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heureka

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 #2
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I saw in a magazine that there was a contest or something about determining the 3 last digits of 3^123456, is there anyone that could help with this? 

 

3123456(mod1000)?

 

 aφ(m)=1(modm), if gcd(a,m)=1 

 

a=3

m=1000=2353

 

1.)  gcd(3,1000)=1

 

2.)

 φ(1000)=1000(112)(115)φ(1000)=1000(12)(45)φ(1000)=400

 

3.)  3400=1(mod1000)

 

4. Split 123456 in units of 400

123456=400308+2563123456(mod1000)=3400308+256(mod1000)=34003083256(mod1000)=(3400=1(mod1000))3083256(mod1000)=13083256(mod1000)=13256(mod1000)=3256(mod1000)|310=49(mod1000)=31025+6(mod1000)=3102536(mod1000)=(310)2536(mod1000)=(49)2536(mod1000)

 

 

=1311081016089963454886184368275274375604160521(mod1000)=521

 

 

laugh

.
15.03.2016
 #2
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0

Ich suche den Lösungsweg von arctan(1/1+x²).

Mein Ansatz war erstmal Arctan abzuleiten auf 1/1+x² und dann den Ausdruck in der Klammer mit einzusetzen so das 1/1+(1/1+x²)² raus kommt. Nur weiss ich jetzt nicht weiter, die Lösung habe ich hier doch der Rechenweg wird mir nicht begreiflich.

 

Dein Ansatz ist richtig!


Gesucht ist vermutlich die Ableitung von arctan(11+x2)
Wir substituieren z=11+x2 und erhalten  y=arctan(z)
Nun berechnen wir die 1. Ableitung mit der Kettenregel. 
Äußere Ableitung mal der inneren Ableitung y=[arctan(z)]z

 


[arctan(z)]=11+z2=11+(11+x2)2=11+1(1+x2)2=1(1+x2)2+1(1+x2)2=(1+x2)2(1+x2)2+1

 

 

z=[11+x2]=[(1+x2)1]=(1)[(1+x2)2]2x=2x(1+x2)2

 

 

y=[arctan(z)]zy=(1+x2)2(1+x2)2+1[2x(1+x2)2]y=2x(1+x2)2+1y=2xx4+2x2+2

 

laugh

14.03.2016