Rechenwege ???

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (s) & \dfrac{ ( 4x^2y^3 )^{-2} \cdot ( 2x^{2}y^{3} )^{4} } { ( 8x^4y^4 )^{3} \cdot ( 16x^{3}y^{2} )^{-3} } \\ &&=& ( 4x^2y^3 )^{-2} \cdot ( 2x^{2}y^{3} )^{4} \cdot ( 8x^4y^4 )^{-3} \cdot ( 16x^{3}y^{2} )^{3} \\ &&=& 4^{1\cdot(-2)}x^{2\cdot(-2)}y^{3\cdot(-2) } \cdot 2^{1\cdot 4} x^{2\cdot 4} y^{3\cdot 4} \cdot 8^{1\cdot(-3)}x^{4\cdot(-3)}y^{4\cdot(-3)} \cdot 16^{1\cdot 3 }x^{3\cdot 3}y^{2\cdot 3} \\ &&=& 4^{-2}x^{-4}y^{-6} \cdot 2^{4} x^{8} y^{12} \cdot 8^{-3}x^{-12}y^{-12} \cdot 16^{3}x^{9} y^{6} \\ &&=& 4^{-2}\cdot 2^{4} \cdot 8^{-3}\cdot 16^{3} \cdot x^{-4}x^{8} x^{-12}x^{9} \cdot y^{-6} y^{12}y^{-12} y^{6} \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x^{-4+8-12+9} \cdot y^{-6+12-12+6} \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x^{1} \cdot y^{0} \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x \cdot 1 \\\\ &&=& \dfrac { 2^{4} \cdot 16^{3} } {4^{2}\cdot 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { 16 \cdot 16^{3} } {16\cdot 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { 16^{3} } { 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { (2\cdot 8)^{3} } { 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& \dfrac { 2^3\cdot 8^3 } { 8^{3} } \cdot x \\\\ &&=& 2^3\cdot x \\\\ &&=& 8\cdot x \\ \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (h) & \dfrac{ 5^{\frac12} \cdot 5^{-\frac{2}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-\frac{9}{10}} } { 5^{\frac65} \cdot 5^{-\frac{1}{2}} \cdot 5^{-\frac{5}{6}} \cdot 5^{-2} }= \\ &&=& 5^{\frac12} \cdot 5^{-\frac{2}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-\frac{9}{10}} \cdot 5^{-\frac65} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{5}{6}} \cdot 5^{2}\\ &&=& 5^{\frac12-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}-\frac{9}{10} -\frac65 + \frac{1}{2} + \frac{5}{6} + 2 } \\ &&=& 5^{\frac12+ \frac{1}{2} + 2+\frac{2}{3} -\frac{2}{5}-\frac{6}{5} + \frac{5}{6} -\frac{9}{10} } \\ &&=& 5^{1 + 2+\frac{2}{3}-\frac{8}{5}+ \frac{5}{6} -\frac{9}{10} } \\ &&=& 5^{3+\frac{2}{3}-\frac{8}{5}+ \frac{5}{6} -\frac{9}{10} } \\ &&=& 5^{3+\frac{2*10}{30}-\frac{8*6}{30}+ \frac{5*5}{30} -\frac{9*3}{30} } \\ &&=& 5^{3-\frac{30}{30} } \\ &&=& 5^{3-1} \\ &&=& 5^2\\ &&=& 25 \end{array} }\)

Aufgabe h)

Wir sollten uns absprechen, wer welche Aufgabe löst, sonst kommt ja alles doppelt und dreifach an.

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (i) & \dfrac{ x^{\frac13} \cdot y^{\frac{1}{8}} \cdot x^{-\frac{4}{3}} \cdot y^{\frac{1}{8}} } { x^{-0,4} \cdot y^{-0,25} \cdot x^{-0,6} \cdot y^{-0,5} \cdot x^{-1} }= \\ &&=& x^{\frac13} \cdot x^{-\frac{4}{3}} \cdot x^{0,4} \cdot x^{0,6} \cdot x^{1} \cdot y^{\frac{1}{8}} \cdot y^{\frac{1}{8}} \cdot y^{0,25} \cdot y^{0,5} \\ &&=& x^{\frac13-\frac{4}{3}+0,4+0,6+1} \cdot y^{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+0.25+0.5} \\ &&=& x^{\frac13-\frac{4}{3}+2} \cdot y^{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+0.75} \\ &&=& x^{-\frac33+2} \cdot y^{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+0.75} \\ &&=& x^{-1+2} \cdot y^{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+0.75} \\ &&=& x^{1} \cdot y^{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+0.75} \\ &&=& x^{1} \cdot y^{\frac{2}{8}+0.75} \\ &&=& x^{1} \cdot y^{\frac{1}{4}+0.75} \\ &&=& x^{1} \cdot y^{0,25+0.75} \\ &&=& x^{1} \cdot y^{1} \\ &&=& x \cdot y \\ \end{array} } \)

Leider kann ich keine Bilder mehr hochladen. Es erscheint immer ein Foto von Harry Potter. Das ist sowas von ärgerlich.

Damit Ihr mir das auch glaubt. Was ist denn nur los.

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (n) & ( 16x^8y^4 )^{0,5} \cdot ( 4x^4y )^{-1} \\ &&=& 16^{0,5}\cdot x^{8\cdot 0,5} \cdot y^{4 \cdot 0,5} \cdot 4^{-1}\cdot x^{4\cdot (-1)} \cdot y^{-1}\\ &&=& 16^{0,5}\cdot x^{4} \cdot y^{2} \cdot 4^{-1}\cdot x^{-4} \cdot y^{-1}\\ &&=& \sqrt{16}\cdot x^{4} \cdot y^{2} \cdot 4^{-1}\cdot x^{-4} \cdot y^{-1}\\ &&=& 4\cdot x^{4} \cdot y^{2} \cdot 4^{-1}\cdot x^{-4} \cdot y^{-1}\\ &&=& 4\cdot 4^{-1}\cdot x^{4}\cdot x^{-4}\cdot y^{2} \cdot y^{-1}\\ &&=& 4^{1-1}\cdot x^{4-4}\cdot y^{2-1} \\ &&=& 4^{0}\cdot x^{0}\cdot y^{1} \\ &&=& 1 \cdot 1 \cdot y\\ &&=& y \end{array} } \)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (o) & \sqrt[3]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2^3} \cdot \sqrt[12]{2^{-1} } =\\ &&=& 2^{\frac43}\cdot 2^{\frac34}\cdot 2^{-\frac{1}{12}} \\ &&=& 2^{\frac43+\frac34-\frac{1}{12}} \\ &&=& 2^{\frac{4\cdot4}{12}+\frac{3\cdot3}{12}-\frac{1}{12}} \\ &&=& 2^{\frac{16}{12}+\frac{9}{12}-\frac{1}{12}} \\ &&=& 2^{\frac{24}{12}} \\ &&=& 2^{2} \\ &&=& 4 \\ \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (r) & \dfrac { ( \sqrt[3]{x^5} \cdot \sqrt[5]{y^3} )^{-2} } { ( \sqrt[3]{x^{-2}} \cdot y^{-\frac{6}{25} } )^{5} }=\\\\ &&=& \dfrac { ( x^\frac{5}{3} \cdot y^\frac{3}{5} )^{-2} } { ( x^{-\frac{2}{3}} \cdot y^{-\frac{6}{25} } )^{5} }\\\\ &&=& \dfrac { x^{\frac{5\cdot(-2)}{3}} \cdot y^\frac{3\cdot(-2)}{5} } { x^{-\frac{2\cdot 5}{3}} \cdot y^{-\frac{6\cdot 5}{25} } }\\\\ &&=& \dfrac { x^{-\frac{10}{3}} \cdot y^{-\frac{6}{5} } } { x^{-\frac{10}{3}} \cdot y^{-\frac{6}{5} } }\\\\ &&=& x^{-\frac{10}{3}} \cdot x^{ \frac{10}{3}} \cdot y^{-\frac{6}{5} } \cdot y^{ \frac{6}{5} } \\ &&=& x^{-\frac{10}{3}+\frac{10}{3}} \cdot y^{-\frac{6}{5} + \frac{6}{5}} \\ &&=& x^{0} \cdot y^{0} \\ &&=& 1 \cdot 1 \\ &&=& 1 \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (t) & ( 3x^3y^5 )^{-3} \cdot ( 3x^{-2}y^{-2} )^{-2} \cdot ( 3xy^2 )^6 \\ &&=& 3^{-3} x^{3\cdot(-3)} y^{5\cdot(-3)} \cdot 3^{-2} x^{(-2)\cdot(-2)} y^{(-2)\cdot(-2)} \cdot 3^{6} x^{1\cdot 6} y^{2\cdot 6} \\ &&=& 3^{-3} x^{-9} y^{-15} \cdot 3^{-2} x^{4} y^{4} \cdot 3^{6} x^{6} y^{12} \\ &&=& 3^{-3-2+6} \cdot x^{-9+4+6} \cdot y^{-15+4+12} \\ &&=& 3^{1}\cdot x^{1}\cdot y^{1}\\ &&=& 3\cdot x\cdot y\\ \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{lrcl} (v) & \sqrt{3x^3y^2} \cdot \sqrt[3]{3x^4y^{-5}} \cdot \sqrt[6]{3xy^4} =\\ &&=& 3^{\frac{1}{2}}x^{ \frac{3}{2} } y^{ \frac{2}{2} } \cdot 3^{\frac{1}{3}}x^{ \frac{4}{3} } y^{ -\frac{5}{3} } \cdot 3^{\frac{1}{6}}x^{ \frac{1}{6} } y^{ \frac{4}{6} } \\ &&=& 3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} \cdot x^{ \frac{3}{2}+\frac{4}{3}+ \frac{1}{6} } \cdot y^{ \frac{2}{2}-\frac{5}{3}+ \frac{4}{6}} \\ &&=& 3^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}} \cdot x^{ \frac{3}{2}+\frac{4}{3}+ \frac{1}{6} } \cdot y^{ \frac{2}{2}-\frac{5}{3}+ \frac{4}{6}} \\ &&=& 3^{1} \cdot x^{ \frac{3}{2}+\frac{4}{3}+ \frac{1}{6} } \cdot y^{ \frac{2}{2}-\frac{5}{3}+ \frac{4}{6}} \\ &&=& 3^{1} \cdot x^{ \frac{3\cdot 3}{6}+\frac{4\cdot 2}{6}+ \frac{1}{6} } \cdot y^{ \frac{2\cdot 3}{6}-\frac{5\cdot 2}{6}+ \frac{4}{6}} \\ &&=& 3 \cdot x^{ \frac{9}{6}+\frac{8}{6}+ \frac{1}{6} } \cdot y^{ \frac{6}{6}-\frac{10}{6}+\frac{4}{6}} \\ &&=& 3 \cdot x^{ \frac{18}{6} } \cdot y^{ 0 } \\ &&=& 3 \cdot x^{ 3 } \cdot y^{ 0 } \\ &&=& 3 \cdot x^{ 3 } \cdot 1 \\ &&=& 3 x^3 \end{array} }\)

Jetzt funktioniert das Hochladen wieder. Leider bin ich zu spät.

Aufgabe v)

Gibt ja noch die Aufgabe s) und u) :D

Also schon mal VIELEN DANK für die Zeit, die ihr euch nehmt!

\( \small{ \begin{array}{lrcl} (u) & \sqrt[3]{2xy^4} \cdot \sqrt[3]{4x^2y^{-1}} =\\ &&=& \sqrt[3]{2xy^44x^2y^{-1}} \\ &&=& \sqrt[3]{2\cdot 4\cdot x^1 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y^{-1}} \\ &&=& \sqrt[3]{ 8\cdot x^{1+2} \cdot y^{4-1} } \\ &&=& \sqrt[3]{ 8\cdot x^{3} \cdot y^3 } \\ &&=& \sqrt[3]{ 2^3\cdot x^{3} \cdot y^3 } \\ &&=& 2^{\frac33}\cdot x^{\frac33} \cdot y^{\frac33}\\ &&=& 2^{1}\cdot x^{1} \cdot y^{1}\\ &&=& 2\cdot x \cdot y\\ \end{array} } \)

Aufgabe u)