Hallo an alle,
folgendes Aufgabe habe ich zu bewältigen und weiß da einfach nicht mehr weiter...
Jemand zahlt immer 200,00€ am 01. und am 15. des Monats in ein Konto ein.
Für dieses Konto bekommt er im Quartal 1,25% Zinsen.
Die Frage:
Wie hoch ist mein Kapital nach 10 Jahren?
Ich komme da leider nicht weiter und hoffe Ihr könnt mir da mit einem Lösungsweg helfen...
Vielen Dank im Voraus.
Luver
Grüß dich Luver
Im ersten Quatal hat er 1620€ auf den Konto (weil 200€*2*4 und dann die 1,25 %)
Die 1620€ +1600€ = 3220€ + 1,25% = 3260,25€
dann rechnest du die 3260,25€ + 1600€ dann die zinsen drauf und das machst du insgesamt 40 mal (die 10 Jahre)
dann hast du deine lösung ist im prinzip nur schreibarbeit wenn der lösungsweg offentsichtlich sein soll ich hoffe es ist alles richtig und ich konnte dir weiterhelfen!
Gruß Heiko
Grüß dich radix
war abgehsehn davon das ich aus irgend ein grund dachte das ein Quatal 4 Monate hatt mein rechnugsweg richtig?
Gruß Heiko
Guten Abend Heiko !
Dein Rechnungsweg ist richtig !
Ich habe noch eine interessante Berechnungsmöglichkeit gefunden!
Beispiel: Du möchtest wissen, wieviel Guthaben du nach dem 5. Quartal hast!
Rechne so: \((x+x^2+x^3+x^4+x^5)*1200=\) 6228,79 €
Setze für \(x=1,0125\)
Gruß radix !
(1.0125+1.0125^2+1.0125^3+1.0125^4+1.0125^5)*1200 = 6228.7853323974609375
Guten Morgen Luver, guten Morgen Heiko !
1.) Ein Quartal = 1/4 Jahr = 3 Monate => 6 Einzahlungen => 1200 €
2.) Ich habe nach Heikos Vorschlag mal gerechnet:
nach dem 1. Quartal => 1200 + 1,25% = 1215 €
2. " => (1215 + 1200) + 1,25 % = 2445,19 €
3. " => (2445,19 + 1200 ) +1,25 % = 3690,75 €
usw
8. Quartal => 10156,04 € ( also nach dem 2. Jahr )
3.) Das Ergebnis ist vergleichbar mit dem Ergebnis in der Tabelle, die gleich folgt.
Leider habe ich keine Formel für die Berechnung gefunden .
4.) Vielleicht kann uns noch jemand weiterhelfen : heureka , melvin , asinus , Omi ... ???
Gruß radix !
Hier die korrigierte und vergrößerte Tabelle,
die fast mit meinen Berechnungen übereistimmt !
Gruß radix !
Hallo an alle,
folgendes Aufgabe habe ich zu bewältigen und weiß da einfach nicht mehr weiter...
Jemand zahlt immer 200,00€ am 01. und am 15. des Monats in ein Konto ein.
Für dieses Konto bekommt er im Quartal 1,25% Zinsen.
Die Frage:
Wie hoch ist mein Kapital nach 10 Jahren?
1. q aus p berechnen:
\(\begin{array}{rcll} p &=& 1,25\ \% \\ q &=& 1+ p\\ q &=& 1+\frac{1,25}{100}\\ q &=& 1+0.0125\\ \mathbf{q} &\mathbf{=}& \mathbf{1.0125} \end{array}\)
Kapital am Ende des I. Quartals(nach 3 Monaten):
\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& 1200€ \cdot 1,0125 \\ &=& 1215€ \\ \mathbf{\text{Kapital}_1} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot q}\\ \hline \end{array}\)
Kapital am Ende des II. Quartals(nach 6 Monaten):
\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& (1200€ \cdot 1,0125 + 1200€) \cdot 1,0125 \\ &=& 2445,19€ \\ &=& (1200€ \cdot q +1200€)\cdot q \\ &=& 1200€ \cdot q^2 +1200€ \cdot q \\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_2} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2 )} \\ \hline \end{array}\)
Kapital am Ende des III. Quartals(nach 9 Monaten):
\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 3690,75,19€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_3} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )} \\ \hline \end{array}\)
Kapital am Ende des IV. Quartals(nach 12 Monaten):
\(\begin{array}{|lcll|} \hline \text{Kapital} &=& [~1200€ \cdot ( 1,0125 + 1,0125^2+ 1,0125^3 ) +1200€~] \cdot 1,0125\\ &=& 4951,87€ \\ &=&[~1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 ) +1200€~] \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3 )\cdot q +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q^2+q^3+q^4 ) +1200€ \cdot q\\ &=& 1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )\\ \mathbf{\text{Kapital}_4} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4 )} \\ \hline \end{array}\)
Wir sehen nun eine Gesetzmäßigkeit.
Kapital am Ende des 40. Quartals(nach 120 Monaten bzw. nach 10 Jahren):
\(\begin{array}{lcll} \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ \end{array}\)
Sie Summe nach der 1200 ist die Summe einer geometrischen Reihe.
Wir bestimmen jetzt die Summe dieser geometrischen Reihe:
\(\begin{array}{|lcrclcl|} \hline S &=& q &+& q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + \dots + q^{39} &+& q^{40} \\ q\cdot S &=& & & q^2 + q^3 + q^4 + q^5 +q^6+ \dots &+& q^{40} + q^{41} \\ \hline S-q\cdot S &=&q && && - q^{41}\\ S(1-q) &=&q - q^{41}\\ S &=& \frac{q - q^{41}} {1-q}\\ \mathbf{S} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{q^{41}-q } {q-1} }\\ \hline \end{array}\)
Wir berechnen jetzt das Kapital nach 10 Jahren:
\(\begin{array}{|lcll|} \hline \mathbf{\text{Kapital}_{40}} &\mathbf{=}& \mathbf{1200€ \cdot ( q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{40} )} \\\\ \text{Kapital}_{40} & = & 1200€ \cdot\left(~ \frac{q^{41}-q } {q-1} ~\right) \qquad \text{mit } q = 1,0125\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 1,0125-1} ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,0125^{41}- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 1,66416470678- 1,0125 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot \left(~ \frac{ 0,65166470678 } { 0,0125 } ~\right)\\ & = & 1200€ \cdot 52,1331765424 \\ \mathbf{\text{Kapital nach 10 Jahren}} & \mathbf{=} & \mathbf{62559,81€} \\ \hline \end{array}\)