heureka

Morgen. Kann mir einer mal eben kurz die folgende Aufgabe vorrechnen? Den Rest sollte ich dann selber können.

102ac - 114bc

------------------
85a - 95b
 

Hallo Ramon

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{102ac - 114bc}{85a - 95b} &=&\dfrac{ c\cdot \left( 102a - 114b\right) }{85a - 95b} \\\\ &=&\dfrac{ c\cdot 1,2\cdot \left( 85a - 95b\right) }{\left(85a - 95b\right) } \\\\ &=& c\cdot 1,2 \end{array}\)

Addiert man eine Zahl x die Zahl 6 und multipliziert diese Summe mit dem Vierfachen der Zahl, so erhält mann 288. Wie lautet x

\(\begin{array}{rcl} (x+6)\cdot 4x &=& 288 \qquad | \qquad :4\\ (x+6)\cdot x &=& 72 \\ x^2 +6x-72 &=& 0\\ \boxed{~ \begin{array}{rcl} x^2+px+q &=& 0\\ x_{1,2} &=& -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\ \end{array} ~}\\ x_{1,2} &=& -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\frac{6^2}{4} + 72}\\ x_{1,2} &=& -3 \pm \sqrt{9 + 72}\\ x_{1,2} &=& -3 \pm \sqrt{81}\\ x_{1,2} &=& -3 \pm 9\\ x_1 &=& -3 + 9\\ \mathbf{x_1} & \mathbf{=} & \mathbf{6} \\\\ x_2 &=& -3 - 9\\ \mathbf{x_2} & \mathbf{=} & \mathbf{-12} \end{array}\)

x = 6 oder x = -12

Hey Leute, würde gerne wissen wie man folgendes herausfindet...Ich suche schon verzweifelt nach einer Antwort ..

"Finde die normierte quadratische Gleichung mit den gegebenen Lösungen"

x1 = -1

x2 = 4

Wie rechnet man das? Wie soll ich bitte durch die Lösung die Rechnung herausfinden? Würde mich freuen, falls mir jemand helfen kann. Danke im Voraus:)

Da hilft der Satz von Vieta:

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet

\(ax^2+bx+c=0\)

Um den Satz von Vieta anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in der sog. "Normalform" vorliegen:

\(x^2+px+q=0\)

Normalform bedeutet, dass der Koeffizient vor \(x^2\) gleich 1 ist. Die Normalform erhält man, indem man die Gleichung durch den Koeffizienten vor dem \(x^2 \)(also durch a) teilt.

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen p und q und den Lösungen der Gleichung \(x_1\) und \(x_2\) her:

\(x_1+x_2=−p\)

\(x_1 \cdot x_2=q\)

Wir rechnen nun:

\(x_1 = -1\\ x_2 = 4\)

somit erhalten wir für

\(\begin{array}{rcl} -p &=& x_1 + x_2\\ -p &=& -1 + 4\\ -p &=& 3\\ p &=& -3 \end{array}\)

und für

\(\begin{array}{rcl} q &=& x_1\cdot x_2 \\ q &=& (-1)\cdot (4) \\ q &=& -4 \end{array}\)

und somit die "Normalform"

\(\mathbf{x^2 -3x-4 = 0}\)

30 quadrat dm gleich 3 quadrat m stmmt es ? NEIN!

\(\begin{array}{rcl} 30 \ dm^2 &=& 30\cdot dm\cdot dm \\ &=& 30\cdot dm \cdot \frac{1\ m}{10\ dm} \cdot dm \cdot \frac{1\ m}{10\ dm} \\ &=& 30\cdot \frac{ dm \cdot\ m}{10\ dm} \cdot \frac{dm \cdot\ m}{10\ dm} \\ &=& 30\cdot \frac{m}{10} \cdot \frac{m}{10} \\ &=& 30\cdot \frac{m^2}{100}\\ &=& \frac{30}{100}\ m^2\\ &=& \frac{3}{10}\ m^2\\ &=& 0,3\ m^2\\ \end{array}\)

Wenn ein Produkt -11 Prozent runtergeesetzt ist und jetzt 7,99€ kostet,wie war der Erstpreis?

\(\begin{array}{rcl} \text{Erstpreis } \cdot(100\%-11\%) &=& 7,99\ € \\ \text{Erstpreis } \cdot(\frac{100}{100}-\frac{11}{100}) &=& 7,99\ € \\ \text{Erstpreis } \cdot(1-0,11) &=& 7,99\ € \\ \text{Erstpreis } \cdot(0,89) &=& 7,99\ € \\ \text{Erstpreis } &=& \frac{7,99}{0,89}\ € \\ \text{Erstpreis } &=& 8,98\ € \\ \end{array}\)

Okey you have 48 apples In a total they are divided in 3 groups 1. 22 apples 2. 14 apples 3. 12 apples So you must move so every group has equal amout of Apples,so lets say i have 22 apples,if i want to give them to group 3 i must give them 12 apples not more not less since they have only 12,after you do this max 3 times its solved so pls help

\(\begin{array}{rrrr} \hline & 22 & 14 & 12 \\ \hline & -2 & 0 & +2 \\ =& 20 & 14 & 14 \\ & -4 & +4 & 0 \\ =& 16 & 18 & 14 \\ & 0 & -2 & +2 \\ = & 16 & 16 & 16 \\ \hline \end{array}\)

ABC is a triangle. D, E and F are the respective middles of segments [AB], [AC] and [BC].

A line d passing through A intersects with (DE) in G, a line d' passing through C intersects with (EF) in H.

Under what condition are lines (AG) and (CH) parallel?

You can get to an hypothesis, then prove it, using the Cartesian coordinate system of origin E. Good luck!

Nota Bene: The problem was originally in French, I had to translate it by myself. I apologize if the translation is wrong or if there are mistakes in notations or something. If you cannot do the exercise because of this, say it in the comments, I'll do my best to fix it. Thanks.

I. Ths sides of the triangle ABC are: a = (BC), b = (AC) , c = (AB)

II.  (DE) \(\parallel\) (BC) and (EF) \(\parallel\) (AB).

Proof:

The angles of the triangle are: A = BAC,  B = CBA, C = ACB

1. Cos-Rule:

Let x = (DE) then: \(\begin{array}{rcll} (1): & \quad x^2 &=& (\frac{b}{2})^2 + (\frac{c}{2})^2 - 2\frac{b}{2}\frac{c}{2}\cdot\cos{(A)} \qquad | \qquad \cdot 4\\ & 4x^2 &=& b^2 +c^2 - 2bc\cdot\cos{(A)} \\ (2): & a^2 &=& b^2 +c^2 - 2bc\cdot\cos{(A)} \\ \hline \text{compare:} & 4x^2 &=& a^2 \\ \text{we find:} & x &=& \frac{a}{2}\\ \text{or} & (DE) &=& \frac{(BC)}{2} \end{array}\)

2. Sin-Rule:

Let \(\epsilon\) = angle ADE then: \(\begin{array}{rcll} (1): & \quad \frac{\sin{(\epsilon)} } {\frac{b}{2} } &=& \frac{\sin{(A)} } { \frac{a}{2} } \\ & \quad \frac{\sin{(\epsilon)} } { b } &=& \frac{\sin{(A)} } { a } \\ (2): & \quad \frac{\sin{(B)} } { b } &=& \frac{\sin{(A)} } { a } \\ \hline \text{compare:} & \sin{(\epsilon)} &=& \sin{(B)}\\ \text{we find:} & \epsilon &=& B\\ \end{array}\)

so we have (DE) \(\parallel\) (BC)

\(\begin{array}{rcll} \text{permute and we have: } \quad (EF) &=& \frac{(AB)}{2} = \frac{(c)}{2} \\ \text{and angle } CFE &=& B\\ \text{so we have also } \quad \mathbf{(FE) \parallel (AB)} \end{array}\)

III.

\(\begin{array}{rcll} \vec{a} &=& \vec{B} - \vec{C}\\ \vec{c} &=& \vec{B} - \vec{A}\\ \vec{GE} = \vec{G} - \vec{E} &=& \lambda \cdot \vec{a} \\ \vec{HE} = \vec{H} - \vec{E} &=& \mu \cdot \vec{c} \\ \vec{AE} = \vec{A} - \vec{E} &=& \frac{ \vec{a} }{2} - \frac{ \vec{c} }{2} \\ \vec{CE} = \vec{C} - \vec{E} &=& \frac{ \vec{c} }{2} - \frac{ \vec{a} }{2} \\ \hline \vec{d} &=& \vec{GE} - \vec{AE}\\ \vec{d'} &=& \vec{HE} - \vec{CE}\\ \hline \vec{d} = \lambda \cdot \vec{a} - \frac{ \vec{a} }{2} + \frac{ \vec{c} }{2} \\ \vec{d'} = \mu \cdot \vec{c} - \frac{ \vec{c} }{2} + \frac{ \vec{a} }{2} \\ \mathbf{If } \quad |\vec{d} \times \vec{d'} | = 0 \quad \text{ then } \quad \vec{d} \parallel \vec{d'}\\ \hline | \vec{d} \times \vec{d'} | &=& 0 \\ |(\lambda \cdot \vec{a} - \frac{ \vec{a} }{2} + \frac{ \vec{c} }{2}) \times (\mu \cdot \vec{c} - \frac{ \vec{c} }{2} + \frac{ \vec{a} }{2} )| &=& 0 \\ \lambda \mu | \vec{a}\times \vec{c} | - \frac{\lambda}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | + \underbrace{\frac{\lambda}{2 } |\vec{a}\times {\vec{a} }| }_{\text{area}=0} \\ - \frac{\mu}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | + \frac{1}{4 } |\vec{a}\times \vec{c} | - \underbrace{\frac{1}{4 } |\vec{a}\times \vec{a}| }_{\text{area}=0}\\ + \underbrace{\frac{\mu}{2 } |\vec{c}\times \vec{c} | }_{\text{area}=0} - \underbrace{\frac{1}{4 } |\vec{c}\times \vec{c} | }_{\text{area}=0} + \frac{1}{4 } |\vec{c}\times \vec{a} | &=& 0 \\ \lambda \mu | \vec{a}\times \vec{c} | - \frac{\lambda}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | - \frac{\mu}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | \\ + \frac{1}{4 } |\vec{a}\times \vec{c} | + \frac{1}{4 } |\vec{c}\times \vec{a} | &=& 0 \\ \lambda \mu | \vec{a}\times \vec{c} | - \frac{\lambda}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | - \frac{\mu}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | \\ + \frac{1}{4 } |\vec{a}\times \vec{c} | - \frac{1}{4 } |\vec{a}\times \vec{c} | &=& 0 \\ \lambda \mu | \vec{a}\times \vec{c} | - \frac{\lambda}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | - \frac{\mu}{2 } |\vec{a}\times \vec{c} | &=& 0 \\ \hline \underbrace{| \vec{a}\times \vec{c} |}_{\ne 0} \underbrace{(\lambda \mu- \frac{\lambda}{2 }- \frac{\mu}{2 } )}_{=0} &=& 0 \\ \mathbf{ \lambda \mu- \frac{\lambda}{2}- \frac{\mu}{2} }&\mathbf{=}& \mathbf{0}\\ \end{array} \)

\(\begin{array}{rcll} \boxed{~ \begin{array}{lrcl} & \lambda \mu- \frac{\lambda}{2}- \frac{\mu}{2} & = & 0 \\ & 2\lambda \mu &=& \lambda - \mu \\ \hline & 2\lambda -1 &=& \frac{\lambda}{\mu} \\ & \color{red} \mu & \color{red}=& \color{red}\frac{\lambda}{2\lambda -1} \\ \text{or } & 2\mu -1 &=& \frac{\mu}{\lambda} \\ & \color{red} \lambda & \color{red}=& \color{red}\frac{\mu}{2\mu -1} \\ \text{or } & (2\lambda -1)(2\mu -1) &=& 1 \\ \end{array} ~} \end{array}\)

IV. Solution

\(\begin{array}{rcll} \vec{a} &=& \vec{B} - \vec{C}\\ \vec{c} &=& \vec{B} - \vec{A}\\ \vec{GE} = \vec{G} - \vec{E} &=& \lambda \cdot \vec{a} \\ \vec{HE} = \vec{H} - \vec{E} &=& \mu \cdot \vec{c} \\ \hline \boxed{~ \begin{array}{rcll} \vec{GE} = \vec{G} - \vec{E} &=& \lambda \cdot \vec{a} \\ \vec{HE} = \vec{H} - \vec{E} &=& \frac{\lambda}{2\lambda -1} \cdot \vec{c} \\ \vec{GE} = \vec{G} - \vec{E} &=& \lambda \cdot ( \vec{B} - \vec{C} ) \\ \vec{HE} = \vec{H} - \vec{E} &=& \frac{\lambda}{2\lambda -1} \cdot ( \vec{B} - \vec{A} ) \\ d \parallel d' \text{ or } \vec{(GA)} \parallel \vec{(HC)} \end{array} ~} \end{array} \)

Man kann da also nur mit der Grafik oder einer Wertetabelle was machen.

Hallo Gast,

in der Praxis löst man dies mit Iterationsmethoden.

Eines davon ist das sehr schnelle Newton-Verfahren (hierfür benötigt man die 1. Ableitung),

ein weiteres ist die Regula-falsi - Methode.

und noch ein weiteres Verfahren ist die Iteration mit der Fixpunktmethode.

Es gibt noch einige mehr.

Wenn man allerdings mit der Ungleichung arbeitet wird alles viel schwieriger.

nullstelle von 4x3-8x2-11x-3

Alle Teiler von -3 können eine Nullstelle sein.

Als Teiler kommen somit in Frage (\(\pm 1\), \(\pm 3\) )

Wir testen:

\(\begin{array}{rrcll} -1 \ ? & 4(-1)^3-8(-1)^2-11(-1) -3 &=& -4 \qquad & x=-1 \text{ ist keine Nullstelle}\\ 1 \ ? & 4(1)^3-8(1)^2-11(1) -3 &=& -18 \qquad & x=1 \text{ ist keine Nullstelle} \\ -3 \ ? & 4(-3)^3-8(-3)^2-11(-3) -3 &=& -150 \qquad & x=-3 \text{ ist keine Nullstelle}\\ 3 \ ? & 4(3)^3-8(3)^2-11(3) -3 &=& 0 \qquad & \mathbf{x=3 \text{ ist eine Nullstelle} } \end{array}\)

1. Lösung x = 3

\(\small{ \begin{array}{rcll} (x-3)( \dots ? \dots ) &=& 0 \\ (x-3)( ax^2+bx+c ) &=& 0 \\ ax^3+bx^2+xc-3ax^2-3bx-3c &=& 0 \\ ax^3+x^2(b-3a) +x(c-3b)-3c &=& 0 \quad \text{Koeffizientenvergleich} \quad 4x^3-8x^2-11x-3= 0\\ \hline a&=&4\\\\ b-3a &=& -8\\ b &=& 3a-8\\ b &=& 3\cdot 4 - 8 \\ b &=& 12-8\\ b &=& 4\\\\ c-3b &=& -11 \\ c &=& 3b -11\\ c &=& 3\cdot 4 - 11 \\ c &=& 12-11\\ c &=& 1 \\\\ \text{Kontrolle:} -3c &=& -3\\ c &=& 1\ \text{ okay}\\ \hline (x-3)(\underbrace{4x^2+4x+1}_{=0}) &=& 0 \\\\ 4x^2+4x+1 &=&0 \\ \hline ax^2+bx+c &=& 0\\ x &=& {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \\ \hline x_{2,3} &=& {-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 4 \cdot 1} \over 2\cdot 4} \\ x_{2,3} &=& {-4 \pm \sqrt{16-16} \over 8} \\ x_{2,3} &=& {-4 \pm \sqrt{0} \over 8} \\ x_{2} &=& {-4 \over 8} \\ x_{2} &=& -{1 \over 2} \\ \end{array} }\)

2. Lösung \(x_2 = -\frac12\)

Hallo Heureka,

hast Du eine Idee, wie man den Nachweis rechnerisch erbringt. Zeichnerisch kann man das nachweisen. Aber rechnerisch...?

Die maximale Abweichung von \(g(x) = f_{-3}(x)-h(x)\) wäre, wenn man die 1. Ableitung von \(g(x)\) auf 0 zu setzt.

Also \(g'(x) = f_{-3}'(x) - h'(x) = 0\). 

\(f_{-3}(x) = -1.5x^4-6x^3-6x^2\qquad f^{'}_{-3}(x) = -6x^3-18x^2-12x\\ h(x) = 0.75\cdot \cos \left(\pi \cdot x\right)-0.75 \qquad h^{'}(x) = -0.75\cdot \pi \cdot \sin \left(\pi \cdot x\right)\\\)

\(g'(x) =-6x^3-18x^2-12x +0.75\cdot \pi \cdot \sin \left(\pi \cdot x\right) ] = 0 \)

Aber diese Gleichung läßt sich nicht elementar nach x auflösen.

\(x_{\text{maximale Abweichung}}\) aus der Graphik wäre -0.43533504 mit einem \(y_{\text{maximale Abweichung}}\) von - 0.0972725

Der Symmetrie wegen auch:

\(x_{\text{maximale Abweichung}}\) aus der Graphik wäre -1.56466496 mit einem \(y_{\text{maximale Abweichung}}\) von - 0.0972725

Die Differenz wäre dann \(1- \dfrac{h ( x_\text{maximale Abweichung} ) } { f_{-3}{( x_\text{maximale Abweichung} )} } = 1- \dfrac{-0,59868263}{-0.6959551}=0.1397683126 > 0.1\)