+26341 nullstelle von 4x3-8x2-11x-3
Alle Teiler von -3 können eine Nullstelle sein.
Als Teiler kommen somit in Frage (\(\pm 1\), \(\pm 3\) )
Wir testen:
\(\begin{array}{rrcll} -1 \ ? & 4(-1)^3-8(-1)^2-11(-1) -3 &=& -4 \qquad & x=-1 \text{ ist keine Nullstelle}\\ 1 \ ? & 4(1)^3-8(1)^2-11(1) -3 &=& -18 \qquad & x=1 \text{ ist keine Nullstelle} \\ -3 \ ? & 4(-3)^3-8(-3)^2-11(-3) -3 &=& -150 \qquad & x=-3 \text{ ist keine Nullstelle}\\ 3 \ ? & 4(3)^3-8(3)^2-11(3) -3 &=& 0 \qquad & \mathbf{x=3 \text{ ist eine Nullstelle} } \end{array}\)
1. Lösung x = 3
\(\small{ \begin{array}{rcll} (x-3)( \dots ? \dots ) &=& 0 \\ (x-3)( ax^2+bx+c ) &=& 0 \\ ax^3+bx^2+xc-3ax^2-3bx-3c &=& 0 \\ ax^3+x^2(b-3a) +x(c-3b)-3c &=& 0 \quad \text{Koeffizientenvergleich} \quad 4x^3-8x^2-11x-3= 0\\ \hline a&=&4\\\\ b-3a &=& -8\\ b &=& 3a-8\\ b &=& 3\cdot 4 - 8 \\ b &=& 12-8\\ b &=& 4\\\\ c-3b &=& -11 \\ c &=& 3b -11\\ c &=& 3\cdot 4 - 11 \\ c &=& 12-11\\ c &=& 1 \\\\ \text{Kontrolle:} -3c &=& -3\\ c &=& 1\ \text{ okay}\\ \hline (x-3)(\underbrace{4x^2+4x+1}_{=0}) &=& 0 \\\\ 4x^2+4x+1 &=&0 \\ \hline ax^2+bx+c &=& 0\\ x &=& {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \\ \hline x_{2,3} &=& {-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 4 \cdot 1} \over 2\cdot 4} \\ x_{2,3} &=& {-4 \pm \sqrt{16-16} \over 8} \\ x_{2,3} &=& {-4 \pm \sqrt{0} \over 8} \\ x_{2} &=& {-4 \over 8} \\ x_{2} &=& -{1 \over 2} \\ \end{array} }\)
2. Lösung \(x_2 = -\frac12\)
!
