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How do i solve, cos(2x)=-cos(x)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} & \cos{(2x)} &=& -\cos{(x)} \\ & \mathbf{\cos{(2x)} + \cos{(x)} } & \mathbf{=} & \mathbf{0} \\ \\ \hline \\ \text{Formula derivation } & \cos{(ux+vx)} = \cos{(ux)}\cos{(vx)} - \sin{(ux)}\sin{(vx)}\\ & \cos{(ux-vx)} = \cos{(ux)}\cos{(vx)} + \sin{(ux)}\sin{(vx)}\\ & \cos{(ux+vx)} + \cos{(ux-vx)} = 2 \cos{(ux)}\cos{(vx)} \\ & & ux+vx = nx &\qquad uv-vx = mx\\ & &(1)~~ u+v = n & \qquad (2)~~u-v = m\\ (1) + (2) & n+ m = 2u \qquad u=\frac{n+m}{2}\\ (1) - (2) & n- m = 2v \qquad v=\frac{n-m}{2}\\ \end{array} }\\ \small{ \boxed{~ \cos{(nx)} + \cos{(mx)} = 2 \cos{ \left(\frac{n+m}{2}x \right)}\cos{ \left(\frac{n-m}{2}x \right)} ~} } \)

\(n=2 \qquad m=1\\ u=\frac{2+1}{2} = \frac32\\ v= \frac{2-1}{2}=\frac12\\ \)

\(\small{ \begin{array}{rcl} \cos{(2x)} + \cos{(x)} &=& 2\cos{ \left(\frac32 x \right) }\cos{ \left(\frac12 x \right) } &=& 0\\ 2\cos{ \left(\frac32 x \right) }\cos{ \left(\frac12 x \right) } &=& 0 \qquad | \qquad : 2 \\ \cos{ \left(\frac32 x \right) }\cos{ \left(\frac12 x \right) } &=& 0 \qquad \text{ setting each factor to 0}\\ \end{array} }\\ \small{ \begin{array}{lrcll} \\ 1. & \cos{ \left(\frac32 x \right) } &=& 0 \qquad & | \qquad \pm\arccos{()} \\ & \frac32 x &=& \pm\arccos{(0)} \pm 2k\pi \qquad & | \qquad \arccos{(0)} = \frac{\pi}{2} \\ & x &=& \frac{2}{3} ( \pm\frac{\pi}{2} \pm 2k\pi )\\ &\mathbf{ x } & \mathbf {=} & \mathbf{ \pm\frac{\pi}{3} \pm \frac{4}{3}k\pi }\qquad & | \qquad k \in N \\ \end{array} }\\ \small{ \begin{array}{lrcll} \\ 2. & \cos{ \left(\frac12 x \right) } &=& 0 \qquad & | \qquad \pm\arccos{()} \\ & \frac12 x &=& \pm\arccos{(0)} \pm 2k\pi \qquad & | \qquad \arccos{(0)} = \frac{\pi}{2} \\ & x &=& 2 \cdot ( \pm\frac{\pi}{2} \pm 2k\pi )\\ &\mathbf{ x } & \mathbf {=} & \mathbf{ \pm\pi \pm 4\cdot k\pi }\qquad & | \qquad k \in N \\ \end{array} }\\\)

Das System läßt eine Korrektur nicht mehr zu, wenn man einmal das System verlassen hat.

Ich muss meine Formel zur Berechnung des Volumens einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide dahingehend einschränken.

Sie gilt nur in diesem Fall, wenn die Neigung der Pyramide \(\frac{h}{s}=\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) ist.

\(\small{ \boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}_{h=4,s=10}} = \frac{a^3}{\sqrt{7}} ~} \text{ gilt nur in unserem Fall mit unseren Zahlen } h = 4 \text{ und } s=10 }\)

Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.

Ich berechne die Pyramide bis zur  Spitze und ziehe die Pyramide über dem Pyramidenstumpf wieder ab und erhalte somit das Volumen vom Pyramidenstumpf:

Bezeichnungen:

\(V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} = 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H)\)

\(G=\frac{a\cdot a\sin{(\alpha)}}{2} \qquad | \qquad \sin{(\alpha)} = \sin{(60^{\circ} )} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathbf{G = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}}\)

Strahlensatz: \(x^2+h^2=s^2 \quad \rightarrow x = \sqrt{10^2-4^2}\\ \mathbf{x = \sqrt{84}} \\\\ \frac{x}{4} = \frac{a}{H}\\ H = \frac{4a}{x}\\ \mathbf{H = \frac{4a}{\sqrt{84}}}\)

\(\begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} &=& 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H) \\ &=& 6\cdot (\frac13 \frac{a^2}{4} \sqrt{3} \cdot \frac{4a} {\sqrt{84}}) \\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ \sqrt{84}}\\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\sqrt{7}}\\ &=& \frac{a^3} {\sqrt{7}} \end{array}\)

Allgemein gilt also:  Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide lautet:

\(\boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}}=\frac{a^3}{\sqrt{7}} ~ } \qquad \text{wobei } a \text{ die Grundkante ist}\)

Das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnet sich nun aus der Differenz zweier regelmäßiger sechseckiger Pyramiden. Die Pyramide bis zur  Spitze und die Pyramide über dem Pyramidenstumpf.

\(\small{ \begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{a^3}{\sqrt{7}}-\frac{a_2^3}{\sqrt{7}} \\ \text{Grundkante der Pyramide auf dem Pyramidenstumpf bis zur Spitze } a_2 &=& a-x=12-\sqrt{84}\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{12^3}{\sqrt{7}}-\frac{(12-\sqrt{84})^3}{\sqrt{7}} \\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} \left[ 12^3-(12-\sqrt{84})^3 \right]\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} ( 1728 - 22.7818828056)\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} (1705.21811719 )\\ \mathbf{V_{\text{Pyramidenstumpf}}} & \mathbf{=} & \mathbf{ 644.511867031 }\\ \end{array} }\)

estimate the area under the curve y(x) = ln(x) from x=1 to x=2

\(\boxed{~ \int \limits_{x=1}^{x=2} \ln{(x)}\ dx = \ ? ~ }\)

\(\text{Integration by parts } \boxed{~ \int u'v= uv - \int uv' ~} \\ \begin{array}{rclcrcl} u' &=& 1 && v&=& \ln{(x)} \\ u &=& x && v' &=& \frac{1}{x}\\\\ \int 1\cdot \ln{(x)} \ dx &=& x\cdot \ln{(x)} -\int x\cdot \frac{1}{x} \ dx\\ &=& x\cdot \ln{(x)} -\int \ dx\\ \int 1\cdot \ln{(x)} \ dx &=& x\cdot \ln{(x)} - x\\\\ \end{array}\\ \begin{array}{rcl} \int \limits_{x=1}^{x=2} \ln{(x)}\ dx &=& \left[ x\cdot \ln{(x)} - x \right]_{1}^{2}=2\cdot \ln{(2)-2} - [ 1\cdot \ln{(1)}-1] \qquad | \qquad \ln{(1)} = 0 \\ &=& 2\cdot \ln{(2)}-2 - (-1)\\ &=& 2\cdot \ln{(2)}-2 +1\\ &=& 2\cdot \ln{(2)}-1\\ \mathbf{ \int \limits_{x=1}^{x=2} \ln{(x)}\ dx }& \mathbf{=} & \mathbf{ 0.38629436112 } \end{array}\)

The area under the curve y(x) = ln(x) from x=1 to x=2 is 0.38629436112

A space shuttle 200 miles above the earth is orbiting the earth once every 12 hours. How far does the shuttle travel in 1 hour? (Assume the radius of the earth is 4,000 miles.) Give your answer as both an exact value and an approximation to three significant digits

orbit = \(2\pi \cdot (4000+200)\ \text{miles} = 2\pi\cdot 4200 \ \text{miles}\)

velocity = \(\frac{orbit}{12 \ \text{hours} } = \frac{ 2\pi \cdot 4200\ \text{miles} } {12 \ \text{hours} } = \frac{ \pi \cdot 4200\ \text{miles} } { 6 \ \text{hours} } = 700\pi \cdot \frac{ \text{miles} } { \text{hour} } \)

The shuttle travel in 1 hour

\(700\cdot\pi \ \text{miles} = 2199.11485751\ \text{miles} \approx2199.115 \ \text{miles} \)

Kann mir jemand sagen in welchen Zwischenschritten man diese Gleichung auflöst?

1/(sqrt(x))-1/(2*sqrt(20-x))=0

Mir geht es insbesondere um das Auflösen der Brüche bzw. die Wurzeln aus dem Nenner zu bekommen.

\(\small{ \begin{array}{rcll} \frac{1} { \sqrt{x} }- \frac{1} { 2 \sqrt{20-x} } &=& 0 \qquad &| \qquad +\frac{1} { 2 \sqrt{20-x} }\\ \frac{1} { \sqrt{x} } &=& \frac{1} { 2 \sqrt{20-x} } \qquad & | \qquad \text{beide Seiten quadrieren}\\ \left( \frac{1} { \sqrt{x} } \right)^2 &=& \left( \frac{1} { 2 \sqrt{20-x} } \right)^2\\ \frac{1} { \left( \sqrt{x} \right)^2 } &=& \frac{1} { \left( 2 \sqrt{20-x} \right)^2 }\\ \frac{1} { \left( \sqrt{x} \right)^2 } &=& \frac{1} { 4 \left( \sqrt{20-x} \right)^2 }\\ \frac{1}{x} &=& \frac{1}{4(20-x)} \qquad & | \qquad \cdot x\\ \frac{x}{x} &=& \frac{x}{4(20-x)} \\ 1 &=& \frac{x}{4(20-x)} \qquad & | \qquad \cdot 4(20-x)\\ 4(20-x) &=& x\cdot \frac{4(20-x)}{4(20-x)} \\ 4(20-x) &=& x \\ 80 - 4x &=& x \qquad & | \qquad + 4x\\ 80 &=& 5x \\ 5x &=& 80 \qquad & | \qquad :5 \\ x &=& \frac{80}{5} \\ \mathbf{ x } & \mathbf{=} & \mathbf{16} \end{array} }\)

Probe:

\(\frac{1}{4} - \frac{1}{2\cdot 2} = 0 \qquad \text{okay}\)

\(\begin{array}{rcll} 0 &=& 4-4+4-4 \\ 1 &=& \frac44 + 4 - 4\\ 2 &=& \frac44 + \frac44\\ 3 &=& \frac{4+4+4}{4}\\ 4 &=& \frac{4-4}{4}+4\\ 5 &=& \frac{4\cdot 4+4}{4 }\\ 6 &=& \sqrt{4}+4+4-4\\ 7 &=& 4+4- \frac44\\ 8 &=& 4+4+4-4\\ 9 &=& 4+4+ \frac44\\ 10 &=& \sqrt{4} + \sqrt{4}+\sqrt{4} + 4 \\ 11 &=& \frac{4!+4!-4}{4} \\ 12 &=& \sqrt{4} + \sqrt{4} + 4 + 4 \\ 13 &=& \frac{4!+4!+4}{4} \\ 14 &=& 4+4+4+\sqrt{4} \\ 15 &=& 4\cdot 4-\frac44 \\ 16 &=& 4+4+4+4 \\ 17 &=& 4\cdot 4+\frac44 \\ 18 &=& 4\cdot 4+4-\sqrt{4} \\ 19 &=& 4!-4-\frac44 \\ 20 &=& ( 4+\frac44 )\cdot 4 \\ 21 &=& 4!-4+\frac44 \\ 22 &=& (4!)^{ \frac44 }-\sqrt{4} \\ 23 &=& 4!-\sqrt{4}+\frac44 \\ 24 &=& 4\cdot 4 +4+4 \\ 25 &=& 4!+\sqrt{4}-\frac44 \\ 26 &=& (4!)^{ \frac44 }+\sqrt{4} \\ 27 &=& 4!+4-\frac44 \\ 28 &=& (4+4)\cdot 4-4 \\ 29 &=& 4!+4+\frac44 \\ 30 &=& 4\cdot 4 \cdot \sqrt{4} - \sqrt{4} \\ 31 &=& 4!+ \frac{4!+4}{4} \\ 32 &=& 4\cdot 4+4\cdot 4 \\ 33 &=& \Gamma{(4)}^{\sqrt{4}}- \frac{ \Gamma{(4)} } {\sqrt{4} } \\ 34 &=& 4\cdot 4 \cdot \sqrt{4} + \sqrt{4} \\ 35 &=& 4!+ \frac{ 4!-\sqrt{4} }{\sqrt{4}} \\ 36 &=& ( 4 + 4 ) \cdot 4 +4 \\ 37 &=& 4!+ \frac{ 4!+\sqrt{4} } {\sqrt{4}} \\ 38 &=& 4!+4\cdot 4-\sqrt{4} \\ 39 &=& \Gamma{(4)}^{\sqrt{4}}+ \frac{ \Gamma{(4)} } {\sqrt{4} } \\ 40 &=& 4\cdot 4 \cdot 4 -4! \\ 41 &=& 44 - \frac{ \Gamma{(4)} } { \sqrt{4} } \\ 42 &=& 4!+4!-4-\sqrt{4} \\ 43 &=& 44-\frac{4}{4} \\ 44 &=& 4!+4\cdot 4 +4 \\ 45 &=& \frac{ (\frac{4!}{4} )! } { 4\cdot 4 } \\ 46 &=& 4!+4!-4+\sqrt{4} \\ 47 &=& 4!+4!-\frac44 \\ 48 &=& 4!+4!+4-4 \\ 49 &=& 4!+4!+\frac44 \\ 50 &=& 4!+4!+4-\sqrt{4} \\ 51 &=& 4!+4! + \frac{ \Gamma{(4)} } { \sqrt{4} } \\ 52 &=& 4!+4!+ \sqrt{4}+ \sqrt{4}\\ 53 &=& 4! +4! +4 + \phi{(\phi{(4)})} \\ 54 &=& 4!+4!+4+\sqrt{4} \\ 55 &=& 4! + 4! +4 +\sigma{(\phi(4))} \\ 56 &=& 4!+4!+4+4 \\ 57 &=& ( 4! + 4 ) \cdot \sqrt{4}+ \phi{( \phi{(4)} ) } \\ 58 &=& 4! + \Gamma{(4)} \cdot \Gamma{(4)} -\sqrt{4} \\ 59 &=& ( 4! + 4 ) \cdot \sqrt{4}+\sigma{(\phi(4))} \\ 60 &=& 4\cdot 4 \cdot 4 - 4 \\ \\ \hline \\ \Gamma{(4)} &=& 3! = 6 &\qquad \text{ Verallgemeinerte Fakultaet, auch für reelle Zahlen }\\ 4! &=& 24 \\ \phi{(4)} &=& 2 &\qquad \text{ Eulersche phi-Funktion: Anzahl aller teilerfremden Zahlen }\\ \phi{(2)} &=& 1\\ \sigma{(2)} &=& 1+2 = 3 &\qquad \text { Summe alle Teiler } \end{array} \)

23*d = 1mod66

Because gcd(23,66) = 1 we can calculate the modulo inverse:

\(\begin{array}{rcl} 23\cdot d & \equiv& 1 \pmod {66} \\ d & \equiv& \frac{1}{23} \pmod {66} \\ d & \equiv& 23^{-1} \pmod {66} \\ \end{array}\)

We use the Extended Euclidean Algorithm to get d:

\(\begin{array}{|rcl|r|c|rc|} \hline 66 &=& 23\cdot 2+20 & or &(4) & [66 - 23\cdot 2] &=& 20\\ 23 &=& 20\cdot 1 + 3 & or &(3) & [23-20] &=& 3\\ 20 &=& 3\cdot 6 + 2 & or &(2) & [20-18] &=& 2\\ 3 & =& 2\cdot 1 + 1 & or & (1) & [3-2 ] &=& 1\\ \hline \end{array}\\\\ \begin{array}{lrcl} (1) & 3-2 &=&1 \qquad | \qquad (2) \quad 2 = [20-18]\\ & 3-[20-18] &=&1 \\ & 3 - 20 + 18 &=&1 \\ & 3 (1+6) -20 &=&1\\ & 3 \cdot 7 -20 &=&1 \qquad | \qquad (3) \quad 3 = [23-20] \\ & [23-20] \cdot 7 -20 &=&1 \\ & 23 \cdot 7 - 20 \cdot 7 - 20 &=& 1 \\ & 23 \cdot 7 -20\cdot 8 &=& 1 \qquad | \qquad (4) \quad 20 = [66 - 23\cdot 2] \\ & 23 \cdot 7 - [66 - 23\cdot 2] \cdot 8 &=& 1 \\ & 23 \cdot 7 - 66 \cdot 8 + 23 \cdot 16 &=& 1 \\ & 23 \cdot 23 - 66 \cdot 8 &=& 1 \qquad | \qquad \pmod {66}\\ & 23\cdot 23 &\equiv& 1 \pmod{66} \\ \hline & 23^{-1} \pmod{66} &\equiv& 23 \\ & 23\cdot d &\equiv& 1 \pmod{66} \\ & d &= & 23 \end{array}\)

All Solutions: \(d \equiv 23 \pmod {66} \\ \qquad \text{or} \\ d - 23 = n\cdot 66 \\ \mathbf{ d = 23 \pm n \cdot 66 \qquad n \in N }\)

You buy a phone card and it charges $1.19 for the first 10 min. and $0.09 per min after that. How much would a 22 min. phone call cost ?

\(\text{cost } = 10~\text{min}\cdot \frac{$ 1.19}{10~\text{min}} + 12~\text{min}\cdot \frac{$ 0.09}{1~\text{min}}\\ \text{cost } = $1.19 + $1.08\\ \mathbf{\text{cost } =$2.27}\\\)

what is between 3/8 and 4/6?

ANSWER: 7/24 but answers will vary.

\(\begin{array}{rcl} 0.2916\overline{6} &=& \frac{7}{24} \qquad | \qquad \text{wrong answer }? \\\\ \\ \hline \\ 0.3750 &=& \frac{3}{8} \\\\ 0.52083\overline{3} &=& \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{3}{8}+\frac{4}{6} \right) =\mathbf{ \frac{25}{48} }\qquad | \qquad \text{solution} \\\\ 0.6\overline{6} &=& \frac{4}{6} \\\\ \end{array}\)