heureka

log base 3(log base 8(log base 10(x))) = -1

\(\small{ \begin{array}{rcl} \log_3{~ \{ \log_8{ [ ~ \log_{10}{ (x) } ~]} ~\}} &=& -1 \qquad | \qquad u = \log_8{ [ ~ \log_{10}{ (x) } ~]}\\ \log_3{ (u) } &=& -1 \\ 3^{ \log_3{ (u) } } &=& 3^{-1} \\ u &=& \frac13 \\ \\ \hline \\ u = \log_8{ [ ~ \log_{10}{ (x) } ~]} &=& \frac13 \qquad | \qquad v = \log_{10}{ (x) }\\ \log_8{ (v) } &=& \frac13 \\ 8^{ \log_8{ (v) } } &=& 8^{\frac13 } \\ v &=& 8^{\frac13 } \\ v &=& 2^{\frac33} \\ v &=& 2 \\ \\ \hline \\ v = \log_{10}{ (x) } &=& 2 \\ 10^{ \log_{10}{(x)} } &=& 10^{ 2} \\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{100} \end{array} } \)

Ship A leaves port sailing north at a speed of 30 mph. A half hour later, Ship B leaves the same port sailing east at a speed of 35 mph. Let t (in hours) denote the time ship B has been at sea.

(a) Find an expression in terms of t giving the distance D between the two ships. 

(b) Use the expression obtained in part (a) to find the distance between the two ships 3 hr after Ship A has left port. (Round your answer two decimal places.)

(a)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} & \vec{a} &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 30\cdot (t+\frac12) \end{pmatrix} \\ & \vec{b} &=& \begin{pmatrix} 35\cdot t \\ 0 \end{pmatrix} \\ \\ \hline \\ \text{distance: } & \vec{d} &=& | \vec{a}-\vec{b} | \\ & \vec{d} &=& | \begin{pmatrix} 0 \\ 30\cdot (t+\frac12) \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 35\cdot t \\ 0 \end{pmatrix} | \\ & \vec{d} &=& | \begin{pmatrix} 0 -35\cdot t \\ 30\cdot (t+\frac12) -0 \end{pmatrix} | \\ & \vec{d} &=& | \begin{pmatrix} -35\cdot t \\ 30\cdot (t+\frac12) \end{pmatrix} | \\ & d &=& \sqrt{ 35^2\cdot t^2 + (30\cdot t + 15)^2 } \\ & d &=& \sqrt{ 35^2 \cdot t^2 + 30^2\cdot t^2 + 2\cdot 30 \cdot 15 \cdot t + 15^2 } \\ & d &=& \sqrt{ 15^2 + 30^2\cdot t + (30^2 + 35^2) \cdot t^2 } \\ \boxed{~ d = \sqrt{ 15^2 + 30^2\cdot t + (30^2 + 35^2) \cdot t^2 } ~} & \qquad t = 0 \rightarrow d = 15 ~\text{miles}\\ \end{array} } \)

(b)

\(\small{ \begin{array}{rcl} t+\frac12 &=& 3~\text{hours} \\ t &=& 3-\frac12\\ t &=& 2.5 ~\text{hours} \\ \\ \hline \\ d(2.5~\text{hours} ) &=& \sqrt{ 15^2 + 30^2\cdot 2.5 + (30^2 + 35^2) \cdot 2.5^2 } \\ d(2.5~\text{hours} ) &=& \sqrt{ 15^2 + 30^2\cdot 2.5 + 2125 \cdot 2.5^2 } \\ d(2.5~\text{hours} ) &=& \sqrt{ 15^2 + 30^2\cdot 2.5 + 2125 \cdot 6.25 } \\ d(2.5~\text{hours} ) &=& \sqrt{ 225 + 2250 + 13281.25 } \\ d(2.5~\text{hours} ) &=& \sqrt{ 15756.25 } \\ d(2.5~\text{hours} ) &=& 125.523902106 \\ \end{array} } \)

The distance between the two ships 3 hr after Ship A has left port is 125.52 miles

Find a formula for f(x), an exponential function such that f(-5) = 240 and f(40) = 580. f(x)=________

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (1) & 580 &=& a\cdot b^{40} \\ (2) & 240 &=& a\cdot b^{-5} \\ \\ \hline \\ (1) : (2) & \frac{580}{240} &=& \frac{ b^{40} }{ b^{-5} } \\ & \frac{580}{240} &=& b^{40}\cdot b^{-5}\\ & \frac{580}{240} &=& b^{45}\\ & \frac{58}{24} &=& b^{45}\\ & \frac{29}{12} &=& b^{45}\\ & b &=& \sqrt[45]{\frac{29}{12}} \\ & b &=& \sqrt[45]{2.416\overline{6}} \\ & b &=& 2.416\overline{6}^{~(0.02\overline{2})}\\ & \mathbf{b} & \mathbf{=} & \mathbf{1.01980216076} \\ \\ \hline \\ & a &=& \frac{580} { b^{40} } \\ & a &=& \frac{580} { 2.19097343941 }\\ & \mathbf{a} & \mathbf{=} & \mathbf{264.722515374} \\ \\ \hline \\ & f(x) &=& a \cdot b^x \\ & f(x) &=& 264.722515374 \cdot 1.01980216076^x \end{array} }\)

\(\small{ \text{A function of the form }\\ f(x) = a\cdot b^x \\ \text{ can be re-written as } \\ f(x) = b^{x ± c} \\ \text{ by the use of logarithms and so is an exponential function.} } \)

\(\small{\text{$ \begin{array}{rcl} 264.722515374 \cdot 1.01980216076^x &=& 1.01980216076^{x+c} \\ 264.722515374 \cdot 1.01980216076^x &=& 1.01980216076^x \cdot 1.01980216076^{c} \\ 264.722515374 &=& 1.01980216076^{c} \qquad | \qquad \ln{()} \\ \ln{(264.722515374)}&=& c\cdot \ln{(1.01980216076)} \\ c &=& \frac{ \ln{(264.722515374)} } { \ln{(1.01980216076)} } \\ c &=& \frac{ 5.57868216559 } { 0.01960864845 } \\ \mathbf{c} & \mathbf{=} & \mathbf{284.501105731 } \\ \\ \hline \\ f(x) &=& b^{x+c} \\ \boxed{~f(x) = 1.01980216076^{x+284.501105731}~} \end{array} $}} \)

\(\small{\text{$ \begin{array}{rcl} f(-5) &=& 1.01980216076^{-5+284.501105731} \\ f(-5) &=& 1.01980216076^{279.501105731} \\ f(-5) &=& 1.01980216076^{279.501105731} \\ f(-5) &=& 240 \qquad \text{okay!} \\\\ f(40) &=& 1.01980216076^{40+284.501105731}\\ f(40) &=& 1.01980216076^{324.501105731}\\ f(40) &=& 1.01980216076^{324.501105731}\\ f(40) &=& 580 \qquad \text{okay!} \\\\ \end{array} $}} \)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} &\dfrac{3-5x}{-4} &=& \dfrac{3x-3}{2} \\ &2\cdot (3-5x) &=& -4\cdot (3x-3) \\ &6-10x &=& -12x+12 \qquad | \qquad +12x\\ &6+12x-10x &=& 12 \\ &6 + 2x &=& 12\\ & 2x &=& 12 - 6 \\ & 2x &=& 6\\ & \mathbf{ x } & \mathbf{=} & \mathbf{3}\\\\ \text{Probe: } &\dfrac{3-5\cdot 3}{-4} &=& \dfrac{3\cdot 3-3}{2} \\ &\dfrac{3-15}{-4} &=& \dfrac{9-3}{2} \\ &\dfrac{-12}{-4} &=& \dfrac{6}{2} \\ &\dfrac{12}{4} &=& \dfrac{6}{2} \\ &3 &=& 3 \qquad \text{okay} \\ \end{array} }\)

find three consecutive even integers with the sum of -84

\(\begin{array}{rcl} (n-2)+n+(n+2) &=& -84\\ 3n&=&-84\\ n &=&- 28 \end{array}\)

The three consecutive even integers are:  \(-26-28-30 = -84\)

Wird im 5. Schritt aus der 8 eine 2 hoch 3 erstellt

Ich habe hier vorausschauend gerechnet. Man muss aber nicht wissen, dass dies hier zu tun ist.

Ich kann erstmal versuchen die 8 weiter zu zerlegen. Da die 8 eine gerade Zahl ist steckt in der 8 die 2.

Die 8 geteilt durch 2 ergibt eine 4. 

     8 = 2 * 4.

Da die 4 eine gerade Zahl ist steckt in der 4 die 2.

Die 4 geteilt duch 2 ergibt eine 2.

    4 = 2 * 2.

Somit kann ich für die 8 auch 2*2*2 schreiben

    8 = 2*2*2  (Man spricht auch von der Primfaktorzerlegung)

\(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac13} =(2\cdot 2\cdot 2)^{\frac13} = 2^{\frac13}\cdot 2^{\frac13}\cdot 2^{\frac13} = 2^{\frac13+\frac13+\frac13}=2^{\frac33} = 2^1 = 2\)

oder kürzer:

\(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac13} =(2\cdot 2\cdot 2)^{\frac13} =(2^3)^{\frac13} =2^{\frac33} = 2^1 = 2\)

Das der Exponent 3/3 sich zu 1 kürzt ergibt sich aus der Berechnung und ist zufällig.

Die Primfaktorzerlegung, d. h. die Zerlegung einer ganzen Zahl in ihre kleinsten Teile, in Primzahlen ermöglicht einen einfacheren Umgang bei der Weiterrechung, wie kürzen von Brüchen oder wie hier bei sonstigen Vereinfachungen.

Jede ganze Zahl kann eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden.  Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ... .

Das sind Zahlen, die nur durch 1 oder sich selbst teilbar sind. Primzahlen sind nicht weiter teilbar!

Can Someone solve this ? 

2x^3*8xy^2*3y

\( \small{ \begin{array}{rcl} 2x^3\cdot 8xy^2\cdot 3y &=&\\ &=& 2\cdot 8\cdot 3 \cdot x^3\cdot x \cdot y^2\cdot y \\ &=& 48 \cdot x^{3+1}\cdot y^{2+1}\\ \mathbf{ 2x^3\cdot 8xy^2\cdot 3y } & \mathbf{=} & \mathbf{48 \cdot x^4\cdot y^3} \end{array} } \)

Lim→3   (x^4 -81)÷(x-3) kann mir jemand zeigen wie ixh daa vereinfachen kann?

\(\small{ \lim \limits_{x\to 3} {\frac{ x^4-81 } {x-3}} = \ ? \qquad | \qquad \small{\text{ Das 3. Binom lautet: }\boxed{~ a^2-b^2 =(a-b)(a+b) ~}} }\)

\(\small{ \begin{array}{rcl} \frac{ x^4-81 } {x-3} &=& \\ &=& \frac{(x^2-9)(x^2+9)}{x-3} \qquad | \qquad x^4-81 = (x^2-9)(x^2+9)\\ &=& \frac{(x-3)(x+3)(x^2+9)}{x-3} \qquad | \qquad x^2-9 = (x-3)(x+3)\\ &=& (x+3)(x^2+9)\\\\ \lim \limits_{x\to 3} {\frac{ x^4-81 } {x-3}} &=& \lim \limits_{x\to 3} {(x+3)(x^2+9)}\\ &=& (3+3)(3^2+9) \\ &=& (3+3)\cdot (9+9)\\ &=& 6 \cdot 18 \\ \mathbf{ \lim \limits_{x\to 3} {\frac{ x^4-81 } {x-3}} } & \mathbf{=} & \mathbf{108} \end{array} }\)

\( \small{ \begin{array}{lrcl} (u) & \sqrt[3]{2xy^4} \cdot \sqrt[3]{4x^2y^{-1}} =\\ &&=& \sqrt[3]{2xy^44x^2y^{-1}} \\ &&=& \sqrt[3]{2\cdot 4\cdot x^1 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y^{-1}} \\ &&=& \sqrt[3]{ 8\cdot x^{1+2} \cdot y^{4-1} } \\ &&=& \sqrt[3]{ 8\cdot x^{3} \cdot y^3 } \\ &&=& \sqrt[3]{ 2^3\cdot x^{3} \cdot y^3 } \\ &&=& 2^{\frac33}\cdot x^{\frac33} \cdot y^{\frac33}\\ &&=& 2^{1}\cdot x^{1} \cdot y^{1}\\ &&=& 2\cdot x \cdot y\\ \end{array} } \)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (s) & \dfrac{ ( 4x^2y^3 )^{-2} \cdot ( 2x^{2}y^{3} )^{4} } { ( 8x^4y^4 )^{3} \cdot ( 16x^{3}y^{2} )^{-3} } \\ &&=& ( 4x^2y^3 )^{-2} \cdot ( 2x^{2}y^{3} )^{4} \cdot ( 8x^4y^4 )^{-3} \cdot ( 16x^{3}y^{2} )^{3} \\ &&=& 4^{1\cdot(-2)}x^{2\cdot(-2)}y^{3\cdot(-2) } \cdot 2^{1\cdot 4} x^{2\cdot 4} y^{3\cdot 4} \cdot 8^{1\cdot(-3)}x^{4\cdot(-3)}y^{4\cdot(-3)} \cdot 16^{1\cdot 3 }x^{3\cdot 3}y^{2\cdot 3} \\ &&=& 4^{-2}x^{-4}y^{-6} \cdot 2^{4} x^{8} y^{12} \cdot 8^{-3}x^{-12}y^{-12} \cdot 16^{3}x^{9} y^{6} \\ &&=& 4^{-2}\cdot 2^{4} \cdot 8^{-3}\cdot 16^{3} \cdot x^{-4}x^{8} x^{-12}x^{9} \cdot y^{-6} y^{12}y^{-12} y^{6} \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x^{-4+8-12+9} \cdot y^{-6+12-12+6} \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x^{1} \cdot y^{0} \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x \cdot 1 \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { 16 \cdot 16^{3} } {16\cdot 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { 16^{3} } { 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { (2\cdot 8)^{3} } { 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { 2^3\cdot 8^3 } { 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& 2^3\cdot x \\\\ &&=& 8\cdot x \\ \end{array} }\)