heureka

hi, also in der Schule haben wir grad Folgenglieder und wir müssen daraus eine Bildungsvorschrift machen.

Bsp. a1 a2 a3 a4 a5

        16 -8   4  -2  1  

mit den Angaben sollen wir, wie oben schon genannt eine Bildungsvorschrift für weitere Glieder ermitteln.

Es handelt sich hierbei um eine geometrische Reihe:

In einer geometrischen Reihe, die gemeinsame Verhältniszahl q, zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer gleich.

\(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=\frac{a_5}{a_4}=-\frac{1}{2}\\ q=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}\\ q=\frac{4}{-8}=-\frac{1}{2}\\ q=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\\ q=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\\\)

Der Startwert ist \(a = a_1 = 16\)

\(\begin{array}{lcr} a_1 = a &=& 16\\ a_2 = a\cdot q^1 = 16 \cdot [ -\frac{1}{2} ] &=& - 8 \\ a_3 = a\cdot q^2 = 16 \cdot [ -\frac{1}{2} ]^2 = \frac{16}{4} &=& 4 \\ a_4 = a\cdot q^3 = 16 \cdot [ -\frac{1}{2} ]^3 = -\frac{16}{8} &=& -2 \\ a_5 = a\cdot q^4 = 16 \cdot [ -\frac{1}{2} ]^4 = \frac{16}{16} &=& 1 \\ a_6 = a\cdot q^5 = 16 \cdot [ -\frac{1}{2} ]^5 = -\frac{16}{32} &=& -\frac{1}{2} \\ a_7 = a\cdot q^6 = 16 \cdot [ -\frac{1}{2} ]^6 = \frac{16}{64} &=& \frac{1}{4} \\ \dots \\ \text{Das Bildungsgesetz lautet: }a_n = a\cdot q^{n-1} &=& 16\cdot [ -\frac{1}{2} ]^{n-1} \end{array} \)

\(a^3+b^3 = ~?\)

\(\small{ \begin{array}{rcl} (a+b)^3 &=& a^3 + 3a^2b+3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^3 - 3a^2b - 3ab^2 &=& a^3 + b^3 \\ (a+b)^3 - 3ab ( a+b ) &=& a^3 + b^3 \\ (a+b)[(a+b)^2 - 3ab ] &=& a^3 + b^3 \\ (a+b)( a^2 + 2ab+b^2 - 3ab ) &=& a^3 + b^3 \\ (a+b)( a^2 -ab+b^2 ) &=& a^3 + b^3 \\ \mathbf{a^3 + b^3} & \mathbf{=} & \mathbf{(a+b)( a^2 -ab+b^2 )} \\ \end{array} }\)

wieso ist (((x*0.25)*0.9)+(x*0.75))*a das selbe wie a*(0.975*x)

1. Faktoren können beliebig getauscht werden.

In (x*0.25)*0.9  können die Klammern auch entfallen.

Für (x*0.25)*0.9) kann man auch schreiben x*0.25*0.9

Die Reihenfolge der Multiplikation spielt keine Rolle.

Also (x*0.25)*0.9)  = x*0.25*0.9 = x*(0.25*0.9) = x * 0.225

2. x * 0.225 + x * 0.75 berechnen.

Man kann das x vor eine Klammer setzen:

x * 0.225 + x * 0.75 = x * (0.225+0.75) = x * 0.975

3. Wir haben

(((x*0.25)*0.9)+(x*0.75) )a

= [ x*(0.25*0.9) + x * 0.75 ] a

= [ x * 0.225 + x * 0.75 ] a

= [ x * (0.225+0.75) ] a

=  x * 0.975 * a

= a * 0.975 * x

you plan to have a pizza party this week, but you only have $48, but you plan on having 56 pieces of pizza, a large pizza has 16 pieces but costs $14, and a medium pizza has 12 pieces for $10, How many pizzas do you need to buy ?

x = Large Pizza

y = Midium Pizza

1. $48 = $14 * x + $10 * y

2. 56 pieces = 16 pieces * x + 12 pieces * y

x = 2 and y = 2

1. 48 = 14 * 2 + 10 * 2

2. 56 = 16 * 2 + 12 * 2

I have need to buy 2 large pizzas and 2 medium pizzas

Graph the equation using x and y-intercepts.

9. 8x + 4y = 32

10. –6x + 5y = –30

11. –4x – 5y = 20

12. 6x + 8y = 48

13. 3x + 7y = 21

14. 6x – 7y = –42

15. –3x + 3y = –9

16. 7x – 2y = –14

For all equations it is the same:  a*x+b*y = a*b
so

\(\begin{array}{lrcl} & a\cdot x + b \cdot y &=& a \cdot b \qquad | \qquad : (a\cdot b) \\ & \frac{ a\cdot x }{ a\cdot b } + \frac{ b \cdot y }{ a\cdot b } &=& 1 \\ & \frac{ x }{ b } + \frac{ y }{ a } &=& 1 \\ \\ \hline \\ \text{ y-intercept} (x = 0): &\frac{ y }{ a } &=& 1\\ &\mathbf{ y }& \mathbf{=} & \mathbf{a}\\ \\ \hline \\ \text{ x-intercept} (y = 0): &\frac{ x }{ b } &=& 1\\ &\mathbf{ x }& \mathbf{=} & \mathbf{b}\\ \end{array}\)

So connect (0,a) with (b,0) to draw the line

We have:

\(\begin{array}{rrcr|r|r|c} \hline & & & & a= & b= & \text{connect} \\ \hline 9. & 8x + 4y &=& 32 & 8&4 & (0,8) ~ \rightarrow ~ (4,0) \\ 10.& –6x + 5y &=& –30 & -6&5 & (0,-6) ~ \rightarrow ~ (5,0) \\ 11.& –4x – 5y &=& 20 & -4&-5 & (0,-4) ~ \rightarrow ~ (-5,0) \\ 12.& 6x + 8y &=& 48 & 6&8 & (0,6) ~ \rightarrow ~ (8,0) \\ 13.& 3x + 7y &=& 21 & 3&7 & (0,3) ~ \rightarrow ~ (7,0) \\ 14.& 6x – 7y &=& –42 & 6&-7 & (0,6) ~ \rightarrow ~ (-7,0) \\ 15.& –3x + 3y &=& –9 & -3&3 & (0,-3) ~ \rightarrow ~ (3,0) \\ 16.& 7x – 2y &=& –14 & 7&-2 & (0,7) ~ \rightarrow ~ (-2,0) \\ \hline \end{array}\)

d/d*alfa of sin(alfa+beta)

\(\frac{d~ (\sin{(\alpha+\beta)~}) }{ d \alpha } = \cos{(\alpha+\beta)} \cdot 1 = \cos{(\alpha+\beta)}\)

Teile (x3 + 3x2 - x - 3) durch (x+3), durch (x+1) und durch (x-1)

Ich hab wieder mal ein Problem ;-)

3 hoch (2x-1) = 2 hoch (x+3)

\(\small{ \begin{array}{rcl} 3^{2x-1}&=& 2^{x+3} \qquad | \qquad \ln{()}\\ \ln{(3^{2x-1})} &=& \ln{(2^{x+3})} \\ (2x-1)\cdot \ln{(3)} &=& (x+3)\cdot \ln{(2)} \\ 2x\cdot \ln{(3)} - \ln{(3)} &=& x\cdot \ln{(2)} +3\cdot \ln{(2)} \\ 2x\cdot \ln{(3)} - x\cdot \ln{(2)} &=& \ln{(3)} +3\cdot \ln{(2)} \\ x \cdot [ 2\cdot \ln{(3)} - \ln{(2)} ] &=& \ln{(3)} +3\cdot \ln{(2)} \\ x &=& \frac{\ln{(3)} +3\cdot \ln{(2)} }{ 2\cdot \ln{(3)} - \ln{(2)}} \\ x &=& \frac{ 3.17805383035 } { 1.50407739678 } \\ \mathbf{x} & {=} & \mathbf{2.11295897216} \end{array} } \)

i need help soving this linear equation please. Can ypu also include the steps of the solution. Thanks.

159b + 3.3c = 1000mg

2.3b + 0.6c = 18mg

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (1) & 159\cdot b + 3.3\cdot c &=& 1000 \\ (2) & 2.3\cdot b + 0.6\cdot c &=& 18 \\ \\ \hline \\ (2) & 2.3\cdot b + 0.6\cdot c &=& 18 \qquad | \qquad -2.3\cdot b\\ & 0.6\cdot c &=& 18 - 2.3\cdot b \qquad | \qquad : 0.6\\ & c &=& \frac{ 18 - 2.3\cdot b } { 0.6 } \\ & c &=& 30 - \frac{ 2.3 } { 0.6 }\cdot b \\ \\ \hline \\ c \text{ into } (1) & 159\cdot b + 3.3\cdot c &=& 1000 \\ & 159\cdot b + 3.3\cdot ( 30 - \frac{ 2.3 } { 0.6 }\cdot b ) &=& 1000 \\ & 159\cdot b + 3.3\cdot 30 - 3.3 \cdot \frac{ 2.3 } { 0.6 }\cdot b &=& 1000 \\ & 159\cdot b - 3.3 \cdot \frac{ 2.3 } { 0.6 }\cdot b + 3.3\cdot 30 &=& 1000\qquad | \qquad - 3.3\cdot 30\\ & 159\cdot b - 3.3 \cdot \frac{ 2.3 } { 0.6 }\cdot b &=& 1000 - 3.3\cdot 30\\ & 159\cdot b - 12.65\cdot b &=& 1000 - 99\\ & 159\cdot b - 12.65\cdot b &=& 901\\ & b\cdot (159 - 12.65) &=& 901\\ & b\cdot 146.35 &=& 901\\ & b &=& \frac{901} {146.35}\\ & \mathbf{b} & {=} & \mathbf{6.15647420567} \\ \\ \hline \\ & c &=& 30 - \frac{ 2.3 } { 0.6 }\cdot b \\ & c &=& 30 - \frac{ 2.3 } { 0.6 }\cdot\frac{901} {146.35} \\ & c &=& 30 - 23.5998177884 \\ & \mathbf{c} & {=} & \mathbf{6.40018221159} \\ \\ \hline \\ (1) & 159\cdot b + 3.3\cdot c &=& 1000 \\ & 159\cdot 6.15647420567 + 3.3 \cdot 6.40018221159 &=& 1000 \qquad \text{okay!} \\\\ (2) & 2.3\cdot b + 0.6\cdot c &=& 18 \\ & 2.3 \cdot 6.15647420567 + 0.6 \cdot 6.40018221159 &=& 18 \qquad \text{okay!} \end{array} }\)

for g(x)=4-5x, determine the input for x when the output of g(x) is 

a) -6
\(\small{ \begin{array}{rcl} -6 &=& 4 - 5x \\ 5x &=& 4+6\\ 5x &=& 10 \\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{2} \end{array} } \)

b) 3.5

\(\small{ \begin{array}{rcl} 3.5 &=& 4 - 5x \\ 5x &=& 4-3.5\\ 5x &=& 0.5 \\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{0.1} \end{array} } \)