+53 Guten Tag :) Wie errechne ich diese Aufgabe.. habe Schwierigkeiten die Lösung rauszubekommen..
((1+i)(2-i)/(1-i)) ((1-i)(2+i)/(1+i))
+26388 Ich glaube aber dass Sie mich falsch verstanden haben oder ich es falsch formuliert habe :( {nl} Könnten Sie mir bitter erneut helfen .. Ich sende Ihnen ein Bild von der Aufgabe, vielleicht schafft das etwas mehr Ordnung
\(\begin{array}{lrcl} \mathbf{(b)} & z = \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\\\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot \left( \frac{ 1+i } { 1+i } \right)\\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { (1-i)(1+i) } \\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { 1-i^2 } \\ & &&= \frac{ 1+2i+i^2 } { 1-i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ & &&= \frac{ 1+2i-1 } { (1+1) } \\ & &&= \frac{ 2i } { 2 } \\ & &&= i \\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = i\\\\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& i \cdot (2-i) \\ & &=& 2i - i^2 \\ & &=& 2i +1 \\ & \mathbf{ z = \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\\\\\ & \mathbf{ z } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\ & \mathbf{ z^* } &=& \mathbf{ 1 {\color{red}-} 2i } \end{array}\)
\(\boxed{~ \text{Für }~ z=a+b\,\mathrm{i} ~ \text{ in algebraischer Form ist } \\ \qquad r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot z^*}. ~}\)
\(\begin{array}{rcl} z=1+2i \quad a = 1 \quad b = 2\\ r &=& |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \\ r &=& \sqrt{1^2 + 2^2} \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{\sqrt{5}} \\\\ r &=& \sqrt{z \cdot z^*} \\ r &=& \sqrt{(1+2i) \cdot (1-2i) } \\ r &=& \sqrt{ 1^2 - (2i)^2 } \\ r &=& \sqrt{ 1^2 - 4i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ r &=& \sqrt{ 1 - 4(-1) } \\ r &=& \sqrt{ 1 + 4 } \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{\sqrt{5}} \end{array}\)
+14538 Guten Tag !
alles in Kurzfassung ! Beachte ( -i² = 1 )
1. Aufgabe: Bruch mit ( 1 + i ) erweitern
Zähler => 2 i *( i + 2) Nenner => 1 - i² = 1 + 1 = 2
Z / N = i *(i + 2 ) = i² + 2 i = 2i - 1
2. Aufgabe etwas später !
Gruß radix 
!
+14538 Hier die 2. Aufgabe in Kurzfassung :
Bruch mit ( 1 + i ) erweitern
Zähler => ( 1 - i )*(-1 + i )*(i + 2 ) = 4i - 2
Nenner => (i-1)*(i+1) = i² - 1 = -2
Z / N => (4i - 2 ) / (-2) = 1 - 2i
Ich hoffe, dass du mit meiner Kurzfassung klar kommst !
Gruß radix ! ( falls noch Fragen, bitte melden !)
+14538 Hallo ikonhin !
Wenn zwischen meinen Lösüngen für 2 Aufgaben ein Mal-Zeichen steht, geht die Aufgabe ganz einfach weiter:
( 2i - 1 )*(1 - 2i ) = 2i -4i² -1 + 2i = 4i² +4 - 1 = 4i + 3
Gruß radix !
+53 Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort !
Ich glaube aber dass Sie mich falsch verstanden haben oder ich es falsch formuliert habe :(
Könnten Sie mir bitter erneut helfen .. Ich sende Ihnen ein Bild von der Aufgabe, vielleicht schafft das etwas mehr Ordnung
Mit liebem Gruß :)
+26388 Guten Tag :) Wie errechne ich diese Aufgabe.. habe Schwierigkeiten die Lösung rauszubekommen..
1. ((1+i)(2-i)/(1-i))
2. ((1-i)(2+i)/(1+i))
\(\begin{array}{lrcl} \mathbf{1.} & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\\\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot \left( \frac{ 1+i } { 1+i } \right)\\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { (1-i)(1+i) } \\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { 1-i^2 } \\ & &&= \frac{ 1+2i+i^2 } { 1-i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ & &&= \frac{ 1+2i-1 } { (1+1) } \\ & &&= \frac{ 2i } { 2 } \\ & &&= i \\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = i\\\\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& i \cdot (2-i) \\ & &=& 2i - i^2 \\ & &=& 2i +1 \\ & \mathbf{ \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\\\\\ \\ \hline \\ \mathbf{2.} & \frac{ (1-i)(2+i) } { 1+i } &=& \frac{ (2+i) } { \left( \frac{ 1+i } { 1-i }\right) } \qquad | \qquad \frac{ 1+i } { 1-i } = i\\ &&=& \frac{ (2+i) } { i } \\ &&=& \frac{ 2 } { i } + 1 \\ &&=& \frac{ 2 } { i }\cdot \left( \frac{-i}{-i} \right) + 1\\ &&=& \frac{ -2i } { -i^2 } + 1 \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ &&=& \frac{ -2i } { 1 } + 1 \\ &&=& -2i + 1 \\ & \mathbf{ \frac{ (1-i)(2+i) } { 1+i } } &=& \mathbf{ 1 - 2i }\\\\\\ \end{array}\)
+26388 Ich glaube aber dass Sie mich falsch verstanden haben oder ich es falsch formuliert habe :( {nl} Könnten Sie mir bitter erneut helfen .. Ich sende Ihnen ein Bild von der Aufgabe, vielleicht schafft das etwas mehr Ordnung
\(\begin{array}{lrcl} \mathbf{(b)} & z = \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\\\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot \left( \frac{ 1+i } { 1+i } \right)\\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { (1-i)(1+i) } \\ & &&= \frac{ (1+i)^2 } { 1-i^2 } \\ & &&= \frac{ 1+2i+i^2 } { 1-i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ & &&= \frac{ 1+2i-1 } { (1+1) } \\ & &&= \frac{ 2i } { 2 } \\ & &&= i \\ & && \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) = i\\\\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& \left( \frac{ 1+i } { 1-i } \right) \cdot (2-i) \\ & \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } &=& i \cdot (2-i) \\ & &=& 2i - i^2 \\ & &=& 2i +1 \\ & \mathbf{ z = \frac{ (1+i)(2-i) } { 1-i } } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\\\\\ & \mathbf{ z } &=& \mathbf{ 1 + 2i }\\ & \mathbf{ z^* } &=& \mathbf{ 1 {\color{red}-} 2i } \end{array}\)
\(\boxed{~ \text{Für }~ z=a+b\,\mathrm{i} ~ \text{ in algebraischer Form ist } \\ \qquad r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot z^*}. ~}\)
\(\begin{array}{rcl} z=1+2i \quad a = 1 \quad b = 2\\ r &=& |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \\ r &=& \sqrt{1^2 + 2^2} \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{\sqrt{5}} \\\\ r &=& \sqrt{z \cdot z^*} \\ r &=& \sqrt{(1+2i) \cdot (1-2i) } \\ r &=& \sqrt{ 1^2 - (2i)^2 } \\ r &=& \sqrt{ 1^2 - 4i^2 } \qquad | \qquad i^2 = -1 \\ r &=& \sqrt{ 1 - 4(-1) } \\ r &=& \sqrt{ 1 + 4 } \\ \mathbf{r} &\mathbf{=}& \mathbf{\sqrt{5}} \end{array}\)
