Finanzmathematik: Zinseszins

Grüß dich radix

war abgehsehn davon das ich aus irgend ein grund dachte das ein Quatal 4 Monate hatt mein rechnugsweg richtig?

Gruß Heiko

Guten Abend  Heiko  !

Dein Rechnungsweg  ist richtig !

Ich habe noch eine interessante  Berechnungsmöglichkeit gefunden!

Beispiel:      Du möchtest wissen, wieviel Guthaben du nach dem 5. Quartal hast!

Rechne so:   \((x+x^2+x^3+x^4+x^5)*1200=\)  6228,79  €

Setze für     \(x=1,0125\)

Gruß radix !

(1.0125+1.0125^2+1.0125^3+1.0125^4+1.0125^5)*1200 = 6228.7853323974609375

Hier die Tabelle, die auf den von  Luver  angegebenen Daten beruht !

Gruß radix !

Hier die korrigierte und vergrößerte Tabelle,

die  fast mit meinen Berechnungen übereistimmt !

Gruß radix !

Hallo an alle,

folgendes Aufgabe habe ich zu bewältigen und weiß da einfach nicht mehr weiter...
Jemand zahlt immer 200,00€  am 01. und am 15. des Monats in ein Konto ein.

Für dieses Konto bekommt er im Quartal 1,25% Zinsen.
Die Frage:

Wie hoch ist mein Kapital nach 10 Jahren?

1. q aus p berechnen:

\(\begin{array}{rcll} p &=& 1,25\ \% \\ q &=& 1+ p\\ q &=& 1+\frac{1,25}{100}\\ q &=& 1+0.0125\\ \mathbf{q} &\mathbf{=}& \mathbf{1.0125} \end{array}\)

Kapital am Ende des I. Quartals(nach 3 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& 1200€ \cdot 1,0125 \\ &=& 1215€ \\ \mathbf{\text{Kapital}_1} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot q}\\ \hline \end{array}\)

Kapital am Ende des II. Quartals(nach 6 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& (1200€ \cdot 1,0125 + 1200€) \cdot 1,0125 \\ &=& 2445,19€ \\ &=& (1200€ \cdot q +1200€)\cdot q \\ &=& 1200€ \cdot q^2 +1200€ \cdot q \\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_2} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2 )} \\ \hline \end{array}\)

Kapital am Ende des III. Quartals(nach 9 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 3690,75,19€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_3} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )} \\ \hline \end{array}\)

Kapital am Ende des IV. Quartals(nach 12 Monaten):

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2+ 1,0125^3 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 4951,87€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3+q^4 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_4} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )} \\ \hline \end{array}\)

Wir sehen nun eine Gesetzmäßigkeit.
Kapital am Ende des 40. Quartals(nach 120 Monaten bzw. nach 10 Jahren):

\(\begin{array}{lcll} \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ \end{array}\)

Sie Summe nach der 1200 ist die Summe einer geometrischen Reihe.
Wir bestimmen jetzt die Summe dieser geometrischen Reihe:

\(\begin{array}{|lcrclcl|} \hline S &=& q &+& q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + \dots + q^{39} &+& q^{40} \\ q\cdot S &=& & & q^2 + q^3 + q^4 + q^5 +q^6+ \dots &+& q^{40} + q^{41} \\ \hline S-q\cdot S &=&q && && - q^{41}\\ S(1-q) &=&q - q^{41}\\ S &=& \frac{q - q^{41}} {1-q}\\ \mathbf{S} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{q^{41}-q } {q-1} }\\ \hline \end{array}\)

Wir berechnen jetzt das Kapital nach 10 Jahren:

\(\begin{array}{|lcll|} \hline \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \\\\ \text{Kapital}_{40} & = & 1200€ \cdot\left(~ \frac{q^{41}-q } {q-1} ~\right) \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 1,0125-1} ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,66416470678- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 0,65166470678 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot 52,1331765424 \\ \mathbf{\text{Kapital nach 10 Jahren}} & \mathbf{=} & \mathbf{62559,81€} \\ \hline \end{array}\)

Guten Morgen  heureka  !

Vielen Dank für deine "letzte Hilfe" !!

Ich war schon dicht an der einfachen Lösung dran.

Leider bin ich nicht auf diese Formel gekommen :     \(S=\frac{q^{41}-q}{q-1}\)

Aber wir haben ja dich !! ( Letzter Retter in der Not )

Gruß radix !