heureka

Ich glaube aber dass Sie mich falsch verstanden haben oder ich es falsch formuliert habe :( {nl} Könnten Sie mir bitter erneut helfen .. Ich sende Ihnen ein Bild von der Aufgabe, vielleicht schafft das etwas mehr Ordnung

$\begin{array}{lrcl} \mathbf{(b)} & z = \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\\\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot \left( \frac{ 1+i } { 1+i } \right)\\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { (1-i)(1+i) } \\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { 1-i^2 } \\ & &&= \frac{ 1+2i+i^2 } { 1-i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ & &&= \frac{ 1+2i-1 } { (1+1) } \\ & &&= \frac{ 2i } { 2 } \\ & &&= i \\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = i\\\\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& i \cdot (2-i) \\ & &=& 2i - i^2 \\ & &=& 2i +1 \\ & \mathbf{ z = \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\\\\\ & \mathbf{ z } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\ & \mathbf{ z^* } &=& \mathbf{ 1 {\color{red}-} 2i } \end{array}$

$\boxed{~ \text{Für }~ z=a+b\,\mathrm{i} ~ \text{ in algebraischer Form ist } \\ \qquad r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot z^*}. ~}$

$\begin{array}{rcl} z=1+2i \quad a = 1 \quad b = 2\\ r &=& |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \\ r &=& \sqrt{1^2 + 2^2} \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{\sqrt{5}} \\\\ r &=& \sqrt{z \cdot z^*} \\ r &=& \sqrt{(1+2i) \cdot (1-2i) } \\ r &=& \sqrt{ 1^2 - (2i)^2 } \\ r &=& \sqrt{ 1^2 - 4i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ r &=& \sqrt{ 1 - 4(-1) } \\ r &=& \sqrt{ 1 + 4 } \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{\sqrt{5}} \end{array}$

Guten Tag :) Wie errechne ich diese Aufgabe.. habe Schwierigkeiten die Lösung rauszubekommen..

1. ((1+i)(2-i)/(1-i))

2. ((1-i)(2+i)/(1+i))

$\begin{array}{lrcl} \mathbf{1.} & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\\\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot \left( \frac{ 1+i } { 1+i } \right)\\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { (1-i)(1+i) } \\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { 1-i^2 } \\ & &&= \frac{ 1+2i+i^2 } { 1-i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ & &&= \frac{ 1+2i-1 } { (1+1) } \\ & &&= \frac{ 2i } { 2 } \\ & &&= i \\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = i\\\\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& i \cdot (2-i) \\ & &=& 2i - i^2 \\ & &=& 2i +1 \\ & \mathbf{ \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\\\\\ \\ \hline \\ \mathbf{2.} & \frac{ (1-i)(2+i) } { 1+i } &=& \frac{ (2+i) } { \left( \frac{ 1+i } { 1-i }\right) } \qquad | \qquad \frac{ 1+i } { 1-i } = i\\ &&=& \frac{ (2+i) } { i } \\ &&=& \frac{ 2 } { i } + 1 \\ &&=& \frac{ 2 } { i }\cdot \left( \frac{-i}{-i} \right) + 1\\ &&=& \frac{ -2i } { -i^2 } + 1 \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ &&=& \frac{ -2i } { 1 } + 1 \\ &&=& -2i + 1 \\ & \mathbf{ \frac{ (1-i)(2+i) } { 1+i } } &=& \mathbf{ 1 - 2i }\\\\\\ \end{array}$

Pi/4=8arctan(1/10) - arctan(a/b). Find "a" and "b", so that the equality is true. Thank you very much for any help.

$\begin{array}{rcl} 8\cdot \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } - \arctan{ ( \frac{a}{b} ) } &=& \frac{\pi}{4}\\ \end{array}$

$\text{Formula: } \quad \boxed{~ \tan{(2x)} = \frac{ 2\tan{(x)} }{ 1- \tan{(x)}\cdot \tan{(x)} } ~}$

I.  We set:    $x = \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } \quad \text{ and } \quad \tan{(x)} = \frac{1}{10}$

$\small{ \begin{array}{rcl} \tan{(2x)} = \tan{( 2 \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } )} &=& \frac{ 2\tan{(x)} }{ 1- \tan{(x)}\cdot \tan{(x)} }= \dfrac{2\cdot \frac{1}{10} } { 1- \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10} } = \frac{20}{99}\\ \qquad 2 \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } &=& \arctan{ ( \frac{20}{99} ) } \end{array} }$

II. We set:   $x = 2\arctan{ ( \frac{1}{10} ) } = \arctan{ ( \frac{20}{99} ) }\quad \text{ and } \quad \tan{(x)} = \frac{20}{99}$

$\small{ \begin{array}{rcl} \tan{(2x)} = \tan{( 4 \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } )} &=& \frac{ 2\tan{(x)} }{ 1- \tan{(x)}\cdot \tan{(x)} } =\dfrac{2\cdot \frac{20}{99} } { 1- \frac{20}{99}\cdot \frac{20}{99} } = \frac{3960}{9401}\\ \qquad 4 \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } &=& \arctan{ ( \frac{3960}{9401} ) } \end{array} }$

III. We set:   $x = 4\arctan{ ( \frac{1}{10} ) } = \arctan{ ( \frac{3960}{9401} ) }\quad \text{ and } \quad \tan{(x)} = \frac{3960}{9401}$

$\small{ \begin{array}{rcl} \tan{(2x)} = \tan{( 8 \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } )} &=& \frac{ 2\tan{(x)} }{ 1- \tan{(x)}\cdot \tan{(x)} } =\dfrac{2\cdot \frac{3960}{9401} } { 1- \frac{3960}{9401}\cdot \frac{3960}{9401} } = \frac{74455920}{72697201}\\ \qquad 8 \arctan{ ( \frac{1}{10} ) } &=& \arctan{ ( \frac{74455920}{72697201} ) } \end{array} }$

IV.

$\text{Formula: } \quad \boxed{~ \tan{(x+y)} = \frac{ \tan{(x)}+\tan{(y)} }{ 1- \tan{(x)}\cdot \tan{(y)} } ~}$

We set:   $x = 8\arctan{ ( \frac{1}{10} ) } = \arctan{ ( \frac{74455920}{72697201} ) } \quad \text{ and } \quad \tan{(x)} = \frac{74455920}{72697201}\\ y = \arctan{ ( \frac{a}{b} ) } \quad \text{ and } \quad \tan{(y)} = \frac{a}{b}\\ \tan{(x+y)} = 1$

$\small{ \begin{array}{rcl} \tan{(x+y)} = \frac{ \tan{(x)}+\tan{(y)} }{ 1- \tan{(x)}\cdot \tan{(y)} } &=& \dfrac{ \frac{74455920}{72697201}+\frac{a}{b} }{ 1- \frac{74455920}{72697201}\cdot \frac{a}{b} } = 1\\\\ \qquad \dfrac{ \frac{74455920}{72697201}+\frac{a}{b} }{ 1- \frac{74455920}{72697201}\cdot \frac{a}{b} } &=& 1\\\\ \qquad \frac{74455920}{72697201}+\frac{a}{b} &=& 1- \frac{74455920}{72697201}\cdot \frac{a}{b}\\\\ \qquad \frac{a}{b}+ \frac{74455920}{72697201}\cdot \frac{a}{b} &=& 1-\frac{74455920}{72697201}\\\\ \qquad \frac{a}{b}\cdot \left( 1 + \frac{74455920}{72697201} \right) &=& 1-\frac{74455920}{72697201}\\\\ \qquad \frac{a}{b}\cdot \left( \frac{72697201+74455920}{72697201} \right) &=& \frac{72697201-74455920}{72697201}\\\\ \qquad \frac{a}{b}\cdot ( 72697201+74455920 ) &=& 72697201-74455920\\\\ \qquad \frac{a}{b} &=& \dfrac{ 72697201-74455920 } { 72697201+74455920 }\\\\ \qquad \frac{a}{b} &=& \dfrac{ -1758719 } { 147153121 }\\\\ \hline \\ \tan{(x+y)} = 1 \\ \tan{(8\arctan{ ( \frac{1}{10} ) }+\arctan{ ( \frac{a}{b} ) })} &=& 1 \\ \tan{(8\arctan{ ( \frac{1}{10} ) }-\arctan{ ( \frac{ 1758719 } { 147153121 } ) })} &=& 1 \\ 8\arctan{ ( \frac{1}{10} ) }-\arctan{ ( \frac{ 1758719 } { 147153121 } ) } &=& \arctan{(1)} \\\\ \mathbf{ 8\arctan{ ( \dfrac{1}{10} ) }-\arctan{ ( \dfrac{ 1758719 } { 147153121 } ) } } & \mathbf{=} & \mathbf{\dfrac{\pi} {4}} \end{array} }$

notiere 20 000 000 000 000 000 000 in einer Rechnung

20x10 hoch wieviel gleich die obere zahl?

$20\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000 = 20\cdot 10^{18}$

 Hi weiß jemand was die letzte Ziffer von der Zahl 4 (hoch) 1024 ist?

$\begin{array}{rclcrr} && & & \text{letzte Ziffer} & \text{Exponent von } 4 \\ \hline 4^{1} \pmod {10} &=& 4 \pmod {10} &=& 4 & \text{ungerade}\\ 4^{{\color{red}{2}}} \pmod {10} &=& 1{\color{red}{6}} \pmod {10} &=& {\color{red}{6}} & { \color{red}\text{gerade} }\\ 4^{3} \pmod {10} &=& 64 \pmod {10} &=& 4 & \text{ungerade}\\ 4^{{\color{red}{4}}} \pmod {10} &=& 25{\color{red}{6}} \pmod {10} &=& {\color{red}{6}} & { \color{red}\text{gerade} }\\ 4^{5} \pmod {10} &=& 1024 \pmod {10} &=& 4 & \text{ungerade}\\ 4^{{\color{red}{6}}} \pmod {10} &=& 409{\color{red}{6}} \pmod {10} &=& {\color{red}{6}} & { \color{red}\text{gerade} }\\ 4^{7} \pmod {10} &=& 16384 \pmod {10} &=& 4 & \text{ungerade}\\ 4^{{\color{red}{8}}} \pmod {10} &=& 6553{\color{red}{6}} \pmod {10} &=& {\color{red}{6}} & { \color{red}\text{gerade} }\\ 4^{9} \pmod {10} &=& 262144 \pmod {10} &=& 4 & \text{ungerade}\\ 4^{{\color{red}{10}}} \pmod {10} &=& 104857{\color{red}{6}} \pmod {10} &=& {\color{red}{6}} & { \color{red}\text{gerade} }\\ \cdots \end{array} \\ \begin{array}{l} \text{Die letze Ziffer von } 4^n \text{ ist } 4 \text{, wenn der Exponent von 4 ungerade ist.}\\ \text{Die letze Ziffer von } 4^n \text{ ist } 6 \text{, wenn der Exponent von 4 gerade ist.}\\ \text{Unser Exponent ist } 1024 \text{ und das ist ein gerader Exponent, also ist letzte Ziffer von } 4^{1024} = 6\\ 4^{{\color{red}{1024}}} \pmod {10} ={\color{red}{6}}\quad \text{(Der Exponent ist gerade)}\\ \end{array}$

Die letze Ziffer ist 6

The points (-4, 6), (5,7), (6, -2) and (-6, -4) makes a quadrangel. {nl} Determine the coordinates for the exact point where the diagonals of the quadrangel cut eachother.

In General: cut two lines.

Line 1 with two Points: $\dbinom{x_1}{y_1}$ and  $\dbinom{x_2}{y_2}$

Line 2 with two Points: $\dbinom{x_3}{y_3}$ and  $\dbinom{x_4}{y_4}$

The coordinates for the cut eachother is $\dbinom{x_c}{y_c}$

$\boxed{~ \begin{array}{lcl} x_c &=& x_3 + k\cdot (x_4-x_3)\\ y_c &=& y_3 + k\cdot (y_4-y_3)\\ k &=& \dfrac{ (x_3-x_1)(y_2-y_1)-(y_3-y_1)(x_2-x_1) }{(x_2-x_1)(y_4-y_3)-(x_4-x_3)(y_2-y_1)} \end{array} ~}$

Calculation:

$\begin{array}{lcl} \text{Line 1 with two Points:} \dbinom{x_1=-6}{y_1=-4} \text{ and } \dbinom{x_2=5}{y_2=7}\\\\ \text{Line 2 with two Points:} \dbinom{x_3=6}{y_3=-2} \text{ and } \dbinom{x_4=-4}{y_4=6}\\\\ \end{array}\\ \begin{array}{lcl} k &=& \dfrac{ [6-(-6)][7-(-4)]-[-2-(-4)][5-(-6)] } { [5-(-6)][6-(-2)]-[-4-(-6)][7-(-4)] }\\\\ k &=& \dfrac{ 12\cdot 11 - 2\cdot 11 } { 11\cdot 8 + 10\cdot 11 }\\\\ k &=& \dfrac{ 12 - 2 } { 8 + 10 }\\\\ k &=& \dfrac{ 10 } { 18 }\\\\ k &=& \dfrac{ 5 } { 9 }\\\\ x_c &=& 6 + \dfrac{ 5 } { 9 }\cdot (-4-6)\\ x_c &=& 6 - \dfrac{ 5\cdot 10 } { 9 }\\ x_c &=& \dfrac{ 54-50 } { 9 }\\ \mathbf{ x_c }& \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{ 4 } { 9 } }\\\\ y_c &=& -2 + \dfrac{ 5 } { 9 }\cdot [6-(-2)]\\ y_c &=& -2 + \dfrac{ 5\cdot 8 } { 9 }\\ y_c &=& \dfrac{ -18+40 } { 9 }\\ \mathbf{ y_c } & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{ 22 } { 9 } } \end{array}$

X^2+x-6=0

$\begin{array}{rcl} x^2+x-6 &=& 0 \\ (x +3 )(x - 2 ) &=& 0 \end{array}$

$x = -3 \quad \text{ or } \quad x = 2$

72 Euro sind 24%. Wie viel sind 100%?

$\begin{array}{rcl} x \cdot 24 \% &=& 72€ \\ x &=& \frac{72€}{ 24 \% } \\ x &=& \frac{72\cdot 100}{ 24 }€ \\ x &=& 3\cdot 100 €\\ x &=& 300€ \\ \end{array}$

100 % sind 300 €

 24 % sind 72 €

Folgendes... Ich habe 2 Medien: Luft und Stickstoff. Nun möchte ich den Übergang von Luft in Stickstoff ermitteln. D.h SinA/SinB=Vca/Vcb. Nun bin ich mir nicht sicher wie ich meine Werte einsetzen muss. Vc in luft 340m/s und Vc in Stickstoff 336m/s mein einfallswinkel beträgt 20Grad

Hallo Gast,

wenn ich die Frage richtig verstanden habe, wird der Ausfallswinkel B gesucht.

Und wir haben hier Schallwellen, die vom Medium Luft in das Medium Stickstoff unter einem Einfallswinkel von 20 Grad gebrochen werden.

$\begin{array}{rclcr} \dfrac{ \sin{(A)} } { \sin{(B)} } &=& \dfrac{V_{c_a}}{V_{c_b}} \\\\ \dfrac { \sin{(B)} } { \sin{(A)} } &=& \dfrac{V_{c_b}} {V_{c_a}} \\\\ \sin{(B)} &=& \dfrac{V_{c_b}} {V_{c_a}} \cdot \sin{(A)} \\\\ &&\boxed{~ V_{c_\text{Stickstoff}} = 336\ \frac{m}{s} \qquad V_{c_\text{Luft}} = 340\ \frac{m}{s} \qquad A_\text{Luft} = 20^{\circ}~}\\\\ \sin{(B_\text{Stickstoff})} &=& \dfrac{V_{c_\text{Stickstoff}}} {V_{c_\text{Luft}}} \cdot \sin{(A_\text{Luft})} \\\\ \sin{(B_\text{Stickstoff})} &=& \dfrac{ 336\ \frac{m}{s}} {340\ \frac{m}{s}} \cdot \sin{(20^{\circ})} \\ \sin{(B_\text{Stickstoff})} &=& 0.98823529412 \cdot 0.34202014333 \\ \sin{(B_\text{Stickstoff})} &=& 0.33799637693 \qquad | \arcsin{()} \\ B_\text{Stickstoff} &=& \arcsin{(0.33799637693)}\\ B_\text{Stickstoff} &=& 19.7548494541^{\circ}\\ \text{Der Ausfallswinkel beträgt }~ 19.75485^{\circ} \end{array}$

How do I determine perfect cubes