heureka

ich habe einen längs halbierten Zylinder der nicht kreisförmig sondern Ellipsen förmig ist. Wie berechne ich seine Fläche?

a= 8,5m   b=3,6m    c=10m

Die Oberfläche (O) ohne die Standfläche berechnet sich zu \(\mathbf{171.585327128\ m^2}\)

Die Daten der Ellipse sind:
Halbachse Ellipse \(\bar{a} = \frac{a}{2} = 4,25\ m\)
Halbachse Ellipse \( \bar{b} = b = 3,6\ m\)

Die Fläche der gesamten Ellipse: \(A_{\text{Ellipse}} = \pi\cdot \bar{a}\cdot \bar{b}\)

Die Umfang (U) der gesamten Ellipse:

\(\small{ \begin{array}{rcll} \lambda &=& \frac{ \bar{a} - \bar{b} } { \bar{a} + \bar{b} } = 0,08280254777 \\\\ U&=& \pi \cdot ( \bar{a} + \bar{b} ) \cdot \left( 1 + \frac{\lambda^2}{4} + \frac{\lambda^4}{64} + \frac{\lambda^6}{256} + \frac{25\cdot \lambda^8}{16384} + \frac{49\cdot \lambda^{10}}{65536} + \frac{441\cdot \lambda^{12}}{1048576} + \dots \right)\\ &=& \pi \cdot 7,85 \cdot \left( 1 + 0,001714065479 + 0,000000734505 + 0,000000001259 + 0,000000000003 + 0,000000000000 + \dots \right)\\ &=& 24,703791905625 \end{array} }\)

\(\begin{array}{rcll} O &=& 2\cdot \frac{ A_{\text{Ellipse}} } {2} + \frac{U}{2} \cdot c\\ O &=& A_{\text{Ellipse}} + \frac{U}{2} \cdot c\\ O &=& \pi\cdot \bar{a}\cdot \bar{b} + \frac{U}{2} \cdot c\\ O &=& \pi\cdot 4,25\cdot 3,6 + \frac{24,703791905625}{2} \cdot 10\\ O &=& 48,0663675999\ m^2 + 123,518959528\ m^2 \\ O &=& 171,585327128\ m^2 \end{array}\)

Hallo ich hätte ne frage und zwar wieviele gramm haben 1000kg? Danke im vorraus

1000 kg haben 1 000 000 g

Als samet zu hause losfuhr,zeigte sein fahradtacho 126,25km an,

als er die schule erreichte konnte samet 131,08km ablesen.

Wie lange ist samets schulweg?

\(131,08\ \text{km} - 126,25\ \text{km} = 4,83\ \text{km}\)

Samets Schulweg ist 4,83 km

given that 1m/s=3.6km/h, find:

\(\begin{array}{rcll} 1\ \frac{m}{s} &=& 3.6\ \frac{km}{h} \\ \end{array}\)

a  50 mm/s in km/h

\(\begin{array}{rcll} 50\ \frac{mm}{s} \cdot \frac{ 1\ m }{ 1000\ mm } \cdot \frac{3.6\ \frac{km}{h}}{1\ \frac{m}{s} } &=& \frac{ 50 \cdot 3.6 }{1000} \cdot \frac{m}{s}\cdot \frac{s}{m}\cdot \frac{km}{h}\\ &=& 0.18\ \frac{km}{h}\\ \end{array}\)

b 288 km/h in m/s

\(\begin{array}{rcll} 288\ \frac{km}{h} \cdot \frac{1\ \frac{m}{s} } {3.6\ \frac{km}{h}} &=& \frac{288}{3.6} \cdot \frac{km}{h} \cdot \frac{m}{s} \cdot \frac{h}{km} \\ &=& \frac{288}{3.6}\ \frac{m}{s} \\ &=& 80\ \frac{m}{s} \\ \end{array}\)

Ein Audi S4 hat einen Normalverbrauch von 11,7 Liter auf 100km

Er startet mit vollem Tank (64 Liter)

Alle 10,5 Kilometer kommt er an eine Tankstelle wo er 1 Liter tanken kann

nach wievielen km geht ihm der Tank aus ?

Verbrauch nach 10,5 km:  \(v = \frac{11,7\ l}{100\ km} \cdot 10,5\ km = 1,2285\ l \)

Tankfüllung = T

\(\begin{array}{lrcll} \text{Tank nach } 0\ km & T_0 &=& 64\ l \\ \text{Tank nach } 10,5\ km & T_1 &=& 64 -v + 1\ l \\ & T_1 &=& (64+1)-v \\ \text{Tank nach } 2\cdot 10,5\ km & T_2 &=& T_1 -v + 1\ l \\ & T_2 &=& (64+2)-2\cdot v \\ \text{Tank nach } 3\cdot 10,5\ km & T_3 &=& T_2 -v + 1\ l \\ & T_3 &=& (64+3)-3\cdot v \\ \text{Tank nach } 4\cdot 10,5\ km & T_4 &=& T_3 -v + 1\ l \\ & T_4 &=& (64+4)-4\cdot v \\ \dots \\ \text{Tank nach } n\cdot 10,5\ km & T_n &=& T_{n-1} -v + 1\ l \\ & T_n &=& (64+n)-n\cdot v \\\\ \hline \\ \text{Wann ist der Tank leer ?} & T_n &=& 0 \\ & 0 &=& (64+n)-n\cdot v \\ & n\cdot v - n &=& 64 \\ & n\cdot ( v-1) &=& 64 \\ & n &=& \frac{64} { v-1 } \\ & n &=& \frac{64} { 1,2285 -1 } \\ & n &=& \frac{64} { 0,2285 } \\ & n &=& 280,087527352 \\ \end{array}\)

Nach 280 Tankstellenstops 

und einer Wegstrecke von \(280\cdot 10,5\ km = 2940\ km\)

befindet sich im Tank ein Rest von \(T_{280} = (64+280)-280\cdot 1,2285\ = 0,02\ Litern\)

Mit dem Rest kommt er noch  \( \frac{100\ km}{11,7\ l } \cdot 0,02\ l = 0,17094017094 \ km \)  weit.

Insgesamt geht ihm nach \(\mathbf{2940,17 \ km}\) der Tank aus.

Nella travelled 1/3 of a journey by bus, 2/3 of the remainder by bicycle and the remaining 9km on foot.

j = journey

c = cycle

b = bus

(a) how far did nella cycle

\(\begin{array}{lrcll} (1) & c &=& (\frac23\cdot j) \cdot \frac23 \\ & \frac23\cdot j &=& \frac32\cdot c \\\\ (2) & c + 9\ \text{km} &=& \frac23 \cdot j \\ & c + 9\ \text{km} &=& \frac32\cdot c \\ & \frac32\cdot c - c &=& 9 \\ & \frac12\cdot c &=& 9 \\ & c &=& 18\ \text{km}\\ \end{array}\)

Nella cycle 18 km

(b) what was the total distance travel

\(\begin{array}{lrcll} & \frac23\cdot j &=& \frac32\cdot c \\ & j &=& \frac32\cdot \frac32\cdot c \\ & j &=& \frac32\cdot \frac32\cdot 18\ \text{km} \\ & j &=& 40.5\ \text{km} \end{array}\)

The total distance travel was 40.5 km

\(\begin{array}{rcll} b &=& \frac13 \cdot j \\ b &=& \frac13 \cdot 40.5\ \text{km} \\ b &=& 13.5\ \text{km} \\ \end{array}\)

was  ist x wenn (1/e + 7/(pi*e))*-1 = wurzel(5x+5e*pi) ?

\(\begin{array}{rcll} \left(\frac{1}{e} + \frac{7}{\pi\cdot e} \right) \cdot (-1) &=& \sqrt{ 5x+5e \cdot \pi } \\ \frac{1}{e} \cdot \left( 1 + \frac{7}{\pi} \right) \cdot (-1) &=& \sqrt{ 5\cdot(x+e \cdot \pi) } \\ \frac{1}{e} \cdot \left( \frac{\pi+ 7}{\pi} \right) \cdot (-1) &=& \sqrt{ 5\cdot(x+e \cdot \pi) } \qquad | \qquad \text{quadriere beide Seiten}\\ \frac{1}{e^2} \cdot \left( \frac{\pi+ 7}{\pi} \right)^2 \cdot (-1)^2 &=& 5\cdot(x+e \cdot \pi)\\ \frac{1}{e^2} \cdot \left( \frac{\pi+ 7}{\pi} \right)^2 \cdot 1 &=& 5\cdot(x+e \cdot \pi)\\ \frac{1}{e^2} \cdot \left( \frac{\pi+ 7}{\pi} \right)^2 &=& 5\cdot(x+e \cdot \pi)\\ \frac{(\pi+ 7)^2}{\pi^2\cdot e^2} &=& 5\cdot(x+e \cdot \pi) \qquad | \qquad : 5\\ \frac{(\pi+ 7)^2}{5\cdot \pi^2\cdot e^2} &=& x+e \cdot \pi \\ x+e \cdot \pi &=& \frac{(\pi+ 7)^2}{5\cdot \pi^2\cdot e^2} \qquad | \qquad -e \cdot \pi\\ x &=& \frac{(\pi+ 7)^2}{5\cdot \pi^2\cdot e^2} -e \cdot \pi \qquad | \qquad e=2,71828182846\dots \qquad \pi = 3,14159265359\dots \\ x &=& \frac{(3,14159265359+ 7)^2}{5\cdot 3,14159265359^2\cdot 2,71828182846^2} -2,71828182846 \cdot 3,14159265359 \\ x &=& 0,28206786538 - 8.53973422267\\ x &=& -8.25766635729 \end{array}\)

Sechseckiger Buddelkasten, mit 2m Seitenlänge,Höhe 0,6m

Die Grundfläche des Buddelkasten besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken.

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Fläche \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{ (2\ m) \cdot h } {2} = h\)

Die Höhe h des gleichseitigen Dreieckes beträgt \(h = \sqrt{3}\).

Dies kann über den Pythagoras berechnet werden: \(1^2+h^2 = 2^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 4-1 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad h=\sqrt{3}\)

Die Fläche des gleichseitigen Dreieckes beträgt somit:

\(A_{\text{Dreieck}} = h = \sqrt{3}\)

Die gesamte Grundfläche des Buddelkastens beträgt \(A_{\text{Sechseck}}= 6\cdot A_{\text{Dreieck}} = 6 \cdot \sqrt{3} = 10.3923048454\ m^2\)

Das Volumen des sechseckigen Buddelkastens beträgt

\(V_{\text{Buddelkasten}}= A_{\text{Sechseck}} \cdot 0,6\ m = 10.3923048454\ m^2 \cdot 0,6\ m = 6.23538290725\ m^3\)

Das Volumen des sechseckigen Buddelkastens beträgt etwa \(6,24\ m^3\)

continuation

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& \dfrac{ -[~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] \pm \sqrt{ 1+ [~ f'(x_a) ~]^2 \cdot [~ 2+ b^2 -4\cdot a\cdot(c-y_a) ~] } } { 2\cdot a \cdot f'(x_a) } \\\\ && y_a = a\cdot x_a^2+b\cdot x_a+c \\\\ && f'(x_a) = 2a\cdot x_a +b \\\\ x_1 + x_2 &=& \dfrac{ -[~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] + \sqrt{ 1+ [~ f'(x_a) ~]^2 \cdot [~ 2+ b^2 -4\cdot a\cdot(c-y_a) ~] } } { 2\cdot a \cdot f'(x_a) } \\ && +\dfrac{ -[~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] - \sqrt{ 1+ [~ f'(x_a) ~]^2 \cdot [~ 2+ b^2 -4\cdot a\cdot(c-y_a) ~] } } { 2\cdot a \cdot f'(x_a) } \\\\ x_1 + x_2 &=& \dfrac{ -[~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] } { 2\cdot a \cdot f'(x_a) } + \dfrac{ -[~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] } { 2\cdot a \cdot f'(x_a) } \\\\ x_1 + x_2 &=& \dfrac{ -2\cdot [~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] } { 2\cdot a \cdot f'(x_a) } \\\\ x_1 + x_2 &=& -\dfrac{ [~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] } { a \cdot f'(x_a) } \\\\ x_1 + x_2 &=& -\frac{1}{a} \cdot \left[ \dfrac{ 1 } { f'(x_a) } + b \right] \qquad | \qquad f'(x_a) = 2ax_a+b \\\\ x_1 + x_2 &=& -\frac{1}{a} \cdot \left( \dfrac{ 1 } { 2ax_a+b } + b \right) \qquad | \qquad x_1 = x_a \qquad x_2 = x_b \\\\ x_a + x_b &=& -\frac{1}{a} \cdot \left( \dfrac{ 1 } { 2ax_a+b } + b \right) \\\\ x_b &=& -x_a -\frac{1}{a} \cdot \left( \dfrac{ 1 } { 2ax_a+b } + b \right) \\\\ \end{array} ~}\)

conclusion

\(\boxed{~ \begin{array}{lcll} \text{Parabola } \quad y = ax^2+bx+c \qquad \text{ and we have } \quad a,b,c \text{ and } x_a \\\\ \Rightarrow x_b = -x_a -\frac{1}{a} \cdot \left( \dfrac{ 1 } { 2ax_a+b } + b \right) \\\\ \Rightarrow y_b = ax_b^2+bx_b+c \\\\ \end{array} ~}\)

Example:

\(\begin{array}{rcll} \text{Parabola } \quad y &=& \frac12 x^2 \qquad a=\frac12 \qquad b=0 \qquad c=0 \qquad x_a=4 \\\\ x_b &=& -4 -\frac{1}{\frac12} \cdot \left( \dfrac{ 1 } { 2\cdot \frac12 \cdot 4+0 } + 0 \right) \\\\ x_b &=& -4 -\frac{1}{\frac12} \cdot \left( \dfrac{ 1 } { 4 } \right) \\\\ x_b &=& -4 - \frac24 \\\\ x_b &=& -4 - \frac12 \\\\ \mathbf{x_b} & \mathbf{=} & \mathbf{-4.5} \\\\\\ y_b &=& \frac12 \cdot (-4.5)^2+0\cdot (-4.5)+0 \\\\ \mathbf{y_b} &\mathbf{=}& \mathbf{10.125} \\\\ \end{array}\)

So I was wondering if there was a formula for the point(s) of intersection between a parabola and a normal from a point on the parabola

1. Parabola: \(f(x) = y = ax^2+bx+c \)

2. Normal from a point on the parabola:  \(n(x) = y = - \frac{1}{f'(x)}\cdot ( x - x_a ) + f(x_a)\)

3. \(f'(x_a) = 2ax_a+b \\y_a = f(x_a) = ax_a^2+bx_a+c\)

4. Intersection between a parabola and a normal:

\(\small{ \begin{array}{rcll} ax^2+bx+c &=& - \frac{1}{f'(x)}\cdot ( x - x_a ) + y_a \qquad | \qquad \cdot f'(x_a)\\ ax^2\cdot f'(x_a) + b\cdot f'(x_a)+c\cdot f'(x_a) &=& x_a -x + y_a \cdot f'(x_a) \\ \dots \\ x^2 \cdot [ a \cdot f'(x_a) ] +x \cdot [ 1+b\cdot f'(x_a) ]+ f'(x_a)\cdot (c-y_a) - x_a &=& 0 \\ \dots \\ \end{array} }\)

\(\boxed{~ \begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& \dfrac{ -[~ 1+b\cdot f'(x_a) ~] \pm \sqrt{ 1+ [~ f'(x_a) ~]^2 \cdot [~ 2+ b^2 -4\cdot a\cdot(c-y_a) ~] } } { 2\cdot a \cdot f'(x_a) } \\\\ && y_a = a\cdot x_a^2+b\cdot x_a+c \\\\ && f'(x_a) = 2a\cdot x_a +b \end{array} ~}\)

5. Example:

\(a=\frac12 \quad b= 0 \quad c = 0 \quad x_a = 4\)

Parabola: \(f(x) = \frac12x^2\)

\(f(x_a) = f(4) = y_a = \frac12 \cdot 4^2 = 8\\ f'(x_a) = f'(4) = 2\cdot \frac12 \cdot 4 + 0 = 4\)

\(\begin{array}{rcll} x_{1,2} &=& \dfrac{ -[~ 1+0 ~] \pm \sqrt{ 1+ [~ 4 ~]^2 \cdot [~ 2+ 0^2 -4\cdot \frac12\cdot(0-8) ~] } } { 2\cdot \frac12 \cdot 4 } \\ x_{1,2} &=& \dfrac{ -1 \pm \sqrt{ 1+ 16 \cdot [~ 2 -4\cdot \frac12\cdot(-8) ~] } } { 4 } \\ x_{1,2} &=& \dfrac{ -1 \pm \sqrt{ 1+ 16 \cdot [~ 2+ 16~] } } { 4 } \\ x_{1,2} &=& \dfrac{ -1 \pm \sqrt{ 1+ 16 \cdot [~ 18~] } } { 4 } \\ x_{1,2} &=& \dfrac{ -1 \pm 17 } { 4 } \\\\ x_1 &=& \dfrac{ -1 + 17 } { 4 } \\ x_1 =x_a &=& 4\\\\ x_2 &=& \dfrac{ -1 - 17 } { 4 } \\ x_2 = x_b &=& -4.5 \\ y_2 = y_b &=& \frac12 \cdot x_b^2 \\ y_b &=& \frac12 \cdot (-4.5)^2 \\ y_b &=& 10.125 \end{array}\)