& 1200€ \cdot q^2 +1200€ \cdot q \\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_2} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2 )} \\ \hline \end{array}\)

 

Kapital am Ende des III. Quartals(nach 9 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 3690,75,19€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_3} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )} \\ \hline \end{array}\)

 

Kapital am Ende des IV. Quartals(nach 12 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2+ 1,0125^3 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 4951,87€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3+q^4 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_4} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )} \\ \hline \end{array}\)

 

Wir sehen nun eine Gesetzmäßigkeit.
Kapital am Ende des 40. Quartals(nach 120 Monaten bzw. nach 10 Jahren):

\(\begin{array}{lcll} \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ \end{array}\)

 

Sie Summe nach der 1200 ist die Summe einer geometrischen Reihe.
Wir bestimmen jetzt die Summe dieser geometrischen Reihe:

 

\(\begin{array}{|lcrclcl|} \hline S &=& q &+& q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + \dots + q^{39} &+& q^{40} \\ q\cdot S &=& & & q^2 + q^3 + q^4 + q^5 +q^6+ \dots &+& q^{40} + q^{41} \\ \hline S-q\cdot S &=&q && && - q^{41}\\ S(1-q) &=&q - q^{41}\\ S &=& \frac{q - q^{41}} {1-q}\\ \mathbf{S} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{q^{41}-q } {q-1} }\\ \hline \end{array}\)

 

Wir berechnen jetzt das Kapital nach 10 Jahren:

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \\\\ \text{Kapital}_{40} & = & 1200€ \cdot\left(~ \frac{q^{41}-q } {q-1} ~\right) \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 1,0125-1} ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,66416470678- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 0,65166470678 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot 52,1331765424 \\ \mathbf{\text{Kapital nach 10 Jahren}} & \mathbf{=} & \mathbf{62559,81€} \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

heureka  03.06.2016
 #8
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Guten Morgen  heureka  !

 

Vielen Dank für deine "letzte Hilfe" !!

Ich war schon dicht an der einfachen Lösung dran.

 

Leider bin ich nicht auf diese Formel gekommen :     \(S=\frac{q^{41}-q}{q-1}\)

 

Aber wir haben ja dich !! ( Letzter Retter in der Not )

 

Gruß radix smiley !

radix  03.06.2016

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